西华大学2011应用计算方法参考答案

课程名称： 计算方法 考试类型（考试或考查）： 考试 年 级： 2011 学时： 54 考试时间： 120 专 业： 学生姓名: 学号:

一、(8分)计算f121，取21.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

6解: 方法一

216， 3223，

13223， 99702。

设y(x1)，若x若通过

612，p1.4，则|e(p)|101。

261216计算y值，即计算函数f(x)(x1)在x2处的值，由于

f(x)6x1，故e(f(p))|f(p)|e(p)，得

（2分） |e(f(1.4))|6(1.41)7|e(p)|0.013|e(p)|；

若32273计算y值，即计算函数f(x)(32x)在x232处的值，由于

f(x)632x，故得

（2分） |e(f(1.4))|6(321.4)2|e(p)|0.24|e(p)|；

若3223计算y值，即计算函数f(x)(32x)43在x2处的值，由于

f(x)632x，故得

（2分） |e(f(1.4))|6(321.4)4|e(p)|0.005|e(p)|；

若99702计算y值，即计算函数f(x)9970x在x2处的值，由于

f(x)70，故得

（2分） |e(f(1.4))|70|e(p)|70|e(p)|；

比较4个结果得，通过

13223计算得到的结果最好。

方法二

根据数值计算原则：（1）避免两个相近的数相减；（3分）（2）简化计算步骤，减少运

第 页(共 页) 1

算次数。（3分） 可以判断得出：通过

13223计算得到的结果最好。（2分）

二、(10分) 设

111A111

111计算||A||1，||A||2，||A||

解： ||A||13，||A||3（6分）。由于A是对称矩阵，所以||A||2max(|(A)|)（2分），而A的特征值为1,2,2，故||A||22（2分）

三、(10分)为求方程xx10在1.5附近的根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）x13211x1，迭代公式； （2）xk1xk2x21，迭代公式xk1x11。 xk1试分析每种迭代公式的收敛性。 解：考虑区间[1.3,1.6]（2分）。

（1）当x[1.3,1.6]时，g(x)1221|g(x)|0.9101，，[1.3,1.6]x31.33x2故迭代xk111在[1.3,1.6]上收敛。（4分） xk2 （2）当x[1.3,1.6]时，令g(x)1， x1|g(x)|111.0761。 32322(x1)2(1.61)故迭代xk11发散。（4分） xk1x1x2x31x12x22x30。 2xxx1123第 页(共 页) 2

四、(10分)用LU分解法求解方程组：

111TTT解：设A122，X(x1,x2,x3)，b(1,0,1)，Y(y1,y2,y3)。

211 （1）对A进行LU分解，

100111ALU110011。（4分）

231002 （2）解方程LYb得：Y(1,1,6)；（3分） （3）解方程UXY得：X(2,2,3)（3分） 五、(10分)线性方程组：

TTx12x22x31x1x2x33 2x2xx5123考察用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代解此方程组的收敛性。

022解：1、BJ101，BJ的特征值为1230，(BJ)01。故Jacobi

220迭代收敛。（5分） 2、BGS022023，BGS的特征值为122，30，(BGS)1。故002Gauss-Seidel迭代发散。（5分）

六、(10分)现在你没有计算器，也没有计算机。请你用线性插值和二次插值计算出43的近似值，并估计误差。

解：问题可化为：已知函数f(x)插值法求函数f(x)（1）线性插值：

43介于36与49之间，以x036，x149为节点，进行线性插值得

x在xi0,1,4,9,16,的值yi0,1,2,3,4,，通过

x在x43的值。

f(x)L1(x)x42，于是436.5385， 131(4336)(4943)0.0243。误差为：|R1(42)|（5分） 322436（2）二次插值：

第 页(共 页) 3

离43最近的三个节点为：25，36 49，用这三个节点进行二次失插值得

f(x)L2(x)，于是436.5629，

误差为：|R1(43)|3（5分） (4325)(4336)(4943)0.0061。526836七、(8分)已知yf(x)的数据表如下：

xi yi -2 0 -1 0.2 0 0.5 1 0.8 2 1 求一次式p(x)axb，使得p(x)为f(x)的最小二乘一次近似；

21解：记A0121010.2a，，y0.5c，要使p(x)axb为f(x)的最小二乘一次1b10.811近似，a,b为超定方程Acy的最小二乘解。（4分）

100a2.6TTAAcAy 超定方程Acy的法方程为,解之

05b2.5得:a0.26,b0.5 （2分），最后得p(x)0.26x0.5为f(x)的最小二乘一次近似。（2分）

八、(8分)如果f(x)0，证明用梯形公式计算积分I并说明其几何意义。

证明：由梯形公式的余项

baf(x)dx所得结果比准确值I大，

(ba)3RT(f)f()，(a,b)，（3分）

12知若f(x)0，则RT(f)0，因而

If(x)dxTRT(f)T，

ab即用梯形公式得到的结果比准确值大。（3分）

从几何上看，f(x)0，f(x)为下凸函数，曲线位于对应弦的下方，此时梯形面积

大于曲边梯形的面积。（2分）

九、(8分)试求如下数值积分公式的结点xi(i1,2)及求积系数Ai(i1,2)，使公式具有最高代数精度：

第 页(共 页) 4

11x2f(x)dxA1f(x1)A2f(x2)。

解：由于求积公式中有四个末知参数，设公式至少具有3次代数精度，（2分）得

2AA213A1x1A2x20 （2分） 22A1x12A2x25Ax3Ax301122解之得：A1A2331，x1，x2（2分）。公式为：

553

11x2f(x)dx13313（2分） f53f5。

(此题超范围不做)十、(10分)考虑中点公式：yk1yk12hf(xk,yk)，

yy,0x1（1）怎样利用中点公式求解初值问题？（取步长h0.25）。

y(0)1（2）分析中点公式的绝对稳定区间。

解：（1）由于中点公式是一个两步格式，须用一个单步格式计算出y1。 可以这样求解：令xiih（i0,1,2,3,4）

1、 用Euler公式计算y1：y1y0hy00.75；

2、 用中点公式计算yi：yiyi22hyi1，i2,3,4。（5分） (2) 将中点公式用于实验方程yy得：

yn1yn12hyn

对应的特征方程为

r212hr

特征根为r1,2(h)h(h)1，要|r1,2(h)|1，有对稳定区间为211h，故中点公式的绝2211,。（5分） 22十一、(8分)在实际问题中，f(x)不是初等函数，而导数f(x)的计算函数比较容易。请设

第 页(共 页) 5

计计算f(x)在若干点上的值的方法。

解：要通过f(x)计算f(x)在若干点上的值，至少要知到f(x)在一个特定点的值，不妨设

f(a)0。

方法一、先求函数f(x)的插值多项式Pn(x)，利用公式f(x)xaf(t)dt，可得

f(x)Pn(t)dt，利用此公式就可计算出f(x)在若干点上的值。

ax方法二、f(x)xaf(t)dt，用数值积分法计算此积分，可计算出f(x)在若干点上的值。

方法三、令yf(x)，则f(x)可看成常微分方程初值问题

yf(x) y(a)0yf(x)的解，用常微分方程初值问题的数值解法求解，可计算f(x)在若干点上的值。

y(a)0第 页(共 页) 6