2021学年山东省青岛市某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，满分50分，答案涂在答题卡上）
1. 已知集合𝐴={𝑥∈R|0<𝑥<3}，𝐵={𝑥∈R|𝑥2≥4}，则𝐴∩𝐵=( ) A.{𝑥|2<𝑥<3}
C.{𝑥|𝑥≤−2或2≤𝑥<3}
2. 若函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥−2在[2, +∞)上有意义，则实数𝑎的取值范围为( ) A.𝑎=1
3. 下列函数中，与函数𝑦=√−2𝑥3相同的是( ) A.𝑦=𝑥√−2𝑥
4. 函数𝑓(𝑥)=A.[−，1]
31
3𝑥2√1−𝑥B.{𝑥|2≤𝑥<3} D.R
B.𝑎>1 C.𝑎≥1 D.𝑎≥0
B.𝑦=−√2𝑥3 C.𝑦=𝑥2√ 𝑥
−2
D.𝑦=−𝑥√−2𝑥
−2√3𝑥+113
的定义域是( )
13
B.(−，) C.(−，1)
3
1
D.(−∞,−)
3
1
5. 设奇函数𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是增函数，且𝑓(1)=0，则不等式𝑥[𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)]<0的解集为( )
A.{𝑥|−1<𝑥<0, 或>1} C.{𝑥|𝑥<−1, 或𝑥>1}
6. 设函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥)的定义域都为R，且𝑓(𝑥)是奇函数，𝑔(𝑥)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)是偶函数 C.𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)|是奇函数
7. 函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+2(𝑎−3)𝑥+18在区间(−3, +∞)上递减，则实数𝑎的取值范围是( ) A.[−2，0]
8. 已知𝑓(𝑥−1)=𝑥2，则𝑓(𝑥)的表达式为( )
试卷第1页，总15页
3
B.{𝑥|𝑥<−1, 或0<𝑥<1}
D.{𝑥|−1<𝑥<0, 或0<𝑥<1}
B.|𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)是奇函数 D.|𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|是奇函数
B.[−2，+∞)
3
C.(−∞, 0] D.[0, +∞)
A.𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+1 B.𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥+1 C.𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥−1 D.𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥−1
9. 若𝑓(𝑥)是偶函数，其定义域为(−∞, +∞)，且在[0, +∞)上是减函数，则𝑓(−2)与𝑓(𝑎2+2𝑎+2)的大小关系是( ) A.𝑓(−)>𝑓(𝑎2+2𝑎+)
2
2
3
5
5
3
B.𝑓(−)≥𝑓(𝑎2+2𝑎+)
2
2
35
C.𝑓(−2)<𝑓(𝑎2+2𝑎+2)
10. 已知函数𝑓(𝑥)={围是( ) A.(0, 3)
B.(0, 3]
35
D.𝑓(−2)≤𝑓(𝑎2+2𝑎+2)
35
(𝑎−3)𝑥+5,𝑥≤1，是(−∞, +∞)上的减函数，那么𝑎的取值范2𝑎
，𝑥>1，𝑥
C.(0, 2) D.(0, 2]
二、填空题（每小题5分，满分25分） 函数𝑦=√−𝑥2−6𝑥−5的值域是________．
奇函数𝑓(𝑥)的定义域为[−2, 2]，若𝑓(𝑥)在[0, 2]上单调递减，且𝑓(1+𝑚)+𝑓(𝑚)<0，则实数𝑚的取值范围是________．
已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥5+𝑥3+𝑏𝑥−5，若𝑓(−100)=8，那么𝑓(100)=________．
𝑥2+3𝑥(𝑥≥0)， 已知函数𝑓(𝑥)={为奇函数，则𝑓（𝑔(−1)）=________．
𝑔(𝑥)(𝑥<0)
若函数𝑓(𝑥+2)=𝑥2−𝑥+1，则𝑓(𝑥)的解析式为________． 三、解答题
