球对称稳态时空中标量场辐射的反射系数和透射系数

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２８卷第４期　青岛科技大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２８　Ｎｏ．４　２００７年８月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ａｕｇ．２００７　文章编号：１６７２—６９８７（２００７）０４—０３６９—０３　球对称稳态时空中标量场辐射的　反射系数和透射系数　郭广海　（青岛科技大学数理学院，山东青岛２６６０６１）　摘　要：采用以方形势垒代替球对称稳态时空中视界附近的势垒的方法，计算了球对称稳　态时空中标量场辐射的反射系数和透射系数，发现在此种类型的时空中，标量场的投射系　数均接近于１，即所有的标量场都将透过势垒而传播到无穷远。　关键词：球对称稳态时空；标量场辐射；反射系数；透射系数　中图分类号：Ｏ　４１２．３　文献标识码：Ａ　Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　Ｓｃａｌａｒ　Ｆｉｅｌｄ　Ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｓｔｅａｄｙ　ａｎｄ　Ｓｐｈｅｒｉｃａｌｌｙ　Ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　Ｓｐａｃｅｔｉｍｅ　ＧＵＯ　Ｇｕａｎｇ－ｈａｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｑｉｎｇｄａｏ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｑｉｎｇｄａｏ　２６６０６１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｔｈｅ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｏｆ　ｓｃａｌａｒ　ｆｉｅｌｄ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｓｔｅａｄｙ　ａｎｄ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌｌｙ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｓｐａｃｅｔｉｍｅ，ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｕｂｓｔｉｔｕ—　ｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｎｅａｒ　ｔｈｅ　ｅｖｅｎｔ　ｈｏｒｉｚｏｎ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｑｕａｒｅ　ｏｎｅ，ａｎｄ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｍｉｓ—　ｓｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｋｉｎｄｓ　ｏｆ　ｓｐａｃｅｔｉｍｅ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓ　ｔＯ　１．Ｔｈａｔ　ｉｓ　ｔｏ　ｓａｙ　ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　ｆｉｅｌｄ　ｃａｎ　ｐｒｏｐａｇａｔｅ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ｈｏｒｉｚｏ　ｎ　ｔＯ　ｒｅａｃｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔｅａｄｙ　ａｎｄ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌｌｙ　ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｓｐａｃｅｔｉｍｅ；ｓｃａｌａｒ　ｆｉｅｌｄ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ；ｒｅｆｌｅｃ—　ｔｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　爱因斯坦的广义相对论和恒星演化理论都　的前提下，计算稳态球对称时空中黑洞事件视界　预言了黑洞的存在，虽然关于黑洞的理论已相对　附近势垒处，标量场辐射的反射和透射系数。　