一次函数复习讲义

考点一 象限内和坐标轴上点坐标特征

一次函数

B．1m0 212m在第四象限，那么m的取值范围是（ ） 【例1】 如果点Pm， A．0m1 2C．m0 D．m1 2【例2】 若点A(2，n)在x轴上，则点B(n2，n1)在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【例3】 若点(a，b)在第三象限，则点(a1，3b2)在（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点二 特殊点坐标的特征

m1)关于y轴的对称点的坐标是m)在第二，四象限的角平分线上，则点(m，【例4】 若点P(m22，__________

4)，且AB∥x轴，则m、n满足的条件为____________ 【例5】 已知两点A(3，m)、B(n，【例6】 已知点N(3a2，4a)到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，则a的值为___________

考点三 对称点坐标的特征

1关于y轴对称的点的坐标为（ ） 【例7】 点P2，

A．2，1 1 B．2，C．2，1 1 D．2，3关于原点对称点P的坐标是________． 【例8】 在平面直角坐标系中，点P2，【例9】 已知点P(a1，2a1)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________．

考点四 点的坐标与两点间距离

1，将线段AB平1，B1，【例10】 在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A4，移后得到线段AB，若点A的坐标为2，2，则点B的坐标为（ ） 3 A．4，B．3，4 C．1，2 D．2，1

5)、B(1，1)，那么线段AB的长度为（ ） 【例11】 已知点A(3， A.4 B.32 C.42 D.5

【例12】 已知直线yx3与抛物线yx22x3交于A、B两点，在线段AB上有一动点P，过

1

点P作PQx轴交抛物线于点Q，则线段PQ的最大值为（ ）

A.3 2B.

9 4C.

1 2D.

1 4考点五 函数的唯一性

【例13】 下列各选项中，不是函数的是（ ）

yOA

yxOB

yyxxOCODx

【例14】 下列关于变量x、y的关系式：①3x2y1；②y6x；③xy22，其中表示y是x的

函数的个数是（ ）

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

考点六 自变量的取值范围

【例15】 函数y3x113x的自变量x的取值范围是___________ 【例16】 函数y1x1的自变量的取值范围是___________ 7x【例17】 已知等腰三角形的周长为20，设底边长为y，腰长为x，则y与x的函数关系式为________，

自变量的取值范围是_________

【例】（2014•四川泸州，第14题，3分）使函数y=取值范围是 _____

+有意义的自变量x的

考点七 函数图象信息题

【例18】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个

进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断： ⑴0点到3点只进水不出水；

20进水量(立方米)20出水量(立方米)6050⑵3点到4点不进水只出水， ⑶4点到6点不进水也不出水.

10O12时间(小时)O1时间(小时)O3456时间(小时)其中正确的是( )

甲 乙 丙 A．⑴ B．⑶ C．⑴⑶ D．⑴⑵⑶

2

【例19】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路

到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（

A．12分钟

） B．15分钟

C．25分钟

D．27分钟

路程（千米）单位 考点八 正比例函数与一次函数的定义

【例20】 已知y(m2)xm1421是正比例函数，则m的值是__________

2m21O家3812时间（分钟）【例21】 已知函数y(m1)xmn是一次函数，则m、n需要满足的条件为__________ 【例22】 下列函数：①y8x；②y其中一次函数的个数是（ ） A.4

B.3

8x1；③yx2(x1)(x3)；④y；⑤y2x21。x3C.2 D.1

考点九 正比例函数与一次函数的图象和性质

【例23】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数yk1x，yk2x，yk3x，yk4x的图像分别

是l1，l2，l3，l4；那么k1，k2，k3，k4的大小关系是_________________.

l1l2yl3l4 Ox

【例24】 已知正比例函数y(2k1)xk

23，且y随x的增大而减小，则k的值为__________ 【例25】 已知函数ykx(k0)的图象过点Py1)，P2(x2，y2)，且x1x2时，y1y2，下列说法1(x1，错误的是（ ）

A.图象经过第一、三象限 C.随着x的增大，y也增大

B.图象经过二、四象限 D.k0

【例26】 如果直线yaxb经过第一、二、三象限，那么ab______0（填“”、“”或“”）

【例27】 一次函数y(2m1)x32m的图象不经过第二象限，则m的取值范围是_____________

【例28】 下列图象中，不可能是关于x的一次函数ymx(m3)的图象是（ ）

yOA

yx

yyxOBx

OCODx

3

【例29】 下列图形中，表示一次函数ymxn与正比例函数ymnx（m、n为常数且mn0)

