一.
学习目标
1、了解无理数和实数的概念；会对实数根据一定的标准进行分类, 培养分类 水平.
2、了解分类的标准与分类结果的相关性,进一步了解体会“集合〞的含义. 3、了解实数范围内相反数、倒数数和绝对值的意义.
4、了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数.
二 .教学重点与难点
1、有理数的分类；数轴、相反数、绝对值及有理数的运算.
2、关于绝对值的化简；有理数的混合运算；符号情况；规律探索题. 3、绝对值的化简；运算时符号的错误；规律探索无从下手.
三 .考点分析
1 .算术平方根、平方根、立方根的性质. 2 .算术平方根、平方根、立方根的性质. 3 .创新思维题.
四 .知识体系与典型例题分析
【无理数】
1 .定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限〞以及
“不循环〞这两个条件. 2 .常见无理数的几种类型：
(1)特殊意义的数,如：圆周率冗以及含有冗的一些数,如：2-n,3n等; (2)特殊结构的数(看似循环而实那么不循环)：如：2.010 010 001 000 01… (两个1之间依次多1个0)等.(3)无理数与有理数的和差结果都是无理 数.如：2-冗是无理数
(4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数.如2n , (5)开方开不尽的数,如：后,布,V9等；应当要注意的是：带根号的数不
一定是无理数,如：等；无理数也不一定带根号,如：兀) 3 .有理数与无理数的区别:
(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数那么是无限不循环小数； (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为 而无理数那么不能写成分数形式.
例：(1)以下各数：①3.141、②0.33333……、③.—\"、④兀、⑤土 J225、
_ 2
⑥——、⑦0.3030003000003…… 相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、
3 其中是有理数的有;是无理数的有. (填序号)
(2)有五个数:0.125125 •••,0.1010010001 …,-n , J4 , V2 其中无理数有
() 个
【算术平方根】：
1 .定义：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么,这个正数x就叫做 a的算术平方根,记为：“7a〞,读作,“根号a\",其中,a称为被开方数. 例如32=9,那么9的算术平方根是3,即J9 =3.
特别规地,0的算术平方根是0,即而=0,负数没有算术平方根
2 .算术平方根具有双重非负性：(1)假设寸0有意义,那么被开方数a是非负数. (2)算术平方根本身是非负数.
3 .算术平方根与平方根的关系： 算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的 相反数共同构成了平方根.因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它 只表示为：金;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为： 例：(1)以下说法正确的选项是
(
)
土 4W. 1的分数),
A. 1的立方根是土1; B . 74 = ±2； (C)、,81的平方根是±3; (D)、0没有平方根； (2)以下各式正确的选项是( A 病=±9 -5 - 3 - 2
)
D 、
B 、3.14-冗| =冗-3.14 C、A/^27 = -9J3
(3) <(-3)2的算术平方根是 . (4)假设 4 + JG 有意义,那么
Jx +1 =o
(5)△ ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足J口+(b-4)2 =0 ,求c的 取值范围.
(6)(提升题)如果x、y分别是4-小的整数局部和小数局部.求x - y的 值.
平方根：
1 .定义：如果一个数x的平方等于a,即x2 = a ,那么这个数x就叫做a的 平方根；,我们称x是a的平方(也叫二次方根),记做：x = ±Ji(a之0)
2
.性质：(1) 一个正数有两个平方根,且它们互为相反数；
(2) 0只有一个平方根,它是0本身； (3)负数没有平方根
例(1)假设的平方根是土 2,那么乂=; 屈的平方根是 (2)当
x 时,J3— 2x有意义.
(3) 一个正数的平方根分别是 谊口 m-4,那么m的值是多少？这个正数是多
少？
3. «£)2(220)与值的性质
(1)(豆)2 =a(a之0)如:,7)2 =7 (2) j/=|a|中,a可以取任意实数.
如 5245|=5
VG3^)2 =|-3|= 3 例：1.求以下各式的值
(1)彳
(2) V(-7)2
(3)
；
(-、49)2
2.%；(a-1)2 =a-1,那么a的取值范围是.3.2Vx<3,化简
V(2- x)2 +| x -3 |= ________ o
【立方根】
1 .定义：一般地,如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫 做a的立方根(也叫做三次方根)记为 va ,读作,3次根号a.如23=8,那么2 是8的立方根,0的立方根是0o
2 .性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数.立方 根是它本身的数有0,1 , -1.
例：(1) 64的立方根是 ⑵假设需=2.89,3区=28.9, 那么b等于
(3)以下说法中：①土3都是27的立方根,②V73 = y,③764的立方根
是 2,④ 3/(土8 f =土4.
