新乡市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新乡市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线 A．

B．

C．

D．± 上，则

=（ ）

3． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

4． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）

A．5 B．4 C．4 D．2

5． 已知向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），若与共线．则n等于（ ） A．1

B．

C．2

D．4

6． 三个数a=0.52，b=log20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a

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精选高中模拟试卷

7． 设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则A．2

B．4

C．

D．

=（ ）

8． 已知an=A．a1，a30

*

（n∈N），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（ ）

B．a1，a9

﹣

C．a10，a9 D．a10，a30

9． 已知点M（﹣6，5）在双曲线C：方程为（ ） A．y=±

x B．y=±

x C．y=±x

=1（a＞0，b＞0）上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线

D．y=±x

10．已知，[,]，则“||||”是“||||coscos”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 11．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．123 B．163 C．203 D．323 12．设复数z满足z（1+i）=2（i为虚数单位），则z=（ ） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i

D．﹣1+i

二、填空题

13．设x，y满足的约束条件

，则z=x+2y的最大值为 ．

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精选高中模拟试卷

14．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；

③当x=1时，（i，j）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值； ⑤M中的元素之和为0．

且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：

其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）

15．若函数y=ln（﹣2x）为奇函数，则a= ．

16．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）． ①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；

②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 17．设函数

则

______；若

，

，则

的大小

﹣

=1与椭圆

有相同的焦点．

关系是______． 18．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．

三、解答题

19．设函数

，若对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．

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20．x正半轴为极轴建立极坐标系，在直角坐标系xOy中，以O为极点，曲线C的极坐标方程为ρcos（=1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（1）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

21．已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证： （Ⅰ）++

≥8；

）

（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．

22．已知

，且

．

，求sinβ的值．

（1）求sinα，cosα的值； （2）若

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23．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为

（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；

（t为参数）．

（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．

24．已知函数f（x）=

sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象

0 0 ，

]上的值域； ）=1，b+c=4，a=

，求△ABC的面

时，列表并填入的部分数据如下表： x ① π f（x） 0 1 π ﹣1 （Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣

（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+积．

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新乡市第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

22

【解析】解：∵“a＞b”既不能推出“a＞b”； 22

反之，由“a＞b”也不能推出“a＞b”． 22

∴“a＞b”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．

故选D．

2． 【答案】D

上，

【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，

根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10， 则故选：D．

=

=±

=±．

【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念. 4． 【答案】 D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4， 则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时， PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0）， ∴|PE|min=故选：D．

=2

．

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

5． 【答案】A

【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线． ∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1 故选：A

6． 【答案】A

【解析】解：∵a=0.52=0.25， b=log20.5＜log21=0， c=20.5＞20=1， ∴b＜a＜c． 故选：A．

【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．

7． 【答案】C

【解析】解：由于q=2， ∴∴

故选：C．

；

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8． 【答案】C 【解析】解：an=

图象如图， ∵9＜

＜10．

=1+

，该函数在（0，

）和（

，+∞）上都是递减的，

∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10，a9． 故选：C． 是基础题．

9． 【答案】A

【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，

【解析】解：∵点M（﹣6，5）在双曲线C：∴

，①

﹣=1（a＞0，b＞0）上，

又∵双曲线C的焦距为12， ∴12=2

22

，即a+b=36，②

22

联立①、②，可得a=16，b=20，

∴渐近线方程为：y=±故选：A．

x=±x，

【点评】本题考查求双曲线的渐近线，注意解题方法的积累，属于基础题．

10．【答案】A.

