课时作业21

一、选择题

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1．已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinA·sinB( ) A．有最大值1

2和最小值0

B．有最小值1

2，无最大值

C．既无最大值也无最小值 D．有最大值1

2，无最小值

解析：∵A＋B＝ππ

2，∴B＝2－A.

∴sinAsinB＝sinAsin(π

2－A)

＝sinAcosA＝1

2sin2A.

∵02，∴2A∈(0，π)．

∴0∴sinAsinB有最大值1

2，无最小值．

答案：D

2．若cos2α＝－2

，则cosα＋sinα的值为( sinα－π2

)

4A．－7

2

B．－12

C.12

D.72

解析：cos2α

cos2＝α－sin2αsinα－π42

2sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα) ＝－22⇒cosα＋sinα＝12. 答案：C

3．(2011年银川一中第五次月考)y＝(sinx＋cosx)2－1是( A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

) C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数 答案：D

4．已知函数 f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：

ππ

①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；② f(x)的最小正周期是2π；③ f(x)在区间[－，]443π

上是增函数；④ f(x)的图象关于直线x＝对称，其中为真命题的是( )

4

A．①②④ C．②③

B．①③ D．③④

12π

解析： f(x)＝sin2x，由 f(x)的周期性知，①不正确．又 f(x)的周期T＝＝π，∴

22②不正确．

ππππ

当x∈[－，]时，2x∈[－，]， f(x)为增函数．

4422∴③正确．

31

当x＝π时， f(x)＝－，为最小值．

423

∴x＝π是 f(x)的对称轴，④正确．

4答案：D

sinπ＋2αcos2α5.·等于( )

π1＋cos2α

cos＋α

2A．－sinα C．sinα

－sin2α·cos2α

解析：原式＝

1＋cos2α·－sinα2sinα·cosα·cos2α

＝ 2cos2α·sinα＝cosα. 答案：D 6．定义运算＝

B．－cosα D．cosα

a

c 1sinα sinβ

＝ad－bc.若cosα＝7，

cosα cosβd

b

33π

，0<β<α<，则β等于( ) 142

π

B. 6πD. 3

πA. 12πC. 4

解析：依题设得：

33

sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin(α－β)＝. 14π13

∵0<β<α<，∴cos(α－β)＝.

214143

又∵cosα＝，∴sinα＝.

77

sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β)＝π

. 3

答案：D 二、填空题

4ααα

7．设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin3222解析：∵α是第二象限的角， α

∴可能在第一或第三象限， 2ααα

又sin222α4∴cos<0.∵tanα＝－，

233α∴cosα＝－，∴cos＝－52答案：－

5 5

1＋cosα5

＝－. 25

43131333

×－×＝，∴β＝7147142

a a≤b

8．(2010年天津模拟)定义运算a※b为a※b＝，如1※2＝1，则 f(x)＝sinx

b a>b

※cosx的值域为________．

解析：解法一：由已知得

sinx sinx≤cosx

f(x)＝.

cosx sinx>cosx

3π

∴当x∈[2kπ－π，2kπ＋]，k∈Z时，

44 f(x)＝sinx∈[－1，

2

]； 2

π5

当x∈(2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z时，

44 f(x)＝cosx∈(－1，解法二：数形结合：

如图， f(x)的图象为图中实线部分．

22

)．∴ f(x)∈[－1，]． 22

显然， f(x)的值域为[－1，答案：[－1，

2] 2

2]． 2

sinα＋β

9．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝__________.

cosα－β解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3， 则＝

sinα＋βsinαcosβ＋cosαsinβ

＝

cosα－βcosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ33

＝＝－.

21＋tanαtanβ1－3

3

答案：－

2三、解答题

10．已知 f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；

(2)求函数 f(x)的最大值，并指出此时x的值． 解析：(1)∵ f(x)＝sinx＋3cosx 13

＝2(sinx＋cosx)

22ππ＝2(sinxcos＋cosxsin) 33π

＝2sin(x＋)．∴T＝2π.

3

π

(2)当sin(x＋)＝1时， f(x)取得最大值，其值为2.

3πππ

此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)．

326

πxππx

11．(2010年宁波模拟)设函数 f(x)＝sin(－)－2cos2＋1

468(1)求 f(x)的最小正周期．

4

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈[0，]时y＝g(x)的最大

3值．

πxππxππ

解：(1) f(x)＝sincos－cossin－cosx

46464

＝

3π3πsinx－cosx 2424

ππ＝3sin(x－)，

43

2ππ

故 f(x)的最小正周期为T＝＝8.

4

(2)解法一：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))． ππ由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin[(2－x)－] 43πππ

＝3sin[－x－] 243ππ

＝3cos(x＋)，

43

4πππ2π4π

当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)max＝3cos

3343333＝3

. 2

42

解法二：因区间[0，]关于x＝1的对称区间为[，2]，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x

3342π

＝1对称，故y＝g(x)在[0，]上的最大值为y＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知 f(x)＝3sin(

334π

x－)， 3

2ππππ当≤x≤2时，－≤x－≤， 36436

4π3因此y＝g(x)在[0，]上的最大值为g(x)max＝3sin＝.

3624cos4x－2cos2x－1

12．已知函数 f(x)＝.

π2πtan＋xsin－x4417

(1)求 f(－π)的值；

12

π1

(2)当x∈[0，]时，求 g(x)＝ f(x)＋sin2x的最大值和最小值．

221＋cos2x2－2cos2x－1

解析：(1) f(x)＝ π2πtan＋xcos＋x442cos22x

＝＝

πππsin＋xcos＋xsin＋2x

4422cos22x＝＝2cos2x. cos2xf(－

17π17π17π5π)＝2cos(－)＝2cos＝2cos 12666

cos22x

π

＝－2cos＝－3.

6

π

(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，

4πππ5π

x∈[0，]⇒2x＋∈[，]，

2444

ππ

∴x＝时，g(x)max＝2；x＝时，g(x)min＝－1.

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