幂级数求和函数的类型与解法

北京电力高等ａｓ科学校学报　Ｎ０．９．２０１０　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　教育研究回　幂级数求和函数的类型与解法　邓俊兰李鑫　（南阳师范学院数学与统计学院，河南　南阳４７３０６１）　摘要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—０ｌ１８（２０１０）一０９—０１３７—０２　因②、⑨司直接利用　的结论求得，　回仅给出　、　的　关键词：幂级数；和函数；几何级数　中图分类号：Ｏｌ一０　幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的　和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题，对于学生来说　求解过程。　是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研　解①（法一）收敛域为（．１，１），对级数逐项积分再逐项求　究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算　导：　（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常　㈣　＝喜　出＝喜　＝　。　用级数，特别是几何级数（又叫等比级数）∑　），求出转化后　的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂　级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常　见类型，并给出了各种类型下的解法。　㈤＝　（ｆ）　（　＝而１　１）ｏ　（法二）将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：　艺　ｃｎ－＝Ｉ　　＝　ｙｎ－＝Ｉ　＝（＼善　］月　Ｉ　　＝（＼　　＾ｘ　Ｊ／　、＇＝而１１一＾，　ｃ一·　＜　④（法一）收敛域为（．Ｉ，１），在收敛域内对级数先逐项积　分两次，再逐项求导两次求之：　类型一：通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和　函数Ｓ（ｘ）　计算幂级数的和函数，首先要牢记常用级数的和函数，　在此基础上，借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换　耋　（ｎ＋１）　出＝　（　＋１）　曾厂（　）　等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求　喜　川　＝　“＝苦　和函数。其中，常用级数的和函数为：　击，　备＝ｅｘ，　薹（＿１）ｎ　Ｘ２ｎ￣ｌ：ｓｉｒｔｔ　南－－＂ＣＯＳＸ善（＿旷　Ｘｎ＝Ｉｎ（１　例ｌ求喜　的和函数　）。　为（一００，＋∞）。　所　叫＝（　＝砑２ｘ－ｘ２（－１　）　州＿（　】＝　（法二）更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导　　解：容易求得收敛域为（一。。，＋ｏ。），则和函数　）定义域　数而求之：南＋蓦鲁　萎吾＋　刹踟　（ｏＯ＜Ｘ＜ｑ－ｏＯ）．　，　（　）＝喜ｎ∑　Ｈ　（ｎ＋１）ｘ　ｌ　（　：｛ｋ，∑　Ｉｎ＝ｌ　／　～　●＝Ｉ　Ｉ＝　（ｌ—　－　一１　１　（三）结论：　ｎｘ＂＝Ｓ＝　ｏ卜　（－１　１）　（１）　二、类型二：求　Ｐ（　）　的和函数　），其中尸（＂）为＂的多　项式　（　喜　一１　Ｕ—　　，　（－ｌ　１）（２）　Ｘ－　（－１　＜１）（－１　＜１）取”　＝　ｏ）＝ｘ２Ｚ　ｎｘ　“）　－１　’　（３）　（４）　（一）解法：１、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和　而２　ｌ—　Ｊ　函数　。积分总是从收敛中心（∑Ｐ（，１）　收敛中心为０，　例２求　＋１）　的和函数　）。　∑Ｐ（　）（　一　）傲敛中心为莉）到　积分；２、也可化为几何级数　的和函数的导数而求之，这时不必再积分。　解：由（４）式得：．　ｎ　＋ｍ　砉”　＋ｌ　百　，　（．１＜　＜１）。　