2习题解答(精选、)

习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

22-3．求正弦信号xtAsint的均方值x。 解：

1T21T22xtdtAsintdtT0T022T222T21cos2t2AsintdtAdt

00TT222TsinTA2AT4422xA2也可先求概率密度函数：p(t)则：xp(x)dx。

222Ax12x2

2-4．求正弦信号xtAsin(t)的概率密度函数p(x)。

xdt1,Adx1Ax1()2A1解： tarcsinAx22

代入概率密度函数公式得：

t12dt12p(x)limlimx0xx0TTA2x2dxT

2122222AxAx

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

x

-T

解 在x(t)的一个周期中可表示为

t

-T1

T1

T

1 / 13

word.

1x(t)0tT1T1tT2

该信号基本周期为T，基频0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

2T1T1c0a0dt1

TT1T当n0时，

cn最后可得

1TT1T1ejn0tdt1jn0Tejn0tT1T1

ejn0tejn0tcnn0T2j2cn其幅值谱为：cn

注意上式中的括号中的项即sin (n0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

2sin(n0T1)2sinc(n0T1)，n0

n0TT2T1sinc(noT1)，相位谱为：n0,,。频谱图如下： T

Cn 2T1/T

/T1 00

Cn

2T1/T

/T1

 00 n



 0

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

FSxtcn

FSj0t0

则 xtt0ecn

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

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word.

'cn1j0txtedt TT令tt0，代入上式可得

'cn1j0(t0)xedTT1ej0t0xej0d

TTej0t0cn因此有

FSxtt0ej0t0cnej(2/T)t0cn

同理可证

FSxtt0ej0t0cnej(2/T)t0cn

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn2T11Tjn0tedtsinc(n0T1)

TT1T2T1sinc(n0T1)(n0) nT则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X()2此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0以及所有谐频处，其脉冲强度为4T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是

幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

1解：符号函数为 x(t)10t0t0 t0可将符号函数看为下列指数函数当a0时的极限情况

eatt0解 x(t)sgn(t)at

t0e0j2ftatj2ftXfxtedtlime.edteat.ej2ftdta0011lim a0aj2faj2fjf1jf3 / 13

word.

2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t01S(t)1/2t0

0t01(t)1sgn(t)

2所以：

(f)(f)2jf

2-10．求指数衰减振荡信号x11teatsin0t的频谱。

1atjtesintedt0021(aj)tesin0td 解： 02jsin0t(ej0tej0t)21j(ajj0)tX()()ee(ajj0)tdt2201j11() 22(aj)j0(aj)j0X()

0122(aj)202-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 则 证明：因为 又因为 证毕！

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FTxtXf FTxtej2f0tXff0

F[ei2f0t](ff0)

FTxtej2f0tXf0*F[ei2f0t]

FTxtej2f0tXf0*(ff0)Xff0

word.

2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

FT即：若 xtXf 则

式中x*(t)为x(t)的共轭。

证明： xtFTx*tX*f

X(f)ej2ftdf

j2ftX由于

*fx(t)edt

*x*(t)ej2ftdt上式两端用 -f 替代 f 得

Xf*x*(t)ej2ftdt

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即

XfX*f

2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 xtXf

FT则 Xtxf

FT证明：

由于 x(t)

以 -t 替换 t 得

X(f)ej2ftdf

xt上式 t 与 f 互换即可得

X(f)ej2ftdf X(t)ej2ftdt

xf证毕。

特殊情况,当xt为偶函数时，

即 Xtxf

FTXtxf

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：

gt且已知

2 1t25 / 13

word.

x(t)eatFTX(f)2aa2f22

解：当a=2，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2，根据傅里叶变逆换有

e2t221j2ftedf2222f22j2ftedf 21f等式两端同时乘以2，并用-t替代变量t得

2e交换变量t和f得

2t2j2ftedt

1f22e2f2ej2ftdt 21tf上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以

g(t)22FTG(f)2e1t2

例2-4 求如图2-27（a）矩形脉冲信号x(t)的频谱密度，已知x(t)解：根据式（2-71），信号的傅里叶变换为

1,0,tT1tT1

X(f)x(t)ej2ftdtT1T1T1T1ej2ftdt1ej2ftj2fsin(2fT1)sin(2fT1) 22T12f2fT1X(f)2T1sinc(2fT1)

A(f)X(f)2T1|sinc(2fT1)|

0(f)包含了无穷多个频率成分，在f(nfT1T1nn12)n0,1,2,

12fn1)(T1T1该矩形脉冲信号的频谱密度如图2-27（b）所示，它是一个sinc（t）型函数，并且是连续谱，

11,,处，幅值谱密度为零，与此相应，相位2T1T1出现转折，这表明了幅值谱密度与相位谱密度之间的内在关系，在正频率处为负相位()，在负频率处为正相位()。

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word.

x(t)A(f)2T1T10T1t（a）

11T12T10112T1T1f（c）

X(f)2T1(f)12T11T11T11012T12T11T1f11T12T10f（b） （d）

图2-27 矩形脉冲信号的频谱密度

2-15．所示信号的频谱

x(t)1x1(t2.5)x2(t2.5) 2式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：求得x1(t), x2(t)的频谱分别为

X1(f)sinfsin3f 和X2(f)ff根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

X(f)e

x(t)j5f12sinfsin3 ftx1(t)x2(t)tt图2-31

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word.

