旋转模型专题精编版

旋转模型专题

一、等线段共点

等边三角形共顶点

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

共顶点等腰三角形

二、按图形分类

1、等腰三角形， 2、等边三角形， 3、等腰直角三角形， 4、正方形

三、按模型分类

1、手拉手模型 2、角含半角模型 3、对角互补模型 4、与勾股定理结合 5、费马点问题

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例题精讲

一、手拉手模型

1、已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形． 常见结论： （1）ANBM （2）CDCE （3）CF平分AFB （4）△CDE是等边三角形． （5）∠AFM=60°且保持不变

2、如图，在凸四边形ABCD中，BCD30,DAB60，ADAB． 求证：AC2CD2BC2

3、已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中ACAD。

⑴如图①，若DAC2ABC，ACBC，四边形ABCD是平行四边形，则

ABC_____

BCNMDACFEBAD⑵如图②，若ABC30，ACD是等边三角形，AB3，BC4，求BD的长； ⑶如图③，若ACD为锐角，作AHBC于H，当BD24AH2BC2时，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。 DAC2ABC是否成立？若不成立，

DADADAB①CBCBH③C②

2

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二、角含半角模型

4、已知：如图1在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？说明你的猜想并给予证明．

AABD图1ECDBE图2C

5、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°， （1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图1， 求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2， 求证：EF2ME2NF2

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系。

ADF

BE

C

3

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6、在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且MDN60，BDC120，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系．

⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时

Q=__________ L⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)

AANNAMBDNCMBDCMDBC 图（1） 图（2） 图（3）

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三、对角互补类

7、已知：MAN，AC平分MAN．

⑴在图1中，若MANDCB90，证明：ABAD2AC．

⑴在图2中，若MAN120，DCB60，探究AB、AD、AC三者之间的数量关系，并给出证明；

⑴在图3中：若MAN（0180），DCB180，则ABAD______AC（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）

NMDCDAB图1MAB图2NAB图3NCDMC

8、如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交

AB于F，QM交AD于E．

⑴猜想：ME与MF的数量关系

⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且MB，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明．

⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC1:2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．

⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且MB，AB:BCm，其它条件不变，求出ME:MF的值（直接写出答案）

CMFNDEQP图1图2ADMEQAPFNDEAQP图3BCBCMFNDEQ图4APBCMFNB

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四、直角三角形斜边中点

9、在等腰直角ABC中，ACB90，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP 交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化．

AMQCPB

AB2，O为AC中点，EOF45，求10、等腰直角三角形ABC，ABC90，△BEF的周长．

AOEBFC

11、已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F． 当∠EDF绕D点旋转到DE∠AC于E时（如图1），易证

SDEFSCEF． 1SABC2当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述

S△结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， DEF , S △ CEF , S △ ABC 又有怎

样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A

D

E

C

F 图1

B

C

图2

F

B

A

D

C E

图3

B

F

A

D

E

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五、等线段共点

12、如图所示，P是等边ABC内部一点，PC3，PA4，PB5，求ABC的边长.

SBPC= ,SABP= ,

SAPC= ,SABC= ,

BBPACP

AC

13、P为等边ABC内一点，APB113，APC123，求证：以AP、BP、

CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.

APBC

14、如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝1，PD＝2，PC＝3，将PAD绕着D点按逆时针旋转90到DCM的位置

（1）求APD的度数。 (2)求正方形的边长

APBDMC

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六、费马点问题

15、阅读下列材料

对于任意的ABC，若三角形内或三角形上有一点P，若PAPBPC有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点。

①若三角形内有一个内角大于或等于120，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120，则满足条件APBBPCAPC120时，点P既为费马点 解决问题：

⑴如图，三个内角均小于120，分别以AB、AC为边向外作等边ABD、ABC中，

ACE，连接CD、BE交于点P，

证明：点P为ABC的费马点。(即证明APBBPCAPC120)且

PAPBPCCD

DAPBCE

⑵如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QAQCQBPAPBPC

DAPCEBQ

⑶若ABC30，AB3，BC4，直接写出PAPBPC的最小值

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16、如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接AM、CM、EN．

⑴求证：AMB≌ENB

⑵①当M点在何处时，AMCM的值最小；

②当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； ⑶当AMBMCM的最小值为31时，求正方形的边长．

NEBMCAD

17、阅读下列材料：

小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值． B

图1

EADADAPCBP图2

CB图3

C小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．

（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ； （2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：

①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请

在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

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七、最值问题

18、已知：PA2，PB4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.

⑴如图，当APB45时，求AB及PD的长；

⑵当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值及相应APB的大小.

DCAPB

19、如图①，已知ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG． ⑴试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

⑵将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

⑶若BCDE2，在②的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

FGAFGAEBD①CEBD②C

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八、综合应用

20、已知：在RtABC中，ABBC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

⑴ 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

⑵ 如果将图①中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图②，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．

BEDMC图2EBMAD图1 CA

21、已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOBCOD90． ⑴如图①，点C、D分别在边OA、OB上，联结AD、BC，点M为线段BC的中点，联结OM，请你猜想OM与AD的数量关系： （直接写出答案，不必证明）；

⑵如图②，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转一个角度(090)． ①OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由； ②求证：OMAD．

AAMBD①CMOBCOD②

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