一、选择题(共 5 题，每题 3 分，共 15 分) 1.A 2.B 3.A 4.C 5.B
二、填空题(共 6 题，每题 3 分，共 18 分) 1.2π5 2.πR 3. 2 4.2π 5. 2 6.
3
3 2
三、完成下列各题(第1-5题每题8 分，6-8题每题9分，共 67 分)
∂z1∂2zez
== 1. ,
∂xez−1∂x2(1−ez)3
2. 2α−β>0,α>0有唯一极大值；2α−β>0,α<0有唯一极小值 3. 由
2
2
2
2
∂Q∂P22
得f'(x)=2x，f(x)=x+C，又f(0)=0，故C=0，f(x)=x。由观察，=
∂x∂y
22122(1,1)1
xy2dx+yx2dy的原函数是1xy，故I=2xy/(0,0)=2[注：也可取路径(0,0)→(1,0)→(1,1)计算] 2
4. I=
∫
1
0
dx∫
1−x
0
(1−x−y)3dy=
3 6
5. 求导得s'(x)=
∑x
n=1
∞
n−1
xx11
=，积分得∫s'(t)dt=∫dt，整理得s(x)=−ln(1−x)。
001−t1−x
dx∫x
6. y=e(
1
dx1∫−1
x
∫lnxedx+C)=x(lnlnx+C)
7. 设C上任一点为(x,y,z)，它到xoy面的距离为|z|，等价于求函数z在条件x+y−2z=0与
2222
x+y+3z=5下的最大值点和最小值点。
设F(x,y,z,λ,μ)=z+λ(x+y−2z)+μ(x+y+3z−5)，由
2
2
2
2
⎧Fx=2λx+μ=0⎪F=2λy+μ=0
y⎪⎪
⎨Fz=2z−4λz+3μ=0得最值点为(1,1,1),(−5,−5,5)。 ⎪F=x2+y2−2z2=0⎪λ⎪⎩Fμ=x+y+3z−5=0
8. 法一：先二后一。I=
∫
0
1
0
dz∫∫zdxdy=∫zπ(2z)2dz=π
D
0
1
法二：柱面坐标变换I=
∫
2πdθ∫dr∫rzrdz=π
0
2
21
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