成人高考专升本高数试题

（满分150分。考试时间l20分钟。)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只

有一项是符合题目要求的． （1）(x1)的展开式中x的系数为

（A）4

（B）6

（C）10

（D)20

42（2)在等差数列an中，a1a910，则a5的值为

（A)5

(B）6

（C）8

(D)10

（3）若向量a(3,m),b(2,1),ab0，则实数m的值为

（A）3 2（B)

32

(C)2 （D）6

（4）函数y164x的值域是

（A）[0,)

(B）[0,4]

（C）[0,4)

（D）(0,4)

（5）某单位有职工750人,其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了

了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 。 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为

（A)7

（B）15

（C)25

(D）35

（6)下列函数中，周期为，且在[

(A）ysin(2x(C）ysin(x,]上为减函数的是 42（B）ycos(2x（D)ycos(x2)

2)

2)

2)

x0,(7）设变量x,y满足约束条件xy0,则z3x2y的最大值为

2xy20,

（A）0

（B）2

(C)4

（D）6

x2cos,(8）若直线yxb与曲线（[0,2)）有两个不同的公共点，则实数bysin的取值范围为

（A）(22,1)

（B）[22,22]

（C）(,22)(22,) (D）(22,22)

（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点

（A）只有1个

(B)恰有3个

（C)恰有4个

（D)有无穷多个

(10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班,每天安排2人，

每人值班1天;若6位员工中的甲不值14日,乙不值16日，则不同的安排方法共有

（A)30种

（B）36种

（C）42种

（D)48种

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）设Ax|x10,Bx|x0，则AB=____________ 。

t24t1（12)已知t0，则函数y的最小值为____________ .

t（13）已知过抛物线y4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，AF2，则

2BF_ _ 。

（14）加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次

品 率分别为

111、、，且各道工序互不影响，则加706968工出来的零件的次品率为____________ 。

（15）如题(15)图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭

曲线C,各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）

且半径相等。 设第i段弧所对的圆心角为i(i1,2,3)，则

cos13cos233sin13sin233____________ .

三、解答题:本大题共6小题,共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16)（本小题满分13分，(Ⅰ）小问6分，（Ⅱ)小问7分. ）

已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和。 （Ⅰ）求通项an及Sn;

（Ⅱ)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n

项和Tn。

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传\"演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，……,6），求： (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率; (Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

(18）（本小题满分13分）,(Ⅰ)小问5分，（Ⅱ）小问8分）

222设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b+3c—3a=42bc 。

（Ⅰ） 求sinA的值；

2sin(A)sin(BC)44的值。 （Ⅱ)求

1cos2A

（19) （本小题满分12分), （Ⅰ)小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

32已知函数f(x)axxbx（其中常数a，b∈R)，g(x)f(x)f(x)是奇函数。

（Ⅰ)求f(x)的表达式;

（Ⅱ）讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间上的最大值和最小值。

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ)小问5分，（Ⅱ）小问7分。 )

如题(20）图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PAAB的中点.

（Ⅰ）证明:AE平面PBC；

（Ⅱ）若AD1，求二面角BECD的平面角的余弦

值.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ)小问7分. ）

已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲

2，点E是棱PB线C的离心率e5。 2（Ⅰ)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； (Ⅱ）如题(21）图，已知过点M(x1,y1)的直线l1：

x1x4y1y4与过点N(x2,y2)（其中x2x1)的

直线l2：x2x4y2y4的交点E在双曲线C上，

直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGOH的值。

参考答案

1-10 BADCB ACDDC

二．填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）解析：x|x1x|x0x|1x0

t24t11（12)解析：yt42(t0)，当且仅当t1时,ymin2

tt（13）解析:由抛物线的定义可知AFAA1KF2 ABx轴 故AFBF2

(14)解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得

6968673 706968703323(15）解析:cos1cos2 sin1sin2cos133333231又1232,所以cos1

32加工出来的零件的次品率p1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）解：（I)因为{an}是首项为a119,公差d2的等差数列，

所以an192(n1)2n21,

S19nn(n1) 2n1n1 （II）由题意bnan3,所以bnb,

TnSn(133n1)3n1n20n.22

（17）

解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有

A6230种等可能的结果.