已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥. (1)判断函数的奇偶性，并加以证明；
(2)用定义证明𝑓(𝑥)在[1, +∞)上是增函数．
1
试卷第2页，总15页
已知集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≥0}，集合𝐵={𝑥|2𝑎≤𝑥≤𝑎+2}． (1)若𝑎=−1，求𝐴∩𝐵和𝐴∪𝐵；
(2)若𝐴∩𝐵=𝐵，求实数𝑎的取值范围．
若二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，满足𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=16𝑥且𝑓(0)=2． (1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；
(2)若存在𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑓(𝑥)>2𝑥+𝑚成立，求实数𝑚的取值范围．
函数𝑓(𝑥)=
𝑎𝑥+𝑏1+𝑥
2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且𝑓()=．
12
25
(1)确定函数的解析式；
(2)证明函数𝑓(𝑥)在(−1, 1)上是增函数；
(3)解不等式𝑓(𝑡−1)+𝑓(𝑡)<0．
设函数𝑓(𝑥)=|𝑥2−4𝑥−5|，𝑔(𝑥)=𝑘. (1)画出函数𝑓(𝑥)的图象；
(2)若函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有3个交点，求𝑘的值．
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间𝑡（天）的函数，且销售量近似满足𝑔(𝑡)=80−2𝑡（件），价格近似满足𝑓(𝑡)=20−2|𝑡−10|（元）．
(1)试写出该种商品的日销售额𝑦与时间𝑡(0≤𝑡≤20)的函数关系表达式；
(2)求该种商品的日销售额𝑦的最大值与最小值．
1
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参考答案与试题解析
2021学年山东省青岛市某校高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，满分50分，答案涂在答题卡上） 1.
【答案】 B
【考点】
一元二次不等式的解法 交集及其运算
【解析】
求出集合𝐵中的一元二次不等式的解集确定出集合𝐵，然后求出集合𝐴和集合𝐵的交集即可． 【解答】
解：集合𝐵中的不等式𝑥2≥4，
移项并分解因式得：(𝑥+2)(𝑥−2)≥0， 可化为：{
𝑥+2≥0，𝑥+2≤0，或{
𝑥−2≥0，𝑥−2≤0，解得：𝑥≥2或𝑥≤−2，
所以集合𝐵={𝑥|𝑥≤−2或𝑥≥2}， 又集合𝐴={𝑥|0<𝑥<3}， 则𝐴∩𝐵={𝑥|2≤𝑥<3}． 故选𝐵. 2.
【答案】 C
【考点】
函数的定义域及其求法 【解析】
根据函数成立的条件，解参数即可． 【解答】
解：∵ 函数𝑓(𝑥)=√𝑎𝑥−2在[2, +∞)上有意义， ∴ 𝑎𝑥−2≥0在[2, +∞)上恒成立， 即𝑎≥𝑥在[2, +∞)恒成立， ∵ 0<𝑥≤1， ∴ 𝑎≥1. 故选𝐶． 3.
【答案】 D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
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22
【解析】
根据函数的“三要素”逐项判断即可． 【解答】
解：函数𝑦=√−2𝑥3的值域为[0, +∞)，
而𝑦=𝑥√−2𝑥和𝑦=−√2𝑥3的值域均为(−∞,0]， 故𝐴，𝐵与已知函数不是相同函数； 𝑦=√−2𝑥3的定义域为(−∞, 0]， 而𝑦=𝑥2√𝑥的定义域为(−∞, 0)， 定义域不同，故𝐶与已知函数不相同； 𝑦=−𝑥√−2𝑥的定义域为(−∞, 0]，
且𝑦=−𝑥√−2𝑥=√−2𝑥(−𝑥)2=√−2𝑥3，
与已知函数解析式也相同，故𝐷与已知函数是相同函数. 故选𝐷． 4.
【答案】 C
【考点】
函数的定义域及其求法 【解析】
函数式由两部分构成，且每一部分都是分式，分母又含有根式，求解时既保证分式有意义，还要保证根式有意义． 【解答】
解：要使原函数有意义，
1−𝑥>0，1需{解得−<𝑥<1，
3
3𝑥+1>0，所以函数的定义域为(−3，1)． 故选𝐶． 5.