其中正确的有 ( D 4个
比拟两个数的大小：
方法一：估算法.如 30.
方法三：乘方法.如比拟2遍与3套的大小. 例：比拟以下两数的大小 (1)个与2 【实数】
定义：(1)有理数与无理数统称为实数.在实数中,没有最大的实数,也没有最 小的实数；绝对值最小的实数是 0,最大的负整数是-1.
(2)实数也可以分为正实数、0负实数.
实数的性质：实数a的相反数是-a ；实数a的倒数是 (a*0)；实数a的绝对 a 值|a|=
1
) A、1个 B 、2个 C 、3个
方法二：作差法.如 a>b那么
⑵与3/5
3'
,它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离. 「a(a<0)
a(a0)
实数的大小比拟法那么：实数的大小比拟的法那么跟有理数的大小比拟法那么相同：
正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数,绝对值大的就大,两
即
个负数,绝对值大的反而小.(在数轴上,右边的数总是大于左边的数).
对于一些带根号的无理数,我们可以通过比拟它们的平方或者立方的大小. 实数的运算：在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.
运算法那么和运算顺序与有理数的一
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的 (1)每个实数可以以用数轴
上的一个点来表示. (2)数轴上的每个点都表示已个实数. 例：(1)以下说法正确的选项是(
)；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ；B、数轴上的点与有理数一一对 应；
G 1和2之间的无理数只有22 ； D 、不带根号的数都是有理数. (2) a, b在数轴上的位置如下图,那么以下各式有意义的是
() ► a 0 b
D 、Tb — a
1 ------------- 1।
A va — b B 、aab C 、Ta +b
(3)比拟大小(填“>〞或“<〞). 3 屈,
------
-^3
6A/7 , ^^1 -
--------- 2 ----------------------------------------------------------- 2
^''20 , 7 <6
(4)数-\"-2,-3的大小关系是()
A. -、7 ：二 -3 < -2
-3 二 -2 一、7
B. -3 < - 7 < -2 C. -2 ：二77 < -3 D.
(5 )将以下各数：2,1^,<3,-1-<5 ,用“ < 〞连接起来；
0
(6)假设 a = 3, Jb =2,且 ab<0,那么：a -b=. 【二次根式】
定义：形如a>0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数
注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号〞如肉是二次根式,而
79=3,3显然就不是二次根式.
(2)被开方数a可以是数,也可以是代数式.假设 a是数,那么这个数必须是 非负数；假设a是代数式,那么这个代数式的取值必须是非负数, 否那么没有意义. 例：以下根式是否为二次根式
(1)
-3
(3) 4 (4) J —-3
二次根式的性质:
性质1： ./ab =^Jb(a >0,b >0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方
根的积,运用这个性质也可以对二次根式进行化简.
fa.(a之0,b >0)商的算术平方根等于被除数的算术平方铲除以
除数的算术平方根.
最简二次根式：被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式, 这样的二次根式,叫做最简二次根式.
例：1.化简： (1)
12 15
(2) 27a4b2 (b -0)
2 .计算:
；0.52 -3 1 -1
泰
V0.125 -J1V 3—16 + \\ 8 8!.
3 .：(x-7 2 =121,(y+1f =-0.064 ,求代数式 JX12-Jx + 10y + ! 245y 的 值.