1t0at例2-3已知单位阶跃函数u(t)，信号x(t)eu(t),a0，求x(t)的频

0t0谱密度。

解：由式（2-71）

X(f)eatej2ftdt1e(aj2f)taj2f0

X(f)1

aj2f所以，幅值谱密度和相位谱密度分别为：

A(f)X(f)如图2-26所示。

1a22f2(f)X(f)arctg2f aA(f)1/a(f)1/(2a)/2/40a/(2)a/(2)f4/（a）幅值谱密度 （b）相位谱密度

图2-26

a20a2f/2x(t)的频谱密度

2-16．求信号x(t)的傅里叶变换

x(t)e解： eatFTu(t)ata0

1

aj2fatat注意到x(t)为实偶函数， t >0 时x(t)eu(t)，t<0 时x(t)eu(t)，所以X(f)Featu(t)Featu(t)

FT又根据时间比例特性有xtXf，所以

1FTeatu(t)

aj2f最后得

x(t)eatu(t)eatu(t)，根据线性叠加特性

112a2

aj2faj2fa2f2在实际应用中，一般a为0的实数

X(f)8 / 13

word.

FTxat 则

1fX aa

2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换

1,x(t)0,解：由例可知x(t)的傅里叶变换为

tT1 tT1X(f)2T1sinc2fT1

根据傅里叶变换的比例特性可得 如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,

Fx(0.5t)Fx(2t)1f2T1sinc2T14T1sinc4fT10.50.51f2T1sinc2T1T1sincfT122这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,

时间尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-Tx(t/2)Tta=1.0-1/Tf1T1/T-T/2T/2x(t/2)t1 f1a=2.0-2/TT/22/T-T/4T/4t1 f

题图2-17 时间尺度展缩特性示意图

2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数 解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：

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word.

3TT1T44Rxy()1sintdtT1sintdt3T1sintdtT0443TT1T4cost0costT4cost3T44T1233 cos1coscos1cos222214sin22sin

2-19．求信号x(t)eatu(t)的自相关函数。 解：由定义

Rx()eax(t)x(t)dteatu(t)ea(t)u(t)dt

e2atu(t)u(t)dt其中积分的被积函数的非零区间为t0与t0的交集，即tmax(0,)。因此，当

0时，上式为

Rx()e当0时，则有

a0e2atdteat(12at1ate)0e 2a2aRx()eae2atdtea(12at12a1ae)ea(0e)e 2a2a2a综合有

Rx()1a e2a

2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （1）f(t)asintbcost （30） 53t（2）f(t)asintbcost （12）

6338（3）f(t)asin(t) （）

433（4）f(t)acos(t54) （8）

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word.

2-21．如图所示，有N2n1个脉宽为的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T）地分布在原点两侧，设这个信号为x(t)，求其FT。

解：由题意，

nx(t)mnx0(tmT)

其中x0(t)G(t)，其FT为X0()sinc(2)。根据FT的时移特性，可以求得

ejmTej(n1)TnjmTX()X0()eX0()•1ejTmnejT/2(ejNT/2ejNT/2)X0()•jT/2jT/2e(eejT/2)(ejNT/2ejNT/2)X0()•(ejT/2ejT/2)NTsin()2X0()•Tsin()2下面分析一下所求的结果。

NT)2m2当时，由罗彼塔法则可以求得N，因此X()NX0()，是

TTsin()22m单个矩形脉冲频谱X0()的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当（m

NTNTsin()2不是N的倍数）时，0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。 Tsin()2sin(可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点

2m处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N时，时域信号变成了周期矩T2m形脉冲信号，而频域则变成了只在离散点处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅

T度变成了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22．“时域相关性定理”可描述如下

F[Rxy()]X(f)Y*(f)

11 / 13

word.

试证明。

下面给出两种证明方法。 证明1：

F[Rxy()]x(t)y*(t)dtej2fdx(t)y*(t)ej2fddty*(t)ej2f(t)d(t)dtej2ftx(t)

x(t)ej2fdty*((t))ej2f(t)d(t)X(f)•Y*(f)这里利用式：F[y*(t)]Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。

证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

Rxy()x(t)y*(t)

利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。

在式中，令xy，则可得

自相关的傅里叶变换

2F[Rx()]X(f)X*(f)X(f)

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，

F[Rxy()]X(f)Y*(f)X(f)Y(f)

即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理

证明：

x(t)dt22X(f)df

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word.

f(t)dt2x(t)x*(t)dt*x(t)X(f)ej2ftdfdtx(t)•X*(f)ej2ftdfdt(IFT定义)



j2ftX*(f)•x(t)edtdf(交换积分次序)(FT定义)X*(f)X(f)dfX(f)df2最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本 --------------------- 方便更改

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