【答案】 D
【考点】
奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质
【解析】
本题考查的是函数的奇偶性和单调性以及解不等式的综合类问题．在解答时，首先要结合奇偶性和单调性对不等式进行转化变形，将问题转化为解不等式：2𝑥𝑓(𝑥)<0， 然后再分类讨论即可获得问题的解答． 【解答】
解：∵ 函数𝑓(𝑥)是奇函数，函数𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是增函数， ∴ 它在(−∞, 0)上也是增函数， ∵ 𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)， ∴ 𝑓(−1)=−𝑓(1)=0．
不等式𝑥[𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)]<0可化为2𝑥𝑓(𝑥)<0，
试卷第5页，总15页
1
−2
即𝑥𝑓(𝑥)<0， ∴ 当𝑥<0时，
可得𝑓(𝑥)>0=𝑓(−1)， ∴ 𝑥>−1， ∴ −1<𝑥<0；
当𝑥>0时，可得𝑓(𝑥)<0=𝑓(1)， ∴ 𝑥<1， ∴ 0<𝑥<1．
综上，不等式𝑥[𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)]<0的解集为 {𝑥|−1<𝑥<0, 或0<𝑥<1}． 故选𝐷． 6.
【答案】 C
【考点】
函数奇偶性的判断 【解析】
由题意可得，|𝑓(𝑥)|为偶函数，|𝑔(𝑥)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论． 【解答】
解：∵ 𝑓(𝑥)是奇函数，𝑔(𝑥)是偶函数， ∴ |𝑓(𝑥)|为偶函数，|𝑔(𝑥)|为偶函数． 再根据两个奇函数的积是偶函数， 两个偶函数的积还是偶函数，
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数， 可得 𝑓(𝑥)|𝑔(𝑥)|为奇函数. 故选𝐶． 7.
【答案】 A
【考点】
二次函数的性质 【解析】
当𝑎=0时，确定出𝑓(𝑥)解析式，满足题意；当𝑎≠0时，利用二次函数性质求出𝑎的范围，综上，得到实数𝑎的取值范围即可． 【解答】
解：当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=−6𝑥+18， 满足在区间(−3, +∞)上递减；
当𝑎≠0时，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+2(𝑎−3)𝑥+18的图象的对称轴方程为： 𝑥=
3−𝑎𝑎
，且函数在区间(−3, +∞)上递减，
3−𝑎𝑎
∴ 𝑎<0，且
3
≤−3，
解得：−2≤𝑎<0，
则实数𝑎的取值范围是[−2, 0].
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3
故选𝐴． 8.
【答案】 A
【考点】
函数解析式的求解及常用方法 【解析】
由函数𝑓(𝑥)的解析式，由于𝑥=(𝑥+1)−1，用𝑥+1代换𝑥，即可得𝑓(𝑥)的解析式． 【解答】
解：∵ 函数𝑓(𝑥−1)=𝑥2，
∴ 𝑓(𝑥)=𝑓[(𝑥+1)−1]=(𝑥+1)2 =𝑥2+2𝑥+1. 故选𝐴． 9.
【答案】 B
【考点】
函数奇偶性的判断 函数单调性的性质 【解析】
先根据偶函数将𝑓(−)转化成𝑓()，在同一个单调区间上比较𝑎2+2𝑎+与的大小，2
2
2
2
3
3
5
3
再根据函数的单调性进行判定即可． 【解答】
解：∵ 𝑓(𝑥)是偶函数， ∴ 𝑓(−)=𝑓()，
2
2
3
3
而𝑎2+2𝑎+2−2=(𝑎+1)2≥0， ∴ 𝑎2+2𝑎+2≥2>0，
∵ 函数𝑓(𝑥)在[0, +∞)上是减函数， ∴ 𝑓(−2)≥𝑓(𝑎2+2𝑎+2). 故选𝐵. 10.
【答案】 D
【考点】
分段函数的应用 【解析】
由条件可得，𝑎−3<0①，2𝑎>0②，(𝑎−3)×1+5≥2𝑎③，求出它们的交集即可． 【解答】
3
5
5
3
53
试卷第7页，总15页
(𝑎−3)𝑥+5,𝑥≤1，解：由于函数𝑓(𝑥)={ 2𝑎
，𝑥>1，𝑥
是(−∞, +∞)上的减函数，
则𝑥≤1时，是减函数，则𝑎−3<0① 𝑥>1时，是减函数，则2𝑎>0②
由单调递减的定义可得，(𝑎−3)×1+5≥2𝑎③ 由①②③解得，0<𝑎≤2． 故选𝐷．
二、填空题（每小题5分，满分25分）
【答案】 [0, 2] 【考点】
函数的值域及其求法 【解析】
此题是对二次函数值域的考察．难点是二次函数如何化成顶点式，进而求出值域． 【解答】
解：令𝑡=−𝑥2−6𝑥−5 =−(𝑥+3)2+4， ∴ 𝑡≤4，
∴ 0≤√𝑡≤2， ∴ 0≤𝑦≤2.