(I)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”

2则A包含的结果有A36种，

故所求概率为P(A)61. 305 (II）设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻\"

则B表示甲、乙两单位序号相邻,B包含的结果有52!10种. 从而P(B)1P(B)1102. 303b2c2a222, (18)解：(I）由余弦定理得cosA2bc3又0A,故sinA1cosA21. 32sin(A （II）原式41cos2A)sin(A4

)2sin(A2(42sin2A)sin(A)4

2222sinAcosA)(sinAcosA)2222

2sin2Asin2Acos2A2sin2A 7.2(19）

解:(Ⅰ）由题意得f(x)3ax2xb.

因此g(x)f(x)f(x)ax(3a1)x(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x),即对任意实数x,有

222a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)b[ax2(3a1)x2(b2)xb],

从而3a10,b0,解得a,b0,因此f(x)的解析表达式为

131f(x)x3x2.

312x2x,所以g(x)x22,令g(x)0,解得x12，3 （Ⅱ）由（Ⅰ)知g(x)x22,则当x2或x2时,g(x)0,从而g(x)在区间(,2],[2,)上是减函数；当2x

2时,g(x)0,从而g(x)在区间[2,2]上是增函数.

由前面讨论知，g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x1,2,2时取得,而

5424g(1),g(2),g(2).333因此

g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g(2)424,最小值为g(2). 33

（20）（I）证明：如答(20）图1，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥

AB，由PA=AB知PAB

为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB 由题意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD内的射影， 由垂线定理得BC⊥PB,从而PC⊥平面PAB, 因AE⊥BP，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC。 （II）解：由(I）知BC⊥平面PAB,又AD//BC，

得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE。 在RtPAB中,PA=AB=2,

AE11PBPA2AB21. 22从而在RtCBE中,CE所以CED为等边三角形,

BE2BC22.又CD2，

取CE的中点F，连接DF,则DFCE.

因BE=BC=1，且BC⊥BE，则EBC为等腰直角三角形,连接BF，则BF⊥CE, 所以BFD为所求的二面角的平面角. 连接BD,在RFD中,

DFCDsin3612,BFCE,BDBC2CD23. 222DF2BF2BD23. 所以cosBFD2DFBF3故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为解法二：

3. 3 (I）如答（20)图2，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半

轴，建立空间直角坐标系A-xyz. 设D（0,a，0),则B(2,0,0),C(2,a,0)

P(0,0,2),E(22,0,). 22 于是AE(22,0,),BC(0,a,0) 22 PC(2,a,2)

则AEBC0,AEPC0,所以AE⊥平面PBC.

（II）解：设平面BEC的法向量为n，由（I）知，AE⊥平面BEC,

故可取n1EA(22,0,) 22设平面DEC的法向量n2(x2,y2,z2)，则n2DC0,

n2DE0.

由 |AD|=1，得D(0,1,0),C(2,1,0)

从而DC(2,0,0),DE(22,1,), 22x20,故2 2x2y2z2022所以x20,z22y2.

可取y21,则n2(0,1,2) 从而cosn1,n2n1n23.

|n1||n2|3所以二面角B—EC—D的平面角的余弦值为（21）(本题12分）

3. 3x2y2解：（I)设C的标准方程是221(a0,b0)，

ab则由题意c5,ec5. a2因此a2,bc2a21,

x2y21. C的标准方程为4C的渐近线方程为y1x,即x2y0和x2y0. 2 （II）解法一：如图（21）图，由题意点E(xE,yE)在直线l`:x1x4y1y4和

l2:x2x4y1y4上，因此有x1xE4y1yE4,x2xE4y2yE4

故点M、N均在直线xEx4yEy4上，因此直线MN的方程为

xEx4yEy4.

设G、H分别是直线MN与渐近线x2y0及x2y0的交点，

由方程组xEx4yEy4,xEx4yEy4,及

x2y0x2y0,44x,xCx2yNx2yEEEE. 解得22y,yNCxE2yExE2yE故OGOG4422

xE2yExE2yExE2yExE2yE12. 22xE4yEx222y21上,有xE4yE4. 因为点E在双曲线4所以OGOH123. 22xE4yE解法二：设E(xE,yE),由方程组得

x1x4y1y4, xx4yy4,22解得xE4(y2y1)x1x2,yE,

x1y2x2y1x1y2x2y1xE(xx1). 4yE故直线MN的方程为yy1注意到x1xE4y1yE4,因此直线MN的方程为xEx4yEy4， 下同解法一。