离散数学(屈婉玲版)第三章部分答案

3.6 从1到300的整数中

（1） 同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。

（2） 不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。

（3） 可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。

（4） 可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。

（5） 只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。

供选择的答案

A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。

解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。文氏图如下图：

在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即

∣A∩B∩C∣=300/105=2，同样可得

∣A∩B∣=300/15=20，

∣A∩C∣=300/21=14，

∣B∩C∣=300/35=8.

然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域.

再计算 ∣A∣=300/3=100，

∣B∣=300/5=60，

∣C∣=300/7=42.

所以

∣A∪B∪C∣=162.

所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124.

3.10列元素法表示下列集合。

（1） A={ x | x ∈N ∧ x2 ≤7}.

（2） A={ x | x ∈N ∧ |3-x|<3}.

（3） A={ x | x ∈R ∧ (x+1)2≤0}.

（4） A={ |x,y∈N∧x+y≤4}.

解：(1) A={0，1，2}.

(2) A={1,2,3,4,5}.

(3) A={-1}.

(4) A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<4,0>,

<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>,<2,2>}.

3.11求使得以下集合等式成立时，a,b,c,d应满足的条件。

1）｛a,b｝=｛a,b,c｝

解:根据集合相等的条件及集合的性质知： 只有当 c=a或c=b时等式成立。

2）｛a,b,a｝=｛a,b｝

解：根据集合性质，上式在任何时候都成立。

3）｛a,{b,c}｝={a,{d}}

解：根据集合相等的条件及集合的性质知：只有当 b=c=d时上式成立。

4）{{a,b},{c}}={{b}}.

解：根据集合相等的条件及集合性质知： 只有当 a=c=b时成立。

5){{a,ø},b,{c}}={{ ø }}

解：根据集合相等的条件及集合的性质知：只有当 a= c=ø并且b={ ø }

时成立。

3.12 设a,b,c,d代表不同的元素.说明以下集合A和B之间成立哪一种关系(指A⊂B,B⊂A,A＝B,A⊈B且B⊈A).

(1) A={{a,b},{c},{d}}, B={{a,b},{c}}.

B⊂A

(2)A={{a,b},{b},∅}, B={{b}}.

B⊂A

(3)A={x|x∈N⋀x＞4}, B={x|x∈N⋀x＞2}.

2 B＝A

(4)A={ax+b|x∈R⋀a,b∈Z}, B={x+y|x,y∈R}.

B＝A

(5)A={x|x∈R⋀x+x-2=0}, B＝{y|y∈Q⋀y+y-2=0}.

22 B＝A

(6)A={x|x∈R⋀X≤2}, B={X|X∈R⋀2X-5X+4X=1 }.

232B⊂A

3.13

（1）A={{a,b},c},B={c,d}

A∪B={{a,b}c,d}

A∩B={c}

A-B={{a,b}}

AB={{a,b},d}

(2)A={{a,{b}},c,{c},{a,b}},B={{a,b},c,{d}}

A∪B={{a,{b}},{a,b},c,{c},{d}}

A∩B={{a,b},c}

A-B={{a,{b}},{c}}

AB={{a,{b}},{c},{d}}

(3)A={xxNx<3},B={xxNx2}

A∪B={xxN }

A∩B={2}

A-B={0,1}

AB={xxN{x<2x3}}

(4)A={xxRx<1},B={xxZx<1}

A∪B={xxRx<1}

A∩B={xxZx<1}

A-B={xxRxZx<1}

AB={xxRxZx<1}

(5)A={xxZx<0},B={xxZx2}

A∪B={xxZ(x<0x2)}

A∩B=

A-B={xxZx<0}

AB={xxZ(x<0x2)}}

3.14 计算幂集 P（A）。

(1) A={} P(A)={ ,{}};

(2)A={{1},1} P(A)={ ,{1},{{1}},{{1},1}};

(3)A=P({1,2}) A={,{1},{2},{1,2}};

P(A)={ ,{},{{1}},{{2}},{{1,2}},{,{1}},{ ,{2}},{ ,{1,2}},{{1},{2}},{{1},{1,2}},{{2},{1,2}},{

,{1},{2}},{ ,{1},{1,2}},{ ,{2},{1,2}},{{1},{2},{1,2}},{ ,{1},{2},{1,2}}};

(4)A={{1,1},{2,1},{1,2,1}}

P(A)={ ,{{1,1}},{{2,1}},{{1,2,1}},{{1,1},{2,1}},{{1,1},{1,2,1}},{{2,1},{1,2,1}},{{1,1},{2,1},{1,2,1}}};

(5)A={1,-1,2} P(A)={ ,{1},{-1},{2},{1,-1},{1,2},{-1,2},{1,-1,2}};

3.18 设|A|=3,|P(B)|=64, |P（A∪B）|=256，求|B|,|A∩B|,|A-B|,|A⊕B|.

解：因为 |P（B）|=64 而2的6次幂为64

所以 |B|=6

而|P（A∪B）|=256， 2的8次幂为256

所以|A∪B|=8，

|A∩B|=|A|+|B|-|A∪B|=3+6-8=1；

|A-B|=|A|-|A∩B|=3-1=2；

|A⊕B|=|A∪B|-|A∩B|=8-1=7。

3．19 求在1到1 000 000之间（包括1和1 000 000在内）有多少个整数既不是完全平方数，也不是完全立方数？

解：设完全平方数的集合是A，完全立方数的集合是B,则既是完全平方数又是完全立方数的集合是A∩B。

由题意知: |A|=1000, |B|=100, |A∩B|=10.

|~A∩~B|=|S|-|A|-|B|+|A∩B|

所以|~A∩~B|=106-103-102+10=998910.