故答案为：[0, 2]． 【答案】
1
(−，1] 2【考点】
奇偶性与单调性的综合 【解析】
由𝑓(1+𝑚)+𝑓(𝑚)<0，结合已知条件可得−2<3−2𝑎<2−𝑎<2，解不等式可求𝑎的范围． 【解答】
解：∵ 函数𝑓(𝑥)为定义域在[−2, 2]上的奇函数， 则由𝑓(1+𝑚)+𝑓(𝑚)<0，
可得𝑓(1+𝑚)<−𝑓(𝑚)=𝑓(−𝑚)，
又根据条件知函数𝑓(𝑥)在定义域上单调递减， ∴ −2≤−𝑚<1+𝑚≤2， 解可得，−2<𝑚≤1． 故答案为：(−2，1]． 【答案】 −18
【考点】
函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】
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11
令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+5=𝑎𝑥5+𝑥3+𝑏𝑥，可证𝑔(𝑥)为奇函数，从而可得𝑔(−100)=−𝑔(100)，代入可得𝑓(−100)与𝑓(100)的关系，从而求得𝑓(100)． 【解答】
解：令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+5=𝑎𝑥5+𝑥3+𝑏𝑥， ∵ 𝑔(−𝑥)=𝑎(−𝑥)5+(−𝑥)3+𝑏(−𝑥) =−(𝑎𝑥5+𝑥3+𝑏𝑥)=−𝑔(𝑥)， ∴ 𝑔(𝑥)为奇函数，
∴ 𝑔(−100)=−𝑔(100)，
即𝑓(−100)+5=−[𝑓(100)+5]， ∴ 8+5=−[𝑓(100)+5]， 得𝑓(100)=−18. 故答案为：−18． 【答案】 −28
【考点】
函数奇偶性的性质 函数的求值
【解析】
由已知得𝑔(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−(𝑥2−3𝑥)=−𝑥2+3𝑥，从而𝑔(−1)=−1−3=−4，𝑓（𝑔(−1)）=𝑓(−4)=𝑔(−4)=−16−12=−28． 【解答】
𝑥2+3𝑥(𝑥≥0)，解：∵ 函数𝑓(𝑥)={为奇函数，
𝑔(𝑥)(𝑥<0)
∴ 𝑔(𝑥)=−𝑓(−𝑥)=−(𝑥2−3𝑥)=−𝑥2+3𝑥， 𝑔(−1)=−1−3=−4，
𝑓（𝑔(−1)）=𝑓(−4)=𝑔(−4)=−16−12=−28． 故答案为：−28． 【答案】
𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+7 【考点】
函数解析式的求解及常用方法 【解析】
换元法求函数的解析式． 【解答】
解：令𝑥+2=𝑡，令𝑥=𝑡−2；
则𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑡)=(𝑡−2)2−(𝑡−2)+1 =𝑡2−5𝑡+7；
故𝑓(𝑥)的解析式为𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+7. 故答案为：𝑓(𝑥)=𝑥2−5𝑥+7． 三、解答题 【答案】
解：(1)函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥为奇函数，
证明：对于函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，其定义域为{𝑥|𝑥≠0}， 因为对于定义域内的每一个𝑥，
11
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都有𝑓(−𝑥)=−𝑥+
1−𝑥
=−(𝑥+)=−𝑓(𝑥)，
𝑥
1
1
所以，函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥为奇函数. (2)设任意𝑥1，𝑥2∈[1, +∞)，且𝑥1<𝑥2， 则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=(𝑥1+𝑥)−(𝑥2+𝑥)
1
2
11
=(𝑥1−𝑥2)+=
𝑥1𝑥2
𝑥2−𝑥11
=(𝑥1−𝑥2)(1−) 𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2，
(𝑥1−𝑥2)(𝑥1𝑥2−1)
已知𝑥1，𝑥2∈[1, +∞)，
则𝑥1𝑥2−1>0，𝑥1−𝑥2<0，
即𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， ∴ 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥在[1, +∞)上是增函数. 【考点】
函数奇偶性的判断
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可证明𝑓(𝑥)在[1, +∞)上是增函数． 【解答】
解：(1)函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥为奇函数，
证明：对于函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥，其定义域为{𝑥|𝑥≠0}， 因为对于定义域内的每一个𝑥，
都有𝑓(−𝑥)=−𝑥+−𝑥=−(𝑥+𝑥)=−𝑓(𝑥)， 所以，函数𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥为奇函数. (2)设任意𝑥1，𝑥2∈[1, +∞)，且𝑥1<𝑥2， 则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=(𝑥1+𝑥)−(𝑥2+𝑥)
1
2
1
1
1
11
1
11
=(𝑥1−𝑥2)+=
𝑥1𝑥2
𝑥2−𝑥11
=(𝑥1−𝑥2)(1−) 𝑥1𝑥2𝑥1𝑥2，
(𝑥1−𝑥2)(𝑥1𝑥2−1)
已知𝑥1，𝑥2∈[1, +∞)，
则𝑥1𝑥2−1>0，𝑥1−𝑥2<0，
即𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， ∴ 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥在[1, +∞)上是增函数. 【答案】
解：(1)𝑎=−1时，
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1
集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≥0}={𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥5}， 集合𝐵={𝑥|2𝑎≤𝑥≤𝑎+2}={𝑥|−2≤𝑥≤1}， ∴ 𝐴∩𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤−1}， 𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≤1或𝑥≥5}． (2)∵ 𝐴∩𝐵=𝐵， ∴ 𝐵⊆𝐴，
当𝐵=⌀时，2𝑎>𝑎+2，解得𝑎>2， 当𝐵≠⌀时，{
𝑎≤2，或{
2𝑎≥5，𝑎≤2，𝑎+2≤−1，解得𝑎≤−3．
综上，𝑎>2或𝑎≤−3． 【考点】
集合关系中的参数取值问题 一元二次不等式的解法 交集及其运算 并集及其运算 【解析】
（1）由此能求出集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≥0}={𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥5}，从而能求出𝐴∩𝐵和𝐴∪𝐵．
（2）由𝐴∩𝐵=𝐵，得𝐵⊆𝐴，由此能求出实数𝑎的取值范围． 【解答】
解：(1)𝑎=−1时，
集合𝐴={𝑥|𝑥2−4𝑥−5≥0}={𝑥|𝑥≤−1或𝑥≥5}， 集合𝐵={𝑥|2𝑎≤𝑥≤𝑎+2}={𝑥|−2≤𝑥≤1}， ∴ 𝐴∩𝐵={𝑥|−2≤𝑥≤−1}， 𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≤1或𝑥≥5}． (2)∵ 𝐴∩𝐵=𝐵， ∴ 𝐵⊆𝐴，
当𝐵=⌀时，2𝑎>𝑎+2，解得𝑎>2， 当𝐵≠⌀时，{
𝑎≤2，或{
𝑎≤2，
𝑎+2≤−1，2𝑎≥5，解得𝑎≤−3．
综上，𝑎>2或𝑎≤−3．
【答案】
解：(1)由𝑓(0)=2，解得：𝑐=2， ∴ 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2(𝑎≠0)， 由𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)