6.(提升题)观察以下等式：答复以下问题:
(3)
1 1
」
1 1 1
:11 2
②-1m
/ 11/1 1 / 1 1 + r + 2^ = 1 + — — =1 ——, 32 42 3 3 1 12
〔1〕根据上面三个等式的信息,请猜测、:1 +/ +/的结果； 〔2〕请根据上式反响的规律,试写出用 n表示的等式,并加以验证
六.随堂练习
、重点考查题型:
1. -1的相反数的倒数是 2.| a+3|+Vb+1 =0,那么实数〔a+b〕的 相反数 __________
3.数一3. 14与一JI的大小关系是 4.和数轴上的点成——对应关系的 是 ____________
5 .和数轴上表示数—3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是 2
6 .在实数中J1,—5 ,0, 杂,-3. 14,、/4无理数有 个 7 . 一个数的绝对值等于这个数的相反数,这样的数是〔
〔A〕非负数 〔B〕非正数 〔C〕负数 8 .假设 x< —3,那么 | x+ 3 | =. 9 .以下说法正确是〔
〕
〔D〕正数
〕
〔B〕实数都是有理数
〔D〕无理数都是开方开不尽的数
〔A〕有理数都是实数 〔B〕带根号的数都是无理数
10.实数在数轴上的对应点的位置如图,比拟以下每组数的大小： （1）
（2） bc 和 ad 二、考点练习： *1 .判断题：
〔1〕如果a为实数,那么一a一定是负数；〔〕
c-b 和 d-a 1 1 I 1 7J V % I L_h*
(2)对于任何实数a与b,|a -b|=|b — a|恒成立；() (3)两个无理数之和一定是无理数；() (4)两个无理数之积不一定是无理数；() (5)任何有理数都有倒数；() (6)最小的负数是一1;()
(7) a的相反数的绝对值是它本身；() (8)假设 |a|=2,|b|=3 且 ab>0,那么 a—b=- 1;() 2 .把以下各数分别填入相应的集合里
22
L 3 口
刀 L
一［-3|, 21. 3, -1. 234, ——,0 , -99, -yj-8-, -万,yf8,(山-
小)°, 3 2, ctg45 0 ,1.2121121112 .................... 中
无理数集合{ } 负分数集合{ }
整数集合{
}非负数集合{
*3. 1 -3,也-1, 3, - 0.3, 3 1, 1 +啦,3 1 3 互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： *5.x、y是实数,且(X—也)2和| y + 2 |互为相反数,求x, y的值 6. a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值是2, L } 求臀 2m+1 +4m-3cd= ___________ *7. (a - 3b) +| a — 4| 求 a + b = ,a+2 :0,三、解题指导： 1 .以下语句正确的选项是( ) A、无尽小数都是无理数 B 、无理数都是无尽小数 C、带报号的数都是无理数 D 、不带报号的数一定不是无理数. 2 .和数轴上的点 --- 对应的数是( ) A整数 B、有理数 C、无理数 D实数 3 .零是( ) A最小的有理数 B、绝对值最小的实数 C、最小的自然数 D、最小的整数 4 .如果a是实数,以下四种说法： (1) 22和| a |都是正数,(2) | a |=—a,那么a一定是负数, ...... .... 1 (3) a的倒数是a ,(4) a和一a的两个分别在原点的两侧,几个是正确的有 个 *5.比拟以下各组数的大小： 3 1 (1) 2 v3 —昵 ⑵a 6.假设a,b满足14-a ］：/b =0,那么 2a 詈 的值是 *7.实数a,b,c在数轴上的对应点如图,其中 O是原点,且 |a|=|c| fa* a O c (1) 判定a+b,a+c,c-b 的符号 (2) 化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| *8.数轴上点A表示数—1,假设AB= 3,那么点B所表示的数为 9. x<0,y>0 ,且 y<|x| ,用\"<〞连结 x, — x, — |y| , y. 10 .最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么? 11 .绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什 么？ 12 .把以下语句译成式子： (1) a是负数;(2)a>b两数异号;(3)a> b互为相反数 (4) a、b互为倒数; (5)x与y的平方和是非负数 ; (6) c、d两数中至少有一个为零 ; (7) a、b两数均不为0 *13.数轴上作出表示啦,乖,一般的点 七.课后总结与回忆 八.课后习题 1 . 0的相反数是, 3—刀的相反数是, 3/18 刀的绝对值是, 0的绝对值是,近 -V3的倒数是 2 .数轴上表示一3. 2的点它离开原点的距离是 . ........... ... 1 一 1 1 ...................... ... A表小的数是—-,且AB=w ,那么点B表小的数是. 2 3 3 -3/3 , 71,(1 —也)：—22 ,0 - 1313--,2cos60o, -3 1 ,1 . 101001000… 的相反数是;— 〔两1之间依次多一个0〕,其中无理数有,整数 有,负数有. 4 .假设a的相反数是27,那么| a|=; 5.假设|a| =也,那么a= 5 .假设实数x, y满足等式〔x + 3〕 2+ | 4-y | =0,那么x+y的值是 6 .实数可分为〔 正数和负数 〕A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、 *7.假设2a与1 —a互为相反数,那么a等于a= 8.当a为实数时,＜02 =—a在数轴上对应的点在〔 〕 A、原点右侧B、原点左侧C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧 *9.代数式+的所有可能的值有——个 10 .实数a、b在数轴上对应点的位置如图 〔1〕比拟a— b与a+b的大小 〔2〕化简 |b — a|+|a+b| 11 .实数a、b、c在数轴上的对应点如下图,其中| a | = | c | 试化简：- a | + | a — c — 2bl — | c - a | k f । 1 1 t ' 4 ・, l 、 . a 0 b G *12 ,等腰三角形一边长为a , 一边长b,且〔2a — b〕2+|9—a2|=0 求它的周长. *13.假设3, m, 5为三角形三边,化简：(2-m) 九.课后链接 一b | b - c | | 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容