北京四中数学必修一【知识讲解】1.3奇偶性(基础)

函数的奇偶性

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)f(x)0,f(x)1(f(x)0)， f(x)f(x)1(f(x)0)； f(x) f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)f(x)0，（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数f(x)的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，

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则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式；

（3）求f(x)，可根据f(x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性.

若f(x)=-f(x)，则f(x)是奇函数； 若f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数；

若f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；

若f(x)f(x)且f(x)=-f(x)，则f(x)既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(x)与f(x)之一是否相等.

（2）验证法：在判断f(x)与f(x)的关系时，只需验证f(x)f(x)=0及

f(x)1是否成立即可. f(x)（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与

f(x)的关系.首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则f(x)在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；

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偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则f(x)在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)(x1)1-x2

； (2)f(x)=x-4|x|+3 ； 1x1-x2(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)f(x)；

|x2|-221-xx(x0)(5)f(x)2； (6)f(x)[g(x)-g(x)](xR)．

2xx(x0)【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

2

2

1-x20-1x1  x-1,00,1 (4)x0且x-4x+221-x21-x2 f(x)(x2)-2x1-(-x)21-x2f(-x)--f(x)，∴f(x)为奇函数；

-xx(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(6)

11f(-x){g(-x)-g[-(-x)]}[g(-x)-g(x)]-f(x)，∴f(x)为奇函数.

22【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”

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的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|x2|的绝对值符号时就十分麻烦.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)3x； x23(2)f(x)|x1||x1|；

2x22x(3)f(x)；

x1x22x1(x0)(x0). (4)f(x)0x22x1(x0)【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)f(x)的定义域是R， 又f(x)3(x)3xf(x)，f(x)是奇函数． 22(x)3x3（2）f(x)的定义域是R，

又f(x)|x1||x1||x1||x1|f(x)，f(x)是偶函数． （3）函数定义域为x1，定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数． （4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)+2(-x)-1=x-2x-1=-(-x+2x+1)=-f(x) 任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)+2(-x)+1=-x-2x+1=-(x+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.

证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】

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【变式3】设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.

A．f(x)+|g(x)|是偶函数 B．f(x)-|g(x)|是奇函数 C．|f(x)| +g(x)是偶函数 D．|f(x)|- g(x)是奇函数 【答案】A

类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 例2.已知f(x)=x+ax-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26

【解析】法一：∵f(-2)=(-2)+(-2)a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 ∴8a-2b=-50 ∴f(2)=2+2a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x+ax-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题g(2)便能迎刃而解.

举一反三：

【变式1】已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9,g(2)3，则f(2)为（ ）． 【答案】6

【解析】g(2)f(2)93,则f(2)6，又f(x)为奇函数，所以

5

3

5

35

3

5

3

f(2)f(2)6．

例3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x3x1，求f(x)的解析式．

2x23x1,x0,【答案】f(x)0,x0,

x23x1,x0.【解析】

f(x)是定义在R上的奇函数，

f(x)f(x)，当x0时，x0，

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2f(x)f(x)(x)3(x)1

=x3x1

又奇函数f(x)在原点有定义，f(0)0．

2x23x1,x0,f(x)0,x0,

x23x1,x0.【总结升华】若奇函数f(x)在x0处有意义，则必有f(0)0，即它的图象必过原点（0，0）．

举一反三：

【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数

f(x)的定义域是R，当x0时f(x)x23x1，求

f(x)的解析式.

（2）已知奇函数g(x)的定义域是R，当x0时，g(x)解析式.

x22x1，求g(x)的

x22x1(x0)x3x1(x0)【答案】（1）f(x)2；（2）g(x)0　　　（x0）

x22x1(x0)x3x1(x0)2例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当f(a1)f(a)时，求a的取值范围.

【答案】2a1 2【解析】∵f(a-1)|a1||a|2a101-2a12 -3a1 2a.

2-2a2-2a2【总结升华】若一个函数f(x)是偶函数，则一定有f(x)f(|x|)，这样就减少了讨论的麻烦．

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类型三、函数奇偶性的综合问题

例5．设a为实数，函数f(x)=x+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.

【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。 【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数. 当

2

1313a-时，f(x)|min-a;a时，f(x)|mina;242411-a时，f(x)|mina21. 22【解析】当a=0时，f(x)=x+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a≠0时，f(x)=x+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当xa时，f(x)(x)2

2

当

1223-a 41231-a, 且f(-)f(a). 42121②a时，函数f(x)在a,上单调递增，

2①a时，函数f(x)在a，上的最小值为f(-)f(x)在a,上的最小值为f(a)=a2+1.

(2)当xa时，f(x)x-xa1(x)a①a21223 41时，函数f(x)在-,a上单调递减，f(x)在-，a上的最小值为2f(a)a21

1131时，f(x)在-，a上的最小值为f()a，且f()f(a). 22421313综上：a-时，f(x)|min-a;a时，f(x)|mina;

242411-a时，f(x)|mina21. 22②a举一反三：

【变式1】 判断f(x)|xa||xa|(aR)的奇偶性． 【答案】当a0时，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数； 当a0时，函数f(x)是奇函数． 【解析】对a进行分类讨论．

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若a0，则f(x)|x||x|0．

xR，定义域R关于原点对称，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数．

当a0时，数．

综上，当a0时，函数f(x)既是奇函数，又是偶函数； 当a0时，函数f(x)是奇函数．

例6. 已知yf(x)是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数f(1x)的单调递增区间．

【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。

【答案】[0，1]和（―∞，―1]

【解析】 ∵f(x)是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴f(x)在（－∞，0]上是增函数．

设u=1―x2，则函数f(1x)是函数f(u)与函数u=1―x2的复合函数．

∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，f(u)是减函数，根据复合函数的性质，可得f(1x)是增函数．

∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，f(u)是增函数，根据复合函数的性质，可得f(1x)是增函数．

同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，f(1x)是减函数． ∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．

【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．

（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于f(u)的

22222f(x)|xa||xa||xa||xa|f(x)，f(x)是奇函

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减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．

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