5投资收益风险

2023-09-18 来源：乌哈旅游

5 从历史数据中学习收益与风险

2.1均值与方差

我们研究的是未来一段时间投资某一资产的收益率，显然它将是不确定的，它因受到许多因素的影响而随着有关条件和客观状态的变化而变化。因此，可以把收益率视为随机变量。作为随机变量，在不同的客观状态下，它将有不同的取值。如果我们能对客观状态发生的可能性即概率给予评估（例如通过对状态的分析，或通过主观概率试验法，或通过对历史数据的处理，建立模型，预测出各种状态可能发生的概率），那么，就可以通过随机变量的数学期望和方差描述出所持资产可能的预期收益率和收益率对预期收益率的可能偏离。

1.持有期收益率

设Pi,Pi1为某资产在第i期和第i-1期的价格，Di为某资产在第i期的红利，则其收益率公式为：

riPiPi1DiPi1

例如：投资者以每股10元的价格买入某只股票，一年后该股票每股价格上升到12元，期间上市公司每股发放股息0.2元。在不考虑税收的情况下，投资者这一年的收益为：那么

投资者一年的投资收益为：ri12100.21022(%)

在证券资产的分析和计算中，我们常常要使用连续复利收益率。连续复利收益率是指证券期末价格与上期末价格之比的对数，即

rilnPiDiPi1

式中，ri——某资产第i期连续复利收益率； Pi——某资产第i期的价格； Pi1——某资产第i－1期的价格； Di——某资产在第i期的红利。接上例数据。则：riln(2.期望收益率

因为资产价格是随机的，因此收益率ri是随机变量，它的取值为r1，r2，…，rN，相应的概率分布为p1，p2，…，pN，即pi=P(r=ri)，i=1,2,…,N，则

12.210)20(%)。

E(r)rpii1Ni

称之为收益率的期望值，简称预期收益。

例：假设某公司未来一年的投资收益依赖于下一年的宏观经济状态，而宏观经济可能出现三种状态：繁荣、一般和萧条。在每种状态下，公司收益率分别为10%、5%和-7%。根据经济学家的预测，未来宏观经济出现繁荣的概率为0.3，出现一般的概率为0.4，出现萧条的概率为0.3。结合上述信息，计算该公司的期望收益率。

根据上述公式可知：

E(r)pri13ii0.310%0.45%0.3(7%)2.9%

3资产的风险（方差）

定义设随机变量y的期望E(y)，且E[(yE(y))]，则方差定义为

22E[(yE(y))2]

(r)(riE(r))2pi=E[(yE(y))2]

2i1N称之为收益率的方差（风险）。有时也记为r。

2(r)(ri1NiE(r))2pi

称之为收益率的均方差或标准差。也记为r。

例：假设投资者等比例持有两只股票ABC和XYZ。两只股票的收益率受到利率升降和原材料价格高低的影响。未来的经济状态有四种：①利率上升，原材料价格上涨；②利率上升，原材料价格下跌；③利率下降，原材料价格上涨；④利率下降，原材料价格下跌。如果每种经济状态发生的概率分别为0.1，0.2，0.3，0.4,并给定每只股票在每种状态下的投资收益率件下表，计算两个资产收益率的方差，比较其风险水平。原材料价格上涨原材料价格下跌利率上升 5%，10% 7%，12% 利率下降 7%，7% 10%，9% 根据前面的计算结果我们知道两个资产的期望收益率分别等于8%和9.1%。这样一来，股票ABC收益率的方差为：

2ABCpi14i(ri8%)2

0.1(5%8%)20.2(7%8%)20.3(7%8%)20.4(10%8%)2

=0.03% 进而有：

ABC1.732%

股票XYZ收益率的方差为：

2XYZpi14i(ri9.1%)2

0.1(10%9.1%)20.2(12%9.1%)20.3(7%9.1%)20.4(9%9.1%)2 =0.0309%

由此可得：

XYZ1.758%

4.统计估计值

期望和方差是随机变量的两个重要的数字特征。特别对某些具有确定概率分布形式只含有均值和方差两个未知参数的随机变量，只要能估计出参数的取值，则随机变量的统计规律便完全确定了。

在现实世界中从事证券资产投资时，很难得到收益率的概率分布，这时我们可以通过抽样，得到收益率容量为N的样本（r1，r2，…，rN），通过这个样本对随机变量的两个参数——均值与方差进行估计。均值和方差的两个具有良好的统计性质的估计量就是它们的样本均值r和样本方差r或标准差，它们由下述公式给出。

2rr，Nii11N2r(rN1i11Nir)或r[2(rN1i11Nir)2]1/2。

为什么是N-1，请思考！！！

注意，解释如下：

为了把某一个统计量作为未知的分布参数的估计值，我们希望这个估计值的数学期望等于该未知参数，具有这种性质的估计值叫做分布参数的无偏估计值。

现在说明分布参数数学期望及方差的无偏估计值是否就是统计量rN2rNi11Ni及

统计方差s我们有

2(rNi11ir)2。为此，我们应该计算这些统计量的数学期望。

E(r)E(1Nri)i1N1NE(ri)i1NNN

即统计量r是参数的无偏估计值。利用统计量r代替未知参数时，所产生的误差不是由随机因素而产生的。所以选取随机变量的观测值的算术平均值作为参数的估计值是适当的。

现在计算统计量s的数学期望。我们将s写成下面的形式：

22 9

s2[(rNi11Ni)(r)]2

s1N2(rNi1Ni11Ni)22N(r)(ri)(r)2

i1N22 (r)(r)i因为E(ri)Dri

22E(r)DrD(所以得到：

21Nr)ii1N1N2Dri1NiN2N22N

Es21NE(ri)E(r)22i1NN2N2NN1N22

2由此可见，统计量s2不是参数的无偏估计值。如果用s作为的估计值，所产生的误差是由随机因素而产生的。为了得到参数的无偏估计值，我们只需把统计量s乘以

222NN1，即统计量s21NN1s2(rN1i11Nir)2是参数2的无偏估计值。

2当次数N无限增加时，两个统计量s2与s1之差将任意地小，并且都收敛于。 5.协方差与相关系数

预期收益率和方差为我们提供了关于单个资产收益率的概率分布性质方面的情况，然而它没有告诉我们有关资产收益率概率分布关联性质方面的情况。例如，当知道了一种资产的收益率，其他资产收益率会出现什么样的倾向？统计中的两种资产收益率之间的协方差，可以用来描述两种资产收益率之间的相互关系。