较为成熟，但是其探测仍然是一个未解的难题。人　们可以通过对双星系统的观测来推测黑洞的存　黑洞视界的确定　在，甚至有证据显示银河系中心可能就存在一个　讨论的是渐近ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ时空中标量场辐射的　巨大的黑洞。关于黑洞辐射的理论最著名的要数　情况，即爱因斯坦场方程表述为含宇宙常数的形　霍金的热辐射理论，然而黑洞热辐射效应很微弱　式　而难以探测。后来人们逐渐将研究目标转向了非　一热辐射，这方面的研究工作主要是对黑洞柯希视　寺Ｒｇ　＋Ａ　一８　（１）　界的稳定性进行讨论，得出黑洞标量场、以及旋量　对于球对称时空，线元的形式为　场等辐射等性质，进而从理论上对黑洞的探测提　ｄ　一一　（ｒ）ｄ　＋７　１　ｄｒ２＋　供指导［１　］。本研究在假设黑洞标量场辐射存在　收稿日期：２００７－０４—１６　作者简介：郭广海（１９７６￣），男，副教授　维普资讯 http://www.cqvip.com ３７Ｏ　ｒ２ｄ　＋ｒ。ｓｉｎ。　ｄ　。　青岛科技大学学报（自然科学版）　第２８卷　（２）　一Ｅ一　ｄ２＋４／ＶＦＶ（ｚ）］儿（ｚ）：　ｄｚ０　“、　式中，厂（ｒ）一１—２Ｍ＋　Ａ　ｒ２　（３）４／Ｖ／￣ｏｚ　（ｚ）　（９）　其中，Ｍ是黑洞的质量（为讨论方便，以下令Ｍ一　１），Ｑ为黑洞所带电量［６］。视界的位置由方程　厂（ｚ）一０的解决定，而且要使此方程的解均为实　数，Ａ的取值亦有一定的限制。仅就如下几种带电　量不同的特殊情形进行讨论。　（１）Ｑ一１，Ａ一０．１８７　４９　（极端Ｒｅｉｓｓｎｅｒ－Ｎｏｒｄｓｔｒｏｍ－ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ时空）　视界：ｒｅ＋一１．９８９　７，ｒ　一２．０１０　４　（２）Ｑ２＝÷，Ａ一０．１５４　７　（Ｒｅｉｓｓｎｅｒ—Ｎｏｒｄｓｔｒｏｍ—ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ时空处于相变点　的情形）　视界：ｒｅ＋一２．３６３　３，ｒ　一２．３６８　８　（３）Ｑ一０，Ａ一０．１１１　１　（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ－ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ时空）　视界　一２．８３９　１，ｒｃ一３．１８７　８　此处，对于三种情形分别舍去了方程厂（ｒ）一０相　应的负解和内视界解。　２　标量场方程及势垒　球对称时空中标量场满足的波动方程为　（ｇ　，口）　一０。插入度规后变为　一　＋　（ｒｚ　ｒ），　＋　［（Ｓｉｎ细　］一０　（４）　将　分离变量，可得　一－Ｃ￣（ｒ，￡）　（　，　）　（５）　这里，　（　，　）为球谐函数。取　（ｒ，￡）一　（ｒ）ｅ－“，可以得到径向方程　［一厂（ｒ）导（厂（ｒ　ｄ＋Ｖ（ｒ））］　（ｒ）一　ｃｃＪ。儿（ｒ）　（６）　Ｖ（ｒ）是势函数（图１），其表达式为　Ｖ（ｒ）一　）［华＋　］　（７）　此处，定义乌龟坐标嘲　ｚ一　ｚ一　ｆ　（８）　此坐标的特点是，把视界推到坐标无穷远处。在乌　龟坐标下，标量场的波动方程可以写成　１．９９　１．９９２１．９９４　１．９９６　１９９８　２　２Ｏ吆２∞４２．００６２瑚Ｂ　２０ｌ０　，　圈１　Ｖ（ｒ）随坐标ｒ的变化（Ａ－－－Ｏ．１８７　４９．１－－１）　Ｆｉｇ．１　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｙ（ｒ）ｖｅｒｓｕｓ　ｒ（Ａ一０．１８７　４９，Ｚ一１）　３　反射系数和透射系数的计算　为方便起见，可将势垒Ｖ（ｚ）用一个方形势　垒代替。假设波是从Ｘ一一ｃｘ。传播到Ｘ—ｃｘ。，一ｃｘ。　＜Ｘ＜Ｘ１的区间为１，ｚ１＜Ｘ＜ｚ２的区间为２，　Ｘ＞Ｘ。的区间为３（图２）。　圈２　Ｖ（　）随坐标　的变化和方形势垒　（Ａ＝０．１８　７４９．１＝１）　Ｆｉｇ．２　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｙ（ｚ）ｖｅｒｓｕｓ　ｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｑｕａｒｅ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ（Ａ＝０．１８　７４９．１＝１）　再假定时间因子为　，则（９）式化为　（ｚ）＋４／Ｗ（ｃｃＪ。一Ｖ　）　（ｚ）一０　（１０）　在上述三个区间中，有　（ｚ）一ｎ１ｅｉｋ　＋ｂ１ｅ－　ｌ　（１１）　（ｚ）＝ｎ２ｅ　２　＋ｂ２ｅ－　２　（１２）　（ｚ）一ｎ３ｅ／ｋ３　（１３）　这里，忌　一￣／４　（　。一Ｖ　）。令　Ｚｄ一忌，／ｋ　（１４）　且定义势垒的厚度为ｄ—Ｘ。