长治县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长治县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 等差数列{an}中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（ ） A．14 B．18 C．21 D．27

2． 下列判断正确的是（ ）

A．①不是棱柱 B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台

3xy30y13． 若x,y满足约束条件3xy30，则当取最大值时，xy的值为（ ）

x3y0A．1 B． C．3 D．3

4． 若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（

，

），则a的取值范围是（ ）

A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1

5． 已知点M（a，b，c）是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点，则与点M关于z轴对称的点的坐标是（ ） A．（a，﹣b，﹣c） B．（﹣a，b，﹣c） C．（﹣a，﹣b，c） D．（﹣a，﹣b，﹣c）

ABC上的射影为BC的中点， 6． 已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

3357 B． C. D．

44447． 已知函数f(x)cos(x)，则要得到其导函数yf'(x)的图象，只需将函数yf(x)

3 A．

的图象（ ）

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精选高中模拟试卷

个单位 B．向左平移个单位 2222C. 向右平移个单位 D．左平移个单位

33A．向右平移

8． 已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ） A．

9． 已知向量A．1

B．2

C．

D．3

B．

C．

，且

D．

2

，则sin2θ+cosθ的值为（ ）

2x1,x110．设函数fx，则使得fx1的自变量的取值范围为（ ）

4x1,x1A．,20,10 B．,20,1

C．,21,10 D．2,01,10

C．﹣ D．﹣

11．sin（﹣510°）=（ ） A．

B．

12．已知向量a(t,1)，b(t2,1)，若|ab||ab|，则实数t（ ） A.2 B.1 C. 1 D. 2

【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力．

二、填空题

13．直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为 ． 个红球的概率为 ．

15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则

= ．

14．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一

16．已知x1,x3是函数fxsinx0两个相邻的两个极值点，且fx在x处的导数f3 230，则21f___________． 317．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；

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②对∀x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1； ③若实数x，y满足x2+y2=1，则

的最大值为

；

④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．

⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且取自△ABE内部的概率是 ．

•

=5，则△ABC的形状是直角三角形．

18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q

三、解答题

19．计算下列各式的值： （1）

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）．

20．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x （1）求f（x）最小正周期； （2）求f（x）在区间[

21．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．

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]上的最大值和最小值．

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（1）试探究函数f（x）的零点个数；

（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．

22．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行． （1）求函数的单调区间；

（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．

23．（本小题满分12分）

如图ABC中，已知点D在BC边上，且ADAC0，sinBAC（Ⅰ）求AD的长； （Ⅱ）求cosC．

22，AB32，BD3． 3

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24．椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，

）在C上．

（1）求椭圆C的方程；

的斜率与l的斜率的乘积为定值．

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM

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长治县第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3 解方程可得，a1=2，d=1 ∴a1a6=2×7=14 故选：A

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题

2． 【答案】C

【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C．

3． 【答案】D 【

解

析

】

考

点：简单线性规划． 4． 【答案】A

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3

【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x）的递减区间为（

，）

∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立

，

）恒成立

2

即：﹣a（1﹣3x）≤0，，x∈（2

∵1﹣3x≥0成立

∴a＞0 故选A

【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．

5． 【答案】C

【解析】解：∵在空间直角坐标系中，

点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z）， ∴点M（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为： （﹣a，﹣b，c）． 故选：C．

【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．

6． 【答案】D 【解析】

考

点：异面直线所成的角. 7． 【答案】B 【解析】

试题分析：函数fxcosx

5,f'xsinxcosx，所以函数 336第 7 页，共 15 页

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fxcosx，所以将函数函数yf(x)的图象上所有的点向左平移个单位长度得到

235ycosxcosx，故选B.

326考点：函数yAsinx的图象变换.

8． 【答案】C

【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，

g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0）， 结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即

≤m＜

，

，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

9． 【答案】A

=sinθ﹣2cosθ=0，即 tanθ=2． 【解析】解：由题意可得

2

∴sin2θ+cosθ=

==1，

故选A．

【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

10．【答案】A

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【解析】

考

点：分段函数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 11．【答案】C

【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C．

12．【答案】B

【解析】由|ab||ab|知，ab，∴abt(t2)110，解得t1，故选B.

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：∵直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，则直线过BD的中点（3，2）， 故斜率为

=，

，

∴由斜截式可得直线l的方程为故答案为

．

【点评】本题考查直线的斜率公式，直线方程的斜截式．

14．【答案】【

8 9解

析

】

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【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 15．【答案】 1 ．

【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC=∴sinC=

=，cosA=

，sinA=

，

=

复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

∴==1．

故答案为：1．

【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

16．【答案】【解析】

1 2考

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点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．

【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和，再结合极值点的导数等于零，可求出.在求的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用f就可以求出f.1

17．【答案】 ：①②③

3

【解析】解：对于①函数y=2x﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确； 对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；

22

对于③若实数x，y满足x+y=1，则

30来验证.求出fx表达式后，213=

22

，可以看作是圆x+y=1上的点与点（﹣2，0）连线

的斜率，其最大值为，③正确；

对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角， 即π﹣A﹣B＜则cosB＜cos（

，即A+B＞﹣A），

，B＞

﹣A，

即cosB＜sinA，故④不正确．

对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，

取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD， ∵由则即则又BC=5 则有

由余弦定理可得cosC＜0， 即有C为钝角．

则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．

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=

|，

，

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故答案为：①②③ 18．【答案】

．

【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）==

=5…

…

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）

=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2… =

20．【答案】

2

【解析】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+

．…

sin（2x+），

∴它的最小正周期为（2）在区间=0， 当2x+

=

=π． 上，2x+

∈[

，

]，故当2x+

=

时，f（x）取得最小值为 1+

×（﹣

）

时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．

21．【答案】 【解析】解：（1）

，

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令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．

∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当（x）→﹣∞

，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f

∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（即f（x）有2个零点； ②当③当（2）由

，即a=1时，f（x）有1个零点； ，即a＞1时f（x）没有零点；

得

）

（0＜x1＜x2），

=，令

，设

则

，t∈（0，1）且h（1）=0

，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0

即，又，

∴f'（x0）=

＜0．

【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算

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比较复杂，特别是计算过程中，令生的综合能力有比较高的要求．

的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3； 由已知

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2； 所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；

当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增； 所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立 只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜故c的取值范围是{c|c

或c＞1．

或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．

23．【答案】

【解析】（Ⅰ）因为ADAC，所以sinBACsin所以cosBADBADcosBAD, 222．…… 3分 3222在ABD中，由余弦定理可知，BDABAD2ABADcosBAD

2即AD8AD150,解之得AD5或AD3, 由于ABAD,所以AD3．…… 6分

（Ⅱ）在ABD中，由cosBAD221可知sinBAD …… 7分

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BDAB, sinBADsinADBABsinBAD6所以sinADB…… 9分 BD3 由正弦定理可知，

因为ADBDACC24．【答案】

【解析】解：（1）椭圆C：

=1，（a＞b＞0）的离心率

，点（2，．

）在C上，可得

，

2C，即cosC6…… 12分 322

，解得a=8，b=4，所求椭圆C方程为：

（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）， 把直线y=kx+b代入故xM=

=

222

可得（2k+1）x+4kbx+2b﹣8=0，

，yM=kxM+b=

=

， ，即KOMk=

．

于是在OM的斜率为：KOM=

∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．

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