设rA，rB分别为两种资产A，B的收益率，则称

2rA,rBcov(rA,rB)E[(rAE(rA))(rBE(rB))]

为rA和rB的协方差。

协方差在理论上取值可以从负无穷到正无穷，我们可以把它除以相应的两种资产收益率的标准差，将它变为有界量，从而引进rA和rB的相关系数，记为rA,rB即

rA,rBcov(rA,rB)(rA)(rB)

相关系数的值落在-1到1的范围内。显然

cov(rA,rB)rA,rB(rA)(rB)

并且rA,rB=1的充分必要条件是rA与rB存在线性关系rA=arB+c。

当rA,rB=1时，a>0,称为rA与rB完全正相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资产A与资产B的收益率发生相同方向、相应幅度的变化。

当rA,rB=-1时，a<0,称为rA与rB完全负相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资产A与资产B的收益率发生方向相反、相应幅度的变化。

当rA,rB=0时，a=0,称为rA与rB完全无关，或零相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资产A与资产B的收益率的变化方向和变化幅度没有任何确定的关系。举例保单。

同样，cov(rA,rB)、rA,rB是理论值，在未知rA和rB的联合概率分布时，它们也是未知的。这时我们仍然可以通过抽取样本，用样本的协方差和样本之间的相关系数来估计rA和rB的关系。

在统计上，设（rA1，rA2，…，rAN）、（rB1，rB2，…，rBN）分别为rA和rB的样本，则rA和rB协方差rA,rB和相关系数rA,rB具有良好统计性质的估计量分别为

ˆrA,rB1N1(ri1NNAirA)(rBirB)

ˆr(rA,rBAirA)(rBirB)2i1(ri1NAirA)(ri1NBirB)2

这里的相关系数告诉我们一种资产收益率的变化与另一种资产收益率的变化相关的比率。例如当rA,rB=0.91时，则我们可以说资产A的收益率变化的91%与资产B的收益率变化有关。

6下半方差

1952年马柯维茨用方差度量了风险资产的收益率偏离平均值的大小。而风险厌恶的投资者常常关心小于预期收益的收益，所以，马柯维茨又提出了下半方差的概念。

定义（下半方差）设随机变量y的期望E(y)，那么它的下半方差是

SVE[(min{yE(y),0})2]

由于用方差或下半方差作为风险度量建立的投资组合优化模型都是二次规划问题，对于大规模问题现有算法求解比较困难。Konno和Yamazaki（1991）用绝对偏差作为风险度量研究投资组合问题，其建立的模型是线性规划模型，线性规划模型可以用标准的单纯形方法来解决。

7绝对偏差

定义（绝对偏差）随机变量x的绝对偏差时AE[|xE(x)|]。下面说明绝对偏差与方差的关系。

定理如果x服从正态分布函数，那么A=2/ 证明：设x的数学期望和方差分别是和，那么

2AE[|xE(x)|]21uexp(u/(22))du2/

绝对偏差又称为L1风险，标准差又称为L2风险。上述定理表明二者相差一个常数。

8风险价值

上述三种风险度量（方差、下半方差、绝对偏差）只是刻画了收益偏离预期收益的波动情况，而没有给出经济活动带来的货币损失。例如，投资者非常想知道未来可能的损失是多少，而不是收益的波动大小。下面的风险价值表述了在一定的投资期限与给定的置信水平下，投资可能带来的最大损失。

定义（风险价值VaR:value at risk）设∈（0,1），x是随机变量，风险价值定义为

VaRmin{R:P(x)}，R为随机空间。

或P(xVaR)1, Δx为资产在持有期Δt内的损失。

即在一定的概率置信水平下，某一资产或资产组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。

VaR是测量市场中的资产在既定时段T和既定置信水平c上的最大化损失L的尺度。因为损失L和VaR用正数表示，所以有：

P(LVaR)1c或P(LVaR)c

假定时段为天，置信水平为99%，潜在最大化损失为100万元，那么用VaR的语言来说就是：“在明天1天内，资产的最大损失超过100万元的概率仅为1%”或“在明天1天内，我们有99%的把握，资产的最大损失不会超过100万元”。

假定资产价格的变化是风险因子的线性函数，资产价格遵循正态分布。那么资产或组合资产的最大化损失可以用下面的公式计算：

VaRzT

其中z是一定置信水平对应分布的分位数或临界值；T是持有期，一般按天算，是常数，表示资产或组合回报的日波动性。

分位数的大小与VaR的置信水平有关。置信水平可以表示为随机变量小于或等于分布的某个分位数的概率：

P(Lz)(x)dx(z)

zz1()

如95%的置信水平，z()(95%)1.645；如99%的置信水平，z()(99%)2.326；

例：假设一个组合的市场价值为100万元，日波动性为1.55万元，持有期为天，在99%的置信水平下，投资者在第二天遭受的潜在最大损失为：

1111VaRzT1()T2.3261.5513.61（万元）

在数理统计中，对于给定的，风险价值是x的分位数闭区间的左端点。一般情况下，计算风险是比较困难的。只有当x服从正态分布时，VaRE(x)()，其中

11()是分位数。用图表示。

当随机变量服从其他分布时，经常用Monte Carlo随机模拟方法计算风险价值。的取值比较大，如0.90,0.95等。

9条件风险价值

风险价值只是刻画了在一定概率下的最大损失，而没有给出发生概率是1-的小概率事件造成超过本身的损失。为了修正风险价值的这一缺点，Rockafellar和Uryasev（2000）提出了条件风险价值。