的图像是下图中的( )

yOA

【例31】已知abc≠0，而且

yxOB

yyxxOCODx

abbcca=p，那么直线y=px+p一定通过（ ） cab （A）第一、二象限 （B）第二、三象限

（C）第三、四象限 （D）第一、四象限

【例32】在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条

件的点P共有（ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

【例36】甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a1a米/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同2时从点A出发，时间为t（分），离开点A的路程为S（米），•那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出发后的时间t（分）与离开点A的路程S（米）•之间的函数关系的是（ ）

【例39】（湖州市南浔区2005年初三数学竞赛试）设直线kx+（k+1）y-1=0（为正整数）与两坐标

所围成的图形的面积为Sk（k=1，2，3，……，2008），那么S1+S2+…+S2008=_______．

考点十 待定系数法求正比例函数与一次函数的解析式

3)，它的表达式为（ ） 【例40】一个正比例函数的图象经过点(2，

3A.yx

2B.y2x 3C.y3x 22D.yx

34

【例41】已知y与3x成正比例，且x2时，y3，则y与x之间的函数关系式为_________ 【例42】已知y与x2成正比例，且x1时，y6，则y与x之间的函数关系式为_____________ 【例43】已知一次函数ykxb图象经过(2，3)和(1，4)两点，则k____，b____ 【例44】若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤ 9，求此函数的解析式。

考点十一 两直线的位置关系

【例45】已知直线l1：ykxb与直线l2：y2x1平行，且经过点(2，1)，则直线l1的解析式为________

【例46】已知直线l经过点A(4，将直线l绕点B顺时针旋转90得到直线l1，则直线l1的2)，0)、B(0，解析式为__________

【例47】将直线y3x2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到图象的解析式为______

考点十二 一次函数与方程

【例48】一次函数yaxb的图象如图所示，则方程axb0的解是（ ）

A.x1 C.x1或x3

B.x3 D.x3

3yOx1y=ax+b【例】如图是在同一坐标系内作出的一次函数y1和y2，设y1k1xb1，y2k2xb2，则方程组y1k1xb1的解是（ ） ykxb222y3

x2A.

y2x3C.

y3x2B.

y3x3D.

y41O23l2l14x

【例】已知直线l1与l2相交于点P，l1的函数表达式为y2x3，点P的横坐标为1，且l2交y轴于点A(0，1)，则直线l2的函数表达式为____________

考点十三 一次函数与不等式

3)，则不等式kxb00)、B(0，【例】若一次函数ykxb的图象交坐标轴于A、B两点，A(2，的解集是（ ）

A.x2

B.x3

C.x2

D.x3

yO2x【例】已知函数ykxb的图象如图所示，当x0时，y的取值范围是（ ）

A.y0

B.y0

C.2y0

D.y2

5 【例】已知一次函数ykxb的图象经过(2，那么不等式3kxb1)、(0，3)，

【例】用图象的方法解不等式2x13x4

yy=3x+4y=2x+1Ox1x的解集为_____ 2

考点十三 一次函数图像的几何变换

3【例】直线y2(x2)可以由直线y2x向 平移 个单位得到的．

【例】一次函数y2x3的图象可以看成由正比例函数y2x的图象向 （填“上”和

“下”）平移 个单位得到的．

【例】把函数y2x的图像向右平行移动3个单位，求：

（1）平移后得到的直线解析式；

（2）平移后的直线到两坐标轴距离相等的点的坐标．

【例】若直线ykxb与直线y2x2关于x轴对称，则k，b的值分别是（ ）

A.2，2 B.2,2 C.2，2 D.2，2

【例】若正比例函数ykx与y2x的图象关于x轴对称，则k的值= .

考点十四：一次函数的实际应用

【例】．（2014•聊城）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象． （1）求出图中m，a的值；

（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；

（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km

6

【例】．小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？

【例】．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：

（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按 元收取；超过5吨的部分，每吨按 ___________元收取； （2）请写出y与x的函数关系式；

（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？

【例】．（2014•广安）广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 甲种 乙种 进价（元/千克） 售价（元/千克） 5 9 8 13 （1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？ （2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？

7

【例】(2009年咸宁市)某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图①所示；每个售票窗口票数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图②所示．某天售票厅排队等候购票的人数y（人）与售票时间x（分）的函数关系如图③所示，已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口． （1）求a的值；