（二）基本题型：求级数①∑　②∑ｎｘ　③∑　④　∑ｎ（ｎ＋１）ｘ　的和函数　ｘ）。　例３求　ｎｚ　的和函数。　）。　解：　敛域（．１．１）。可先诼项积分两次再诼项求导两　作者简介：邓俊兰（１９８１－），女，陕西人，学士，河南省南阳市南阳师范学院数学与统计学院助教；李鑫（１９７９一），男，河南南阳　人，助教，硕士，从事数学教育、图像处理等研究。　１　３７　北京电力高等专科学校学报　Ｎｏ．９．２０１０　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　由　）在收敛域内连续得：　教育研究画　求之，过程略：也司化为儿伺级数和函数的导数求之：　（　）＝∑ｎ　＝∑ｎ（ｎ＋１）ｘ　－Ｚ眦一＝∑（　）一∑（　）　善丽ｘｎ＋ｌ　）＝　¨，一　。　（　］　一（驯＝（　一（　］　＝尚　三、类型三：求　。　四、类型四：求含阶乘因子的幂级数的和函数ｓ（ｘ）　（一）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利　的和函数　），其中Ｑ　）为　的多　用　，ｓｉｎ　及ＣＯＳ　的幂级数展开式，求其和函数。一般分母的　阶乘为　！的幂级数常用　的展开式来求其和函数；分母的　项式　（一）解法：１、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函　阶乘为（２　＋１）！或（２　）！的幂级数常用ｓｉｎｘ及ＣＯＳＸ的展开　数　），积分时，不要漏掉　０）　（或　。））的值，即　式来求其和函数。求和过程中要注意利用标号变换，将待求　（　）＝　）出＋　（０）；２、也可化为几何级数的和函数的积分　级数化为ｅ　，ｓｉｎ　及ＣＯＳ　的幂级数展开式的标准形式。　求之。　（二）基本题型．求①喜　②善　喜　Ｘｎ－Ｉ的和函数　因②、⑨可直接利用①的结论求得，下面仅给出①的求　解过程．　解：①（法一）收敛域为［．１，１），对级数在收敛区间（一１，１）　内先逐项求导，再逐项积分的方法求和函数　）：　）＝　＝ｘ￣ｌ＿１　１）．　则　）＝　ｏ）出＋　（０）＝　ｌ＿出＋０＝一１ｎ（１一　）（一１　１）　由和函数　）在收敛域内连续得：∑兰＿Ｏ）＝－ｌｎ（１一　）　ｎ＝ｌ１　（一１＜　＜１）　（法二）化为几何级数的和函数的积分求之：　ｎ＝ｌ　１７ｏ）　’出　ｎ㈦　（一ｌ＜ｘ＜１）　（法三）化为常用级数的标准形式求之：　喜等＝　）＝　与　（＿　ｙ＝一　。　（＿ｆｉ－，（＿　ｙ：一　ｎ（　一　）　（　１＜ｘ＜１）　（二）结论：　）＝一　ｎ（１一　）　（一１　＜１）　（５　ｍ　ｘｎ＋ｌ）＝　喜等＝－ｘｌｎ（１一　）（一１　＜１）　（６）　砉睾　’　例４求　【＿　的和函数　）。　解：收敛域为［一１，１］，可以对级数先逐项求导两次，再逐　项积分两次的方法求和函数　），方法与上类似，过程略，也　可直接利用上面的结论（５）、（６），则当（一１≤　＜１）时，　ｎ（ｎ＋１）　ｎ　ｎ＋１芝　一１　　：（　ｎ（１Ｉ　，　１３８　（二）逐项求导、逐项积分法　（三）微分方程法：含阶乘因子的幂级数（特别是形如　盂　２，３……））的和函数　），常用解　满足的常微分　方程的初值问题而求之。为此先求收敛域，求出和函数的各　阶导数以及在点０处的值，建立　）的常微分方程的初值问　题，求解即得所求和函数。　例５求　ＮＮＮ￣Ｓ（ｘ）。　解：（法一）　）　喜志　Ｘ２ｎ　鲁　＝　一２ｘ　喜鲁ｔ＋！　＋　兰砉鲁＝—一！　＝ｚ２　＋　ｇ　＋ｅ　（　ｆ、　一　佃）∞＜　＜＋∞、　（法二）收敛域为（一。。，＋。。），　薹　ｄｘ＝　＝　薹鲁…　则　）＝ｌ　（ｆ）　Ｉ：（　Ｐ　）＝２　Ｐ　＋　（一。。　＜＋。。　（法三）转化为Ｓ（ｘ）的常微分方程的初值问题：　（　）一２ｘＳ（ｘ）＝４ｘｅ　，　（Ｏ）＝１，解微分方程，得　（　）＝２ｘ　Ｐ　ｚ＋Ｐ　（．ｏＯ＜Ｘ＜＋ｏＯ）　要掌握幂级数求和函数需要记住常用级数的和函数，以　及本文所总结的四种基本类型及其解法，很多题都可以化为　本文中的基本类型。此外，很多题还可以一题多解，要注意　积累总结。　参考文献：　［１］朱来义．微积分［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．　［２］同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７