=[𝑎(𝑥+2)2+𝑏(𝑥+2)+2]−[𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2] =4𝑎𝑥+4𝑎+2𝑏 =16𝑥，
4𝑎=16，𝑎=4，∴ {解得：{
4𝑎+2𝑏=0，𝑏=−8，试卷第11页，总15页
∴ 𝑓(𝑥)=4𝑥2−8𝑥+2；
(2)∵ ∃𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑓(𝑥)>2𝑥+𝑚， 即∃𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑚<4𝑥2−10𝑥+2成立， 令𝑔(𝑥)=4𝑥2−10𝑥+2，𝑥∈[1, 2]， 故𝑔(𝑥)最大=𝑔(2)=−2， ∴ 𝑚<−2．
【考点】
函数恒成立问题
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）由𝑓(0)=2，求出𝑐=2，根据𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)=4𝑎𝑥+4𝑎+2𝑏=16𝑥，通过系数相等，从而求出𝑎，𝑏的值；
（2）问题转化为∃𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑚<4𝑥2−10𝑥+2成立，令𝑔(𝑥)=4𝑥2−10𝑥+2，𝑥∈[1, 2]，求出𝑔(𝑥)的最大值即可． 【解答】
解：(1)由𝑓(0)=2，解得：𝑐=2， ∴ 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2(𝑎≠0)， 由𝑓(𝑥+2)−𝑓(𝑥)
=[𝑎(𝑥+2)2+𝑏(𝑥+2)+2]−[𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2] =4𝑎𝑥+4𝑎+2𝑏 =16𝑥，
4𝑎=16，𝑎=4，∴ {解得：{
4𝑎+2𝑏=0，𝑏=−8，∴ 𝑓(𝑥)=4𝑥2−8𝑥+2；
(2)∵ ∃𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑓(𝑥)>2𝑥+𝑚， 即∃𝑥∈[1, 2]，使不等式𝑚<4𝑥2−10𝑥+2成立， 令𝑔(𝑥)=4𝑥2−10𝑥+2，𝑥∈[1, 2]， 故𝑔(𝑥)最大=𝑔(2)=−2， ∴ 𝑚<−2．
【答案】
(1)解：因为𝑓(𝑥)为(−1, 1)上的奇函数， 所以𝑓(0)=0，即𝑏=0， 又𝑓(2)=5， 所以
1𝑎211+4
12
=，
5
2
解得𝑎=1， 所以𝑓(𝑥)=1+𝑥2；
(2)证明：设−1<𝑥1<𝑥2<1，
12
则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=1+𝑥2−1+𝑥2 1
2
𝑥
𝑥𝑥
试卷第12页，总15页
=
(𝑥1−𝑥2)(1−𝑥1𝑥2)
2)(1+𝑥2)(1+𝑥12
，
因为−1<𝑥1<𝑥2<1，
所以𝑥1−𝑥2<0，1−𝑥1𝑥2>0，
所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，即𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， 所以函数𝑓(𝑥)在(−1, 1)上是增函数；
(3)解：𝑓(𝑡−1)+𝑓(𝑡)<0可化为𝑓(𝑡−1)<−𝑓(𝑡)， 又𝑓(𝑥)为奇函数，
所以𝑓(𝑡−1)<𝑓(−𝑡)， 𝑓(𝑥)为(−1, 1)上的增函数， 所以𝑡−1<−𝑡①，
且−1<𝑡−1<1②，−1<𝑡<1③， 联立①②③解得，0<𝑡<，
21
所以不等式𝑓(𝑡−1)+𝑓(𝑡)<0的解集为(0,)．
2
1
【考点】
函数奇偶性的性质 函数单调性的性质 函数单调性的判断与证明 【解析】
（1）根据奇函数性质有𝑓(0)=0，可求出𝑏，由𝑓(2)=5可求得𝑎值． （2）根据函数单调性的定义即可证明；
（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“𝑓”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．
【解答】
(1)解：因为𝑓(𝑥)为(−1, 1)上的奇函数， 所以𝑓(0)=0，即𝑏=0， 又𝑓(2)=5， 所以