（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；

（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？

y/人 y/人 y/人 300 4 240 3 a O 78 x/分 O 1 x/分 O 1 x/分

（图①） （图②） （图③）

考点十五：一次函数与几何图形

【例】由方程│x-1│+│y-1│=1确定的曲线围成的图形是什么图形，其面积是多少？

1)，ABx轴【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，直线yxb经过点A(2，于B，连接AO

⑴求b的值；

⑵M是直线yxb上异于A的一点，且在第一象限内，过点M作x轴的 垂线，垂足为点N，若MON的面积与AOB面积相等，求点M的坐标。

6)，一次函数图象与x轴交于【例】已知正比例函数yk1x与一次函数yk2xb的图象交于点A(8，yAxOB3点B，且OBOA，求这两个函数的解析式

5

8

【例】如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB2，AD1，点Q的坐标为(0，2)．

⑴求直线QC的解析式；

⑵点P(a，0)在边AB上运动，若过点P、Q的直线将矩形ABCD的周长分成3:1两部分，求出此时a的值．

yQC2DAOPBx

9.探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关

问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为

腰

AC

上

的

高

．

（1）若BD=h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1，h2． A、若

M

在线段

BC

上，请你结合图形①证明：h1+h2=h；

B、当点M在BC的延长线上时，h1，h2，h之间的关系为______．（请直接写出结论，不必证明） （2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+6；l2：y=-3x+6．若l2上的一点M到l1的距离是

3，请你利用以上结论求解点

M

的坐标．

9

【例】（西工大八上期末）已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是

腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．标为________．

【例】在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为__________．

【例】如图，已知函数y=﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有一点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣x+b和y=x的图象于点C、D． （1）求点A的坐标； （2）若OB=CD，求a的值．

10

【例】．如图，直线y=kx+4与x轴、y轴分别交于点C、D，点C的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．

（1）求k的值和该直线的函数解析式；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【巩固】．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直． （1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2？

（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式． （3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积？

【例】．如图，已知直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．

（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；

（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．

11

【巩固】．已知：如图，直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F．点E的坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0）． （1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+6上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

【例】．（2010•乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，直线l：A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′． （1）求直线A′B′的解析式；

（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

分别交x轴，y轴于点

【例】、M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A⇒B⇒C⇒D匀速运动，直线MP扫过正方形所形成的面积为Y，点P运动的路程为X，请解答下列问题： （1）当x=1时，求y的值；

（2）就下列各种情况，求y与x之间的函数关系式： ①0≤x≤4；②4＜x≤8 ③8＜x≤12；

（3）在给出的直角坐标系（图2）中，画出（2）中函数的图象．

【例】如图，一次函数限内作等边△ABC，

的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象

12

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（a，）；试用含有a的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ABC的面积相等时a的值；

（3）在x轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例】如图，直线y= -

3x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作31等腰直角△ABC，∠BAC=90°，如果在坐标平面第二象限内有一点P（a，），且△ABP的面积与

2△ABC的面积相等，求a的值.

（ 8, 0）【例】如图,直线ykx6与x轴y轴分别相交于点E、F. 点E的坐标为, 点A的坐标为

0. 点P是第二象限内的直线上的一个动点。 （x,y）6，(1)求k值；

(2)当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

27(3)探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，OPA的面积为，并说明理由

8yFEAOx

【例】、如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。

13

（1）求直线BC的解析式：

（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？

（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

【例】（2013，河北）如图15，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.

（1）当t＝3时，求l的解析式；

（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；

（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.

0作x轴的垂线，与这两个正比例函【例1】 如图所示，已知正比例函数yx和y3x，过点A2，数的图象分别交与B，C两点，求三角形OBC的面积（其中O为坐标原点）。

14

y=3xyCy=xBA(2,0)Ox【例2】 求一次函数y3x2的图象与两坐标轴围成的三角形面积．

【例3】 已知直线yx3的图象与x、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，

把AOB的面积分为2:1的两部分，求直线l的解析式。

0,直线CD与x轴、y轴【例4】 在平面直角坐标系中，CAx轴于点A，BDx轴于点B3，（1，0）分别交于点F，E，且解析式ykx3，S四边形ABCD4，求直线CD的解析式。

y

ECDxOABF

【例5】 如图，在平面直角坐标系中，点Px,y是第一象限直线yx6上的点，点A5,0，O是坐标原点，PAO的面积为s，求s与x的函数关系式.

15

yP（x，y）OAx

16