一Ｘ　，则　ｔｂ　Ｐ２　ｌ　ｌ×　维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期　郭广海：球对称稳态时空中标量场辐射的反射系数和透射系数　Ｒ一２．７６×１０～，Ｔ≈１　３７１　（１一Ｚ１２）（１＋Ｚ２。）＋（１＋Ｚ１２）（１一Ｚ２３）Ｐ强ｚ　（１＋Ｚ１２）（１＋Ｚ２３）＋（１一Ｚ１２）（１一Ｚ２３）Ｐ。　２　（１５）　ａａ　—（Ｑ一０，Ａ一０：１１１　１，Ｖ　一７．３×１０　）　Ｐｉ（ｋ１一　３）　１　×　４结束语　讨论了一种黑洞时空中标量场辐射的反射系　数和透射系数的计算方法，发现在稳态球对称时　（１６）　ａｌ　４ｅ％　（１一　２）（１一　。）　ｚ　＋（１＋　２）（１＋　３）ｅ－　ｚ　空中，标量场的透射系数均接近于１，即所有的标　定义　量场都将透过势垒而传播到无穷远，反射系数几　一而１　一Ｚ　有以下的关系式成立　ａ　ｌ　ａ３　乎为零，而且势垒较高的时空中的反射系数相对　（１７）　较大。这种方法对于Ａ《１（如Ａ一１×１０　）的情　它的物理意义是，ｒ　２．一Ｒｄ即为反射系数。于是，　形仍然适用，不过此时黑洞的外事件视界和宇宙　视界之间的距离更大一些，并且势垒要比这里讨　论的情况大得多。　参　考　文　献　１　Ｆ　１２ｒ２３　…２十　　ｅｉ（ｋ１一　３　１　．　、，　（１８）　４Ｐ　一　３）　ｎ１　（１＋Ｚ１２）（１＋Ｚ２３）　１＋ｒ１２ｒ２３Ｐ。　２　（１９）　［１］Ｂｒａｄｙ　Ｐ　Ｒ，Ｐｏｉｓｓｏｎ　Ｅ．Ｃａｕｃｈｙ　ｈｏｒｉｚｏｎ　ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｒｅｉｓｓ—　ｎｅｒ－Ｎｏｒｄｓｔｒｏｒｎ　ｂｌａｃｋ　ｈｏｌｅｓ　ｉｎ　ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ　ｓｐａｃｅ［Ｊ］．Ｃｌａｓｓ　Ｑｕａｎ—　ｔｕｍ　Ｇｒａｙ，１９９２，９：１２１—１２５．　这样，反射系数和透射系数分别为　Ｌ。Ｒ一　ｂ＿：　［２］Ｇｒｉｓｐｉｎｏ　Ｌ　Ｃ　Ｂ，Ｈｉｇｕｃｈｉ　Ａ，Ｍａｔｓａｓ　Ｇ　Ｅ　Ａ．Ｓｃａｌａｒ　ｒａｄｉａｔｉｏｎ　ｅｍｉｔｔｅｄ　ｆｒｏｍ　ａ　ｓｏｕｒｃｅ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｒｏｕｎｄ　ａ　ｂｌａｃｋ　ｈｏｌｅ［Ｊ］．Ｃｌａｓ—　Ｒ１２＋Ｒ２３＋２　１＋Ｒ　２Ｒ２。＋２　丁＝ｃｏｓ（２是２　）　ｏｓ（２是２　）　（２０）　ｓｉｃａｌ　Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎ，２０００，１７：１９－３２．　［３］Ｓｕｄａｒｓｋｙ　Ｄ，Ｇｏｎｚａｌｅｚ　Ｊ　Ａ．Ｂｌａｃｋ　ｈｏｌｅ　ｓｃａｌａｒ　ｈａｉｒ　ｉｎ　ａｓｙｍｐ—　ｆ　ａｓ［。＝　１６　×　（２１）　ｔｏｔｉｃａｌｌｙ　ａｎｔｉ—ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ　ｓｐａｃｅｔｉｍｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｒｅｖｉｅｗ　Ｄ，　２００３，６７：０２４—０３８．　［４］Ｂｒａｄｙ　Ｐ　Ｒ，Ｃｈａｍｂｅｒｓ　Ｃ　Ｍ，Ｋｒｉｖａｎ　Ｗ．Ｔｅｌｌｉｎｇ　ｔａｉｌｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｃｏｓｍｏｌｏｇｉｃａｌ　ｃｏｎｓｔａｎｔ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｒｅｖｉｅｗ　Ｄ，　１９９７，５５（１２）：７５３８－７５４５．　１＋Ｒ１２Ｒ２３＋２　ｃｏｓ（２是２　）　由此可得：　Ｒ一１．２３×１０一　。Ｔ≈１　［５３　Ｂｒｅｖｉｋ　Ｉ．Ｓｉｍｏｎｓｅｎ　Ｂ．Ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　ｆｉｅｌｄ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｎ　Ｓｃｈｗａｒｚｓ—　ｃｈｉｌｄ　ｄｅ　Ｓｉｔｔｅｒ　ｓｐａｃｅＥＪ］．Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ　ａｎｄ　Ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎ．　２００１，３３（１ｏ）：１８３９—１８６１．　、　（Ｑ一１，Ａ＝０．１８７　４９，Ｖ　一６．６７　Ｘ　１０　）　Ｒ一８．７７×１０一¨。Ｔ≈１　［６］赵峥．黑洞与弯曲的时空［Ｍ］．太原：山西科学技术出版社，　２００１：１３０—２０７．　（Ｑ。一丢，以一０．１５４　７，Ｖ　一３．５９×１０－７）