1𝑎211+412
12
=5，
𝑥1+𝑥2
2
解得𝑎=1， 所以𝑓(𝑥)=
；
(2)证明：设−1<𝑥1<𝑥2<1，
12
则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=1+𝑥2−1+𝑥2 1
2
𝑥𝑥
=
(𝑥1−𝑥2)(1−𝑥1𝑥2)
2)(1+𝑥2)(1+𝑥12
，
因为−1<𝑥1<𝑥2<1，
所以𝑥1−𝑥2<0，1−𝑥1𝑥2>0，
所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，即𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)， 所以函数𝑓(𝑥)在(−1, 1)上是增函数；
试卷第13页，总15页
(3)𝑓(𝑡−1)+𝑓(𝑡)<0可化为𝑓(𝑡−1)<−𝑓(𝑡)， 又𝑓(𝑥)为奇函数，
所以𝑓(𝑡−1)<𝑓(−𝑡)， 𝑓(𝑥)为(−1, 1)上的增函数， 所以𝑡−1<−𝑡①，
且−1<𝑡−1<1②，−1<𝑡<1③， 联立①②③解得，0<𝑡<2，
所以不等式𝑓(𝑡−1)+𝑓(𝑡)<0的解集为(0,2)． 【答案】
解：(1)根据函数𝑓(𝑥)=|𝑥2−4𝑥−5| =|(𝑥−5)(𝑥+1)|，
画出函数𝑓(𝑥)的图象如图所示：
1
1
(2)∵ 函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有3个交点，
∴ 由(1)的图可知此时𝑔(𝑥)的图象经过： 𝑦=−(𝑥2−4𝑥−5)的最高点(2, 9)， 可得𝑘=9. 【考点】
函数图象的作法 函数的图象
【解析】
（1）由于函数𝑓(𝑥)的解析式画出函数𝑓(𝑥)的图象如如所示：
（2）∵ 函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有3个交点，可得𝑔(𝑥)的图象经过𝑦=−(𝑥2−4𝑥−5)的最高点(2, 9)，从而求得𝑘的值．
【解答】
解：(1)根据函数𝑓(𝑥)=|𝑥2−4𝑥−5| =|(𝑥−5)(𝑥+1)|，
画出函数𝑓(𝑥)的图象如图所示：
试卷第14页，总15页
(2)∵ 函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)有3个交点，
∴ 由(1)的图可知此时𝑔(𝑥)的图象经过： 𝑦=−(𝑥2−4𝑥−5)的最高点(2, 9)， 可得𝑘=9.
【答案】
解：(1)依题意，可得：
1
𝑦=𝑔(𝑡)⋅𝑓(𝑡)=(80−2𝑡)⋅(20−|𝑡−10|)
2=(40−𝑡)⋅(40−|𝑡−10|)， 所以𝑦={
(30+𝑡)(40−𝑡),0≤𝑡≤10，
(50−𝑡)(40−𝑡),10<𝑡≤20，(2)当0≤𝑡≤10时，
𝑦=(30+𝑡)(40−𝑡)=−(𝑡−5)2+1225，
𝑦的取值范围是[1200, 1225]，在𝑡=5时，𝑦取得最大值为1225； 当10<𝑡≤20时，
𝑦=(50−𝑡)(40−𝑡)=(𝑡−45)2−25，
𝑦的取值范围是[600, 1200)，在𝑡=20时，𝑦取得最小值为600． 综上所述，第五天日销售额𝑦最大，最大为1225元； 第20天日销售额𝑦最小，最小为600元．
【考点】
分段函数的应用 【解析】
(1)根据𝑦=𝑔(𝑡)⋅𝑓(𝑡)，可得该种商品的日销售额𝑦与时间𝑡(0≤𝑡≤20)的函数表达式； (2)分段求最值，可求该种商品的日销售额𝑦的最大值和最小值． 【解答】
解：(1)依题意，可得：
1
𝑦=𝑔(𝑡)⋅𝑓(𝑡)=(80−2𝑡)⋅(20−|𝑡−10|)
2=(40−𝑡)⋅(40−|𝑡−10|)， 所以𝑦={
(2)当0≤𝑡≤10时，𝑦=(30+𝑡)(40−𝑡)=−(𝑡−5)2+1225， 𝑦的取值范围是[1200, 1225]，在𝑡=5时，𝑦取得最大值为1225； 当10<𝑡≤20时，𝑦=(50−𝑡)(40−𝑡)=(𝑡−45)2−25， 𝑦的取值范围是[600, 1200)，在𝑡=20时，𝑦取得最小值为600． 综上所述，第五天日销售额𝑦最大，最大为1225元； 第20天日销售额𝑦最小，最小为600元．
(50−𝑡)(40−𝑡),10<𝑡≤20，(30+𝑡)(40−𝑡),0≤𝑡≤10，试卷第15页，总15页
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