【解析】||||coscos||cos||cos，设f(x)|x|cosx，x[,]， 显然f(x)是偶函数，且在[0,]上单调递增，故f(x)在[,0]上单调递减，∴f()f()||||，故是充分必要条件，故选A. 11．【答案】C 【解析】

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考点：三视图． 12．【答案】A

【解析】解：∵z（1+i）=2，∴z=故选：A．

【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．

=

=1﹣i．

二、填空题

13．【答案】 7 ．

【解析】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣由

，得

，

，由图象可知当直线y=﹣

，

经过点B时，直线y=﹣

的截距最大，此时z最大．

即B（3，2），

此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7， 故答案为：7．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

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14．【答案】 ①③⑤

【解析】解：建立直角坐标系如图：

则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）． ∵集合M={x|x=

对于①，当i=1，j=3时，x=对于②，当i=3，j=1时，x=对于③，∵集合M={x|x=∴∴

=（1，﹣1），•

=1；

•=

=1；

且i，j∈{1，2，3，4}}，

=（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确； =（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误； 且i，j∈{1，2，3，4}}， =（0，﹣1），

•

==1；

=（1，0）， •

=1；

∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；

④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；

⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2； 当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0， ∴M中的元素之和为0，故⑤正确． 综上所述，正确的序号为：①③⑤， 故答案为：①③⑤．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得﹣1），

=

=（0，﹣1），

=

难题．

15．【答案】 4 ．

【解析】解：函数y=ln（可得f（﹣x）=﹣f（x）， ln（

+2x）=﹣ln（

﹣2x）．

=（1，

=（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于

﹣2x）为奇函数，

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ln（+2x）=ln（）=ln（）．

22

可得1+ax﹣4x=1，

解得a=4．

故答案为：4．

16．【答案】 ②③ ．

【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．

②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．

③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．

④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．

故正确的命题为②③． 故答案为：②③．

【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．

17．【答案】，

【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】

，因为

又若所以：

，结合图像知：。

．

，所以

故答案为：，18．【答案】 4+

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【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图， ∵底面边长为6，∴BC=则∴

∴正四棱柱容器的高的最小值为4+故答案为：4+

．

．

，

，

=

，

，

球O的半径为3，球O1 的半径为1， 在Rt△OMO1中，OO1=4，

【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：∵

2

∴f′（x）=3x﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），

，

∴当x∈[﹣1，﹣），（1，2]时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣，1）时，f′（x）＜0；

∴f（x）在[﹣1，﹣），（1，2]上单调递增，在（﹣，1）上单调递减； 且f（﹣）=﹣

﹣×+2×+5=5+

，f（2）=8﹣×4﹣2×2+5=7；

故fmax（x）=f（2）=7；

故实数m的取值范围为（7，+∞）．

故对于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立可化为7＜m；

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由

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从而C的直角坐标方程为

即

θ=0时，ρ=2，所以M（2，0） ，

（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为所以P点的直角坐标为所以直线OP的极坐标方程为

，则P点的极坐标为，ρ∈（﹣∞，+∞）

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0， ∴++=2（∴++

=

=2（

）=2（

）

）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号）， ≥8；

，

（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++由（Ⅰ）知， ++∴1+++

≥9，

≥8，

∴（1+）（1+）≥9．

22．【答案】 【解析】解：（1）将sin

∴sinα=，

+cos

=

两边平方得：（sin

+cos

22

）=sin

+2sincos

+cos2

=1+sinα=，

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∵α∈（∴cosα=﹣

，π），

=﹣

；

），

=﹣，

+

=

．

（2）∵α∈（∴α+β∈（

，π），β∈（0，，

），

∵sin（α+β）=﹣＜0， ∴α+β∈（π，∴cos（α+β）=﹣

），

则sinβ=sin=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×（﹣）﹣（﹣）×=

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．

23．【答案】

【解析】

【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 简曲线C2的参数方程为普通方程； 股定理，即可得到最小值．

22

可化为直角坐标方程x+y﹣2x+4y+4=0， 22

即圆（x﹣1）+（y+2）=1；

【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化

（t为参数），

（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾

2

【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，

曲线C2的参数方程为

可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．

（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小． 则由点到直线的距离公式可得d=则切线长为

=

．

．

=4，

故这条切线长的最小值为

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【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题． 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）①处应填入

．

=∵T=∴即∵

，∴

．

， ，

．

=（b+c）2﹣3bc，

，

，

．

，∴

，

，

．

从而得到f（x）的值域为（Ⅱ）∵又0＜A＜π，∴得

，

222

由余弦定理得a=b+c﹣2bccosA=

即

∴△ABC的面积

，∴bc=3．

．

【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．

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