定义（条件风险价值）设β∈（0,1），x是随机变量，VaR是风险价值，那么条件风险价值定义为

CVaRE[x|xVaR]

CVaR可理解为损失在VaR水平之上的平均损失。 CVaR的计算公式是：

CVaRE[x|xVaR]T(z) 1(z)是标准正态概率密度函数，是一个标准正态随机变量落在z附件的概率。

z1()

前面计算了一个市场价值为100万元的投资组合的1天VaR。该投资的日波动性为1.55万元，持有期为天，置信水平为99%。保持这些参数不变，该组合的CVaR为：

CVaRE[x|xVaR]T(z)(2.3263)1.554.1（万元） 10.1为了克服计算上的困难，Rockafellar和Uryasev（2000）证明了条件风险价值等价于

下面优化问题的最优值，风险价值是最优解区间的左端点。

CVaRmin{zzR1E[(xz)])}

其中(xz)max{xz,0}

5用电子表格计算期望值、方差、均方差和相关系数

前面介绍的期望值、方差、标准方差、相关系数等，均可以用Excel的命令求得。如表5-1所示。

表5-1 Excel计算公式表

计算内容 Excel的相应公式符号

下面通过一个例子来说明用Excel公式计算投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数的方法。

例3：投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数

现有三个可投资的项目：股票1，股票2和债券。它们自1981年至2000年20年的投资回报率如表5-2所示。分别计算这三个单项投资回报率的期望值、方差、标准方差，以及三个项目之间的相关系数矩阵。

表5-2 三个投资项目的单项回报率历史数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

期望值 average 方差 var 标准差 stdev 相关系数 correl 协方差 covar 例3 历史数据时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 投资组合优化模型股票1 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 14

债券 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 股票2 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 15 16 17 18 19 20 21 22 13 14 15 16 17 18 19 20 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 解：用Excel中公式（见表5-1所示）计算这三个投资项目的单项回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数。其Spreadsheet中的公式如表5-3所示。

表5-3 三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算公式表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A 例历史数据时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 股票1 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 B C D 债券 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 投资组合优化模型股票2 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 15

25 统计量计算 26 期望值 27 方差 28 标准方差 29 31 32 股票1 33 股票2 34 债券 1 =C32 =D32 30 相关系数 =AVERAGE(B4:B23) =VAR(B4:B23) =STDEV(B4:B23) =AVERAGE(C4:C23) =VAR(C4:C23) =STDEV(C4:C23) =AVERAGE(D4:D23) =VAR(D4:D23) =STDEV(D4:D23 股票1 ) 股票2 =CORREL(B4:B23,C4:C23 债券 =CORREL(B4:B23,D4:D23) 1 =D33 =CORREL(C4:C23,D4:D23)1 由表5-3可知，计算期望值时只需在单元格中输入公式： =average(数据组所在的地址) 计算方差时只需输入公式： =var(数据组所在的地址)

计算标准方差时只需输入公式： =stdev(数据组所在的地址)

计算三个项目的相关系数时，要分别计算项目1和2的相关系数、项目1和3的相关系数，以及项目2和3的相关系数。在计算项目1和2的相关系数时，在单元格中输入公式：

=correl(项目1的数据地址，项目2的数据地址)

同理可以计算出项目1和3的相关系数，以及项目2和3的相关系数。

计算相关系数的另一个方法是打开Excel中的“工具”菜单，选择项目“数据分析”，就会出现一张数据分析表，如图5-2所示。

图5-2 在数据分析表中选择相关系数功能

在图5-2中的数据分析图上选择“相关系数”，得到相关系数表，如图5-3所示。在图5-3的相关系数表中填入三个项目的历史数据所在地址区域以及输出区域（只需填入输出区域左上角的单元格地址），就可得到三个项目的相关系数矩阵。

图5-3 相关系数表

在图5-3中按[确定]按钮，即可得到表5-4中的计算结果。

表5-4 三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算结果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 A 例 B 投资组合优化模型 C D 股票2 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 债券 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 历史数据时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 股票1 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 17

25 统计量计算 26 单项期望值 27 单项方差 28 标准方差 29 30 相关系数 31 32 股票1 33 34

股票2 债券 0.1130 0.0274 0.1656 0.1850 0.1102 0.3319 0.0755 0.0008 0.0278 股票1 1.0000 -0.1959 -0.0289 股票2 -0.1959 1.0000 -0.0134 债券 -0.0289 -0.0134 1.0000

3投资组合收益率和标准差

所谓投资组合P是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上资产而构成的一个组合。假设投资组合P是由n种不同证券构成，其中第i种证券上投资的资金比例为xi，i=1,…,n，简称第i种证券的投资权重。则投资组合可记为如下的形式

P={（x1，…，xn）|xi1}

i1n在投资组合P中，权重xi>0时表示买入证券i；xi<0时表示卖出证券i，将其所得资金投资于组合内其他证券；当xi>1时，表示投资在证券i上的资金有卖空其他证券收入的资金。

设证券i的收益率为ri，其概率分布为 pj=P{ri=rij}，j=1,2,…,N，i=1,2,…,n

则证券i的预期收益率（期望收益率）为

E(ri)证券i的收益率的方差为

rj1Nijpj,i1,2,...,n

D(ri)E[riE(ri)][rijE(ri)]2pj

2i2j1N标准差为i，而证券i和证券k（收益率）的协方差为

ikE[(riE(ri))(rkE(rk))][(rijE(ri))(rkjE(rk))]pj

j1N对于投资组合P，其收益率为rpxr

iii1n 18

P的预期收益率为E(rp)xE(r)

iii12nn2nP的方差为(rp)E[rpE(rp)]E[xirixiE(ri)]

2p2i1i1E[xi(riE(ri))]E[xixk(riE(ri))(rkE(rk))]2i1i1k1nnnxi2i2i1nni1k1,kixxiknikXTVX

其中

x1X...，V(ik)nn，iii2,ikki

xn注意到ri与rk的相关系数定义为iknnnik ik所以又有2px2ii12ii1k1,kixxikikikx2i2ii1nni1k1,kixx

ikikn特别，我们来看一下等比组合的情况，此时xi1n，

E(rp)n1nE(r)

ii1n2pi11n222ini1k1,kin11nnik1ni2n1nik1n(i2ik)ik

其中，i,ik分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然

2Pik(n)

如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做投资组合，当组合中证券数量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生作用，而投资组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。

对于非等比例组合，上述结论仍然成立。

当n→∞，ik=0时，有：2Pni1n122ini1k1,kin11nniki1n1n2→0 i2上式表明，如果协方差等于0，则组合风险趋向于0。在不允许卖空时，注意到ii1，有

XVXxixkikxixkikikxixkik

2pTi1k1i1k1i1k12(x11...xnn)2max{12,...,n}

nnnnnn即投资组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。

实例：例2-2：6种证券在10个月的月收益率如下表2-1所示，试计算投资组合的预期收益率和标准差。

表2-1 6种证券的预期收益率和投资比重

时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 各证券的投资比重

1求各个证券的期望（即平均值） 2求各个证券的方差 3求协方差矩阵

4求投资组合的期望收益率

5求投资组合的期望收益率的方差（风险）见Excel。

报酬-风险比率(夏普比率)

风险溢价：期望收益率与无风险利率的差。

超额收益：任何特定时期的风险资产与无风险资产的收益率的差。

夏普比率：对于投资组合而言，通常用风险溢价个超额收益的标准差的比来衡量。

证券1 65% -34% 21% 64% 26% -15% 2% -11% 96% 20% 10% 证券2 10% -9% -45% 46% -5% 2% 48% -22% -15% 40% 20% 证券3 40% -42% -5% 28% -7% 10% 9% 3% 70% 32% 30% 证券4 25% -19% -10% 61% 26% 9% -18% -68% -26% 175% 20% 证券5 3% -1% 8% 15% 17% 3% 23% 8% 27% 30% 10% 证券6 40% 26% -27% 9% -10% 23% 38% 6% 7% 30% 10%

5.1收益的度量

一、持有期收益率

持有期收益率用下式表示：

HPR(PtP0)DtP0

其中，P0为持有期初的资产价格；Pt为持有期末的资产价格；Dt为持有期末的红利。

例如，投资者以每股10元的价格买入1万股某只股票，一年后股票价格上升到12元，期间上市公司每股发放股息0.2元。那么

投资者一年的投资收益为：

HPR(1210)0.21022(%)

二、多期收益率的衡量

投资者的投资期限可能会垮多个时期，而在不同的时期，投资的收益率并不相同。例如某投资者在2006-2010年期间每年的投资收益率分别为10%、13%、9%、12%、15%，。在这种情况下，要衡量该投资者在整个投资期内的投资表现就需要将每年的投资收益率进行平均或者加总，其中最常见的平均方法就是算术平均法和几何平均法。

1算术平均法计算公式如下：

HPRHPRi1nin

其中n为投资期数；HPR为第i期的投资收益率。

将上式应用到前面的例子，我们可以得出该投资者2006-2010年期间的平均年收益率为：

HPR10%13%9%12%15%511.8%

2几何平均法

假设投资期限为n年，投资者每年的持有期收益率为HPRi。这样一来，投资者在第n年末的资金余额可以写为：

(1HPR)

ii1n如果我们假设投资者每年获得一个相同的收益率HPR，为了在第n年末获得相同的资金余额，HPR就应该满足：

(1HPRi1ni)(1HPR)(1HPR)n

i1n进而得到：

HPR[(1HPRi]n1

i1n1这就是几何平均收益率。如上例，几何平均收益率为：

HPR[(1HPRi]51(110%)(113%)(19%)(112%)(115%)1=11.6%

i151三、投资组合的收益率

假设一个资产组合中包含n个金融资产，在投资组合持有期内，每个金融资产的持有期收益率为Ri，投资者在第i个资产上分配的资金占资金总额的比例为wi，则该资产组合的收益率RP为：

RPw1R1w2R2...wnRn

其中wi1

i1n例，假设投资者持有三种金融资产，即股票、政府债券和银行存款，其价值分别为10万元、5万元和1万元。如果这三类资产的年收益率分别为10%、4%和2%，计算该投资者资产组合的年收益率。

将三类资产看作一个投资组合根据每个资产的价值可以计算出该资产在资产组合中的权重分别为62.5%、31.25%和6.25%，由此计算出投资组合的收益率为

RPw1R1w2R2w3R362.5%10%31.25%%6.25%2%7.625%

四、期望收益率

持有期收益率是从事后的角度或者是当投资者收益不存在不确定性时计算出的投资收益。与持有期不同，期望收益率是从事前的角度对未来不确定的投资收益进行衡量，从而为投资决策提供依据。

为了计算一项投资的期望收益率，我们首先需要知道该投资所有可能出现的状态以及每种状态发生的概率。期望收益率就是各种状态下收益率的加权平均值，而权重就是每种状态发生的概率。其数学公式是：

E(HPR)PHPRjj1nj，Pj1

j1n其中E(HPR)为期望收益率，Pj为第j个状态发生的概率，HPRj为第j种状态发生后的收益率。

例：假设某公司未来一年的投资收益依赖于下一年的宏观经济状态，而宏观经济可能

出现三种状态：繁荣、一般和萧条。在每种状态下，公司收益率分别为10%、5%和-7%。根据经济学家的预测，未来宏观经济出现繁荣的概率为0.3，出现一般的概率为0.4，出现萧条的概率为0.3。结合上述信息，计算该公司的期望收益率。

根据上述公式可知：

E(HPR)PHPRjj13j0.310%0.45%0.3(7%)2.9%

需要注意的是上面的定义中，我们并没有限定投资是单个资产还是资产组合。如果经济个体投资是一个资产组合，那么上式中的HPRj就是第j个状态发生时资产组合的收益率。假设投资组合包含m个资产，每个资产i在每种状态下j的持有期回报率为HPRij，那么

将HPRPw1HPR1w2HPR2...wmHPRm代入E(HPR)到：

PHPRjj1nj可以得

E(HPRP)Pwjj1i1nmiHPRijwi1miE(HPRi)

原材料价格上涨原材料价格下跌利率上升 5%，10% 7%，12% 利率下降 7%，7% 10%，9% 为了计算投资组合的期望收益率，我们可以先求出每个状态下投资组合的收益率，然后计算投资组合的期望收益率。由于两只股票是等权重的，因此有：

wABCwXYZ=0.5

在状态①发生的情况下，投资组合的收益率为：

HPRP10.55%0.510%7.5%

在状态发生②的情况下，投资组合的收益率为：

HPRP20.57%0.512%9.5%

在状态③发生的情况下，投资组合的收益率为：

HPRP30.57%0.57%7%

在状态④发生的情况下，投资组合的收益率为：

HPRP40.510%0.59%9.5%

投资组合的期望收益率为

E(RP)0.17.5%0.29.5%0.37%0.49.5%8.55%

当然我们也可以先计算出每只股票的期望收益率：

E(RABC)0.15%0.27%0.37%0.410%8%

E(RXYZ)0.110%0.212%0.37%0.49%9.1% E(RP)0.58%0.59.1%8.55%

2.2风险的度量

1风险厌恶（Risk Aversion）:风险与收益的权衡

引子：如果证券A可以无风险地获得回报率为10%，而证券B以50%的概率获得20%的收益，50%的概率的收益为0，你将选择哪一种证券？

对于一个风险规避的投资者，虽然证券B的期望收益为10%，但它具有风险，而证券A的无风险地获得10%，显然证券A优于证券B。如果证券B有15％的风险收益呢？

均值方差标准

定义：若投资者是风险厌恶的，则对于证券A和证券B，当且仅当E(rA)E(rB)且

22AB时成立，AB

占优原则（Dominance Principle）

期望回报 4 3 1 方差或者标准

2 占优 1; 2 占优于3; 4 占优于3;

风险厌恶型投资者的无差异曲线（Indifference Curves）

Expected 1 P 3 2 4 Increasing Utility Standard

从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品。

根据微观经济学的无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品。

根据均方准则，若均值不变，而方差减少，或者方差不变，但均值增加，则投资者获得更高的效用，也就是偏向西北的无差异曲线。

风险中性（Risk neutral）投资者的无差异曲线

Expected Standard

风险偏好(Risk lover)投资者的无差异曲线

Expected Standard

风险偏好型的投资者将风险作为正效用的商品看待，当收益降低时候，可以通过风险增加得到效用补偿。

效用函数（Utility function）的例子

假定一个风险规避者具有如下形式的效应函数

UE(r)0.52

其中，ρ为投资者风险规避的程度。

若ρ越大，表示投资者越害怕风险，在同等风险的情况下，越需要更多的收益补偿。若ρ不变，则当方差越大，效用越低。

讨论：不确定条件下的效用函数（Utility function）

在微观经济学中，投资者总是希望最大化其投资所得的效用（序数效用）。在不确定的世界中，投资者的效用是随机的，这就涉及随机优化问题？

为了得到最大化的效用，首先需要将随机效用转化为确定性等价效用（Certainty Equivalence Utility），为此，我们需要定义投资者的风险偏好的度量指标ρ 。

假定投资者是理性的，具有规避风险的偏好，且设其效用函数具有不变的绝对风险规避（Absolute Risk Aversion）倾向，则可以定义其随机序数效用函数为

u(~r)exp(~r)其中~r为随机损益。

显然，从u无法比较大小！

u(~r)~~由于u(r)exp(r)，则有： ~u(r)注意：这个规避度量与财富（回报）是无关的，这意味该投资者的性格是给定的或者

恒定的。此表明，投资者具有恒定的风险规避倾向。

普拉特定理（Pratt‘s Theorem）：对于任意的不确定性收益（如服从正态分布），当投资者是风险规避时，其确定性等价效用等于随机收益的期望值减去风险金，最大化随机效用等价于最大化确定性等价效用。由于

~~~E(u(~r))erf(~r)d~re[E(r)1/2D(r)]

maxE(u(~r))maxU(~r)[E(~r)1/2D(~r)]

无风险资产与风险资产的确定性等价风险资产的确定性等价收益率：为使无风险资产与风险资产具有相同的效用而确定的无风险资产的报酬率。

显然，对于一个有风险的资产，只有其收益率高于无风险资产到一定程度才能使之与无风险资产等价。

由于无风险资产的方差为0，因此，其确定性等价效用U就等价于无风险回报率。例如：对于风险资产A，其确定性等价效用为

UE(~r)0.5210%0.540.04=2%

它等价于收益（效用）为2％的无风险资产

UE(rf)2%

结论：只有当风险资产的确定性等价收益至少不小于无风险资产的收益时，这个有风险投资才是值得的。

风险可视为结果的不确定性。如果能够知道未来所有可能出现的结果以及每种结果对应的概率，那么我们可以用一个随机变量来描述这种不确定性，进而用随机变量的某些统计特征来刻画风险水平。

标准差是根据随机变量的概率分布计算出随机变量的方差或标准差。它将资产收益的不确定性概括成一个数字，从而方便了不同资产风险的比较，给定未来每种状态发生的概率以及每种状态下资产的收益率，资产收益率的方差就可以写成：

Pj(HPRjHPR)2

2j1n其中，n为未来可能发生的状态数；Pj为第j种状态发生的概率，HPRj为第j种状态发生时资产的持有期收益率；HPR为资产期望收益率；为资产收益率的标准差；为资产收益率的方差。

2利率上升 5%，10% 27

利率下降 7%，7% 原材料价格下跌 7%，12% 10%，9% 根据前面的计算结果我们知道两个资产的期望收益率分别等于8%和9.1%。这样一来，股票ABC收益率的方差为：

2ABCPj(HPRj8%)2

j140.1(5%8%)20.2(7%8%)20.3(7%8%)20.4(10%8%)2

=0.03% 进而有：

ABC1.732%

股票XYZ收益率的方差为：

2XYZPj14j(HPRj9.1%)2

0.1(10%9.1%)20.2(12%9.1%)20.3(7%9.1%)20.4(9%9.1%)2 =0.0309%

由此可得：

XYZ1.758%

因此，如果用标准差来衡量风险的话，股票XYZ的风险水平要高于股票ABC。

2.3单项资产投资收益与风险一般公式

一般地，我们设Pit,Pit1为资产i在第t期和第t-1期的价格，Dit为资产i在第t期的红利，则其收益率公式为：

riPitPit1DitPit1

因为资产价格是随机的，因此收益率ri是随机变量，它的取值为r1，r2，…，rN，相应的概率分布为p1，p2，…，pN，即pi=P(r=ri)，i=1,2,…,N，则

E(r)rpii1NNi

称之为收益率的期望值，简称预期收益。

(r)(riE(r))2pi

2i1称之为收益率的方差。有时也记为r。

2(r)(ri1NiE(r))2pi

称之为收益率的均方差或标准差。也记为r。

均值和方差是随机变量的两个重要的数字特征。特别对某些具有确定概率分布形式只含有均值和方差两个未知参数的随机变量，只要能估计出参数的取值，则随机变量的统计规律便完全确定了。

在现实世界中从事资产投资，很难得到收益率的概率分布，这时我们可以通过抽样，得到收益率容量为N的样本（r1，r2，…，rN），通过这个样本对随机变量的两个参数——均值

与方差进行估计。均值和方差的两个具有良好的统计性质的估计量就是它们的样本均值r和样本方差r，它们由下述公式给出。

2rr ， Nii11N2r(rN1i11Nir)2

为什么是N-1，请思考。

现在说明分布参数数学期望a，方差的无偏估计值是否就是统计量rN21Nri1Ni及

统计方差s我们有

2(rNi11ir)2。为此，我们应该计算这些统计量的数学期望。

E(r)E(1Nri)i1N1NE(ri)i1NNaNa

即统计量r是参数a的无偏估计值。利用统计量r代替未知参数a时，所产生的误差不

是由随机因素而产生的。所以选取随机变量的观测值的算术平均值作为参数a的估计值是适当的。

现在计算统计量s的数学期望。我们将s写成下面的形式：

22s2[(rNi11Nia)(ra)]2

s12(ra)Nii1Ni1N22N(ra)(ria)(ra)2

i1N(rNi1a)2(ra)2

22因为E(ria)Dri

E(ra)DrD(所以得到：

21Nr)ii1N1N2Dri1NiN2N22N

Es21NE(ria)E(ra)22i1NN2N2NN1N22

222NN1，即统计量s21NN1s2(rN1i11Nir)2是参数2的无偏估计值。

2当次数N无限增加时，两个统计量s2与s1之差将任意地小，并且都收敛于。预期收益率和方差为我们提供了关于单个资产收益率的概率分布性质方面的情况，然而它没有告诉我们有关资产收益率概率分布关联性质方面的情况。例如，当知道了一种资产的收益率，其他资产收益率会出现什么样的倾向？统计中的两种资产收益率之间的协方差，可以用来描述两种资产收益率之间的相互关系。

设rA，rB分别为两种资产A，B的收益率，则称

2rA,rBcov(rA,rB)E[(rAE(rA))(rBE(rB))]

为rA和rB的协方差。

rA,rBcov(rA,rB)(rA)(rB)

相关系数的值落在-1到1的范围内。显然

cov(rA,rB)rA,rB(rA)(rB)

并且rA,rB=1的充分必要条件是rA与rB存在线性关系rA=arB+c。

当rA,rB=1时，a>0,称为rA与rB完全正相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资产A与资产B的收益率发生相同方向、相应幅度的变化。

当rA,rB=-1时，a<0,称为rA与rB完全负相关，表示当受到相同因素变化的影响时，资产A与资产B的收益率发生方向相反、相应幅度的变化。

当rA,rB=0时，a=0,称为rA与rB完全无关，或零相关，表示当受到相同因素变化的影

响时，资产A与资产B的收益率的变化方向和变化幅度没有任何确定的关系。

设（rA1，rA2，…，rAN）、（rB1，rB2，…，rBN）分别为rA和rB的样本，则rA和rB协方差

rA,rB和相关系数rA,rB具有良好统计性质的估计量分别为

N1(rAirA)(rBirB)N1i1ˆrA,rBˆrA,rB(ri1Ni1NAirA)(rBirB)

22(rr)BiBi1N(rAirA)

实例：资产统计量（含均值、方差、协方差、相关系数等）的计算

1均值统计量公式

一般地，前面的概率是很难得到的，一般我们用历史数据来计算资产的期望和方差以及资产组合的期望和方差。

如果投资对象只有一个，则该投资的回报可以用期望收益率来描述，该投资的风险可以方差或均方差来描述。下面介绍期望值、方差与均方差的概念。

如果某人要对项目投资，例如购买某一种股票，他如何估计该项目的平均回报和风险呢？设该项目的投资收益率为ri。该收益率是一个随机数，它表明在第i年每元钱投资的年收益率，例如ri=0.15，说明在年初投资1元，在年末就增值到1+1×0.15=1.15元；当ri=-0.15，说明在年初投资1元，在年末就就变为1+1×（-0.15）=0.85元。该项目在前n年的收益率是由n个数组成的向量（r1，r2，…，rN）。由于无法确切地知道该项目未来的收益率，所以通常只能用该项目的历史业绩来近似地估计未来的收益率，即用前N年的收益率（r1，r2，…，rN）的期望值来估计本年的期望收益率。这N个数的期望值的计算公式如下：

rr1r2...rNN1Nri1Ni

上式中，ri为第i年的收益率；r为期望收益率；N为数据的个数。

2方差统计量公式

期望收益率r描述了投资的平均汇报水平。不过，仅仅用期望收益率来描述投资效果是不够的，例如有一组收益率由（-0.10，0.30，0.70）组成，其期望收益率是0.3，另一组收益率由（0.25，0.30，0.35）组成，其期望收益率也是0.30。两组数的期望收益率相同，但前一组中的数据比较分散，反映出前一项投资收益率的起落较大，或者说风险较大；而后一组中的数据则比较接近，反映出后一项投资收益率较平稳，或者说风险较小。所以，还需用离散趋势的量度来描述数据的起落，也就是风险的大小。表述一组收益率（R1，R2，…，RN）离散趋势的常用测度是方差和标准方差。方差的计算公式如下：

22(ri1Nir)2

N1上式中，为收益率的方差；ri为第i年的收益率；r为期望收益率；n为数据的个数。将方差开平方，得到的即为收益率的标准方差（也称标准差，或平均方差）。标准方差的计算公式如下：

(ri1Nir)2

N1上式中，为收益率的标准方差。

综上所述，一个投资项目的投资效果可以用投资收益率的期望值和方差（或标准方差）描述，前者反映了该项投资的回报水平；后者反映了该项投资的风险状况。

3资产组合期望收益率的统计量公式

如果投资对象不止一个，则该组投资的收益率不仅与各投资项目的单项期望收益率有关，而且与各项目的投资比例有关。设一组投资由m个投资项目组成，它们的单项期望收益率为（1,2,...,m），对该m个项目的投资比例为（x1,x2,...,xm），则该组投资的总收益率R的期望值为单项收益率与相应的投资比例的乘积之和。其估算公式如下：

R的期望值=x11x22...xmm （5-1）

上式中，R为投资组合的总收益率；

1,2,...,m为第1至第m个项目的单项期望收益率；

x1,x2,...,xm为第1至第m个项目的投资比例。

4资产组合风险的统计量公式

投资组合的总收益率期望值描述了多项投资的总体平均回报水平。同样地，仅仅用总收

益率期望值来描述投资组合的效果是不够的，还需描述总收益率的离散趋势，也就是整个投资组合风险的大小。一组投资的总收益率的风险（或离散趋势）的常用测度是总收益率的方差和标准差。总收益率的方差与下面几个因素有关：

（1）与单项收益率的方差有关。因为单项收益率的方差越大（即单项投资的风险越大），总收益率的方差也越大（即投资组合的风险越大）；

（2）与各项目的投资比例有关。投资比例大的项目，对投资组合的风险影响也大；（3）与各投资项目之间的相关性，一个投资项目的风险，可能影响另一个投资项目的风险状况，从而影响整个投资组合的风险。

总收益率R的方差的估算公式如下：

2222R的方差=x1212x22...xmmxxiijjijij （5-2）

（5-2）式中，R为投资组合的总收益率；

x1,x2,...,xm第1至第m个项目的投资比例；

2212,2,...,m第1至第m个项目的单项收益率的方差；

1,2,...,m第1至第m个项目的单项收益率的标准方差；

ij为第i个投资项目与第j个投资项目的相关系数。0≤ij≤1，ij=ji，ii=1。

上公式的右边包含了两个部分，第一部分是x11x22...xmm，它是各投资项目的单项收益率的方差与该项目投资比例的平方的乘积之和，它反映出总方差取决于各项目的单项方差与投资比例。第二部分是

222222xxiijjijij，它反映出总方差还取决于各投资项

目的相关性，当相关系数ij=0时，第i个投资项目与第j个投资项目之间无相关性，第二部分的值等于零；当相关系数ij0时，由于项目之间的相关性，第i个投资项目的风险将影响第j个投资项目的风险，从而进一步影响整个投资组合的风险。其中，当ij0时，说明第i个投资项目的投资风险的增加将使得第j个投资项目的风险增加（称为正相关），从而使得整个投资组合的风险增加；当ij0时，说明第i个投资项目的投资风险的增加将使得第j个投资项目的风险减小（称为负相关），从而使得整个投资组合的风险减小。综上所述，一组投资项目的投资效果可以用投资组合的总收益率的期望值和方差（或者标准方差）描述，前者反映了该组投资的总体回报水平；后者反映了该组投资的总体风险状况。

5用电子表格计算期望值、方差、均方差和相关系数

前面介绍的期望值、方差、标准方差、相关系数等，均可以用Excel的命令求得。如表5-1所示。

表5-1 Excel计算公式表

计算内容 Excel的相应公式符号

下面通过一个例子来说明用Excel公式计算投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数的方法。

例1：投资回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数

表5-2 三个投资项目的单项回报率历史数据 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 例5 历史数据时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 投资组合优化模型股票1 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 股票2 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 债券 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 期望值 average 方差 var 标准方差 stdev 相关系数 correl 协方差 covar

解：用Excel中公式（见表5-1所示）计算这三个投资项目的单项回报率的期望值、方差、标准方差和相关系数。其Spreadsheet中的公式如表5-3所示。

表5-3 三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算公式表

A B 34

C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 例历史数据时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 投资组合优化模型股票2 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 =AVERAGE(C4:C23) =VAR(C4:C23) =STDEV(C4:C23) 债券 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 =AVERAGE(D4:D23) =VAR(D4:D23) =STDEV(D4:D23 股票1 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 =AVERAGE(B4:B23) =VAR(B4:B23) =STDEV(B4:B23) 25 统计量计算 26 期望值 27 方差 28 标准方差 29 31 32 股票1 33 股票2 34 债券 1 =C32 =D32 30 相关系数股票1 ) 股票2 =CORREL(B4:B23,C4:C23 债券 =CORREL(B4:B23,D4:D23) 1 =D33 =CORREL(C4:C23,D4:D23)1

由表5-3可知，计算期望值时只需在单元格中输入公式：

=average(数据组所在的地址) 计算方差时只需输入公式： =var(数据组所在的地址)

计算标准方差时只需输入公式： =stdev(数据组所在的地址)

=correl(项目1的数据地址，项目2的数据地址)

同理可以计算出项目1和3的相关系数，以及项目2和3的相关系数。

计算相关系数的另一个方法是打开Excel中的“工具”菜单，选择项目“数据分析”，就会出现一张数据分析表，如图5-2所示。

图5-2 在数据分析表中选择相关系数功能

图5-3 相关系数表

在图5-3中按[确定]按钮，即可得到表5-4中的计算结果。

表5-4 三个投资项目的期望值、方差、标准方差和相关系数计算结果 1 2 3 A 例 B 投资组合优化模型 C D 股票2 债券历史数据时期股票1 36

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0.04 0.13 0.19 -0.15 -0.27 0.37 0.24 -0.07 0.07 0.19 0.33 -0.05 0.22 0.23 0.06 0.32 0.19 0.05 0.17 0.07 0.13 0.14 0.43 0.67 0.64 0 -0.22 0.18 0.31 0.59 0.99 -0.25 0.04 -0.11 -0.15 -0.12 0.16 0.22 -0.02 0.06 0.07 0.05 0.04 0.07 0.08 0.06 0.04 0.05 0.07 0.1 0.11 0.15 0.11 0.09 0.1 0.08 0.06 0.05 0.07 0.1130 0.0274 0.1656 0.1850 0.1102 0.3319 0.0755 0.0008 0.0278 25 统计量计算 26 单项期望值 27 单项方差 28 标准方差 29 30 相关系数 31 32 股票1 33 34

股票2 债券股票1 1.0000 -0.1959 -0.0289 股票2 -0.1959 1.0000 -0.0134 债券 -0.0289 -0.0134 1.0000 6投资组合收益率和方差计算

6.1单个资产连续复利收益率与离散收益率的计算模型

在资产投资分析和计算中，我们常常要使用连续复利收益率。连续复利收益率是指资产

期末价格与上期末价格之比的对数，即

rtln[(PtDt)/Pt1]

式中，rt——资产第t期连续复利收益率； Pt——资产第t期末的价格； Pt1——资产第t－1期末的价格； Dt——资产在第t期的红利。若不考虑红利，则为

rtln(Pt/Pt1)

除了此法，还有

rt(PtPt1)/Pt1

有了这个rt，我们就可以计算各种统计量，如，期望、方差、标准差、协方差、相关系数等，从而进行投资组合分析。

连续复利收益率分布的期望值（均值）的计算公式为

E(r)1nr

tt1n式中，r——资产连续复利收益率分布的期望值（均值）； n——已知资产收益率分布的总数。

6.2协方差的计算模型

所谓连续概率，是指在资产收益率可能发生的概率是连续的情况。在连续概率情况下资产间的协方差计算公式如下

Cov(ri,rj)1m(rt1mitE(ri))(rjtE(rj)) （i,j=1,2,……n）

式中，m——资产收益率样本中收益率的个数；

rit——资产i在第t种情况下的预期收益率； E(ri)——资产i的预期收益率；

而连续概率情况下资产i的预期收益率计算公式为ri

rmt11mit

6.3投资组合收益率和标准差计算模型

所谓投资组合P是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上资产而构成的一个组合。假设投资组合P是由n种不同资产构成，其中第i种资产上投资的资金比例为xi，i=1,…,n，简称第i种资产的投资权重。则投资组合可记为如下的形式

P={（x1，…，xn）|xi1}

i1n在投资组合P中，权重xi>0时表示买入资产i；xi<0时表示卖出资产i，将其所得资金投资于组合内其他资产；当xi>1时，表示投资在资产i上的资金有卖空其他资产收入的资金。

设资产i的收益率为ri，其概率分布为 pj=P{ri=rij}，j=1,2,…,N，i=1,2,…,n

则资产i的预期收益率（期望收益率）为

E(ri)资产i的收益率的方差为

rj1Nijpj,i1,2,...,n

D(ri)E[riE(ri)][rijE(ri)]2pj

2i2j1N标准差为i，而资产i和资产k（收益率）的协方差为

ikE[(riE(ri))(rkE(rk))][(rijE(ri))(rkjE(rk))]pj

j1N对于投资组合P，其收益率为rXnxri1inii

P的预期收益率为E(rX)xE(r)

ii12nnP的方差为2X(rX)E[rXE(rX)]E[xirixiE(ri)]2

2i1i1nnE[xi(riE(ri))]E[xixk(riE(ri))(rkE(rk))]

2i1i1k1nxixkikx2i2ii1k1i1nnnni1k1,kixxiknikXTVX

 39

其中

x1X...，V(ik)nn，iii2,ikki

xn注意到ri与rk的相关系数定义为iknnnik ik所以又有2Xx2ii12ii1k1,kixxikikikx2i2ii1nni1k1,kixx

ikikn特别地，我们来看一下等比组合的情况，此时xi1n，

E(rX)n1E(r) nii1n2Xni12122ini1k1,kin11nnik1ni2n1nik1n(i2ik)ik

其中，i,ik分别表示n个资产方差和它们的协方差的平均值。显然

2Xik(n)

如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做投资组合，当组合中资产数量达到一定程度时，单个资产的风险将不发生作用，而投资组合的风险主要取决于资产之间的协方差，即资产收益率之间的相互关系。

对于非等比例组合，上述结论仍然成立。

当n→∞，ik=0时，有：2Xni1n122ini1k1,kin11nniki1n1n2→0 i2上式表明，如果协方差等于0，则组合风险趋向于0。在不允许卖空时，注意到ii1，有

2XXVXTxxiki1k1nnikxxii1k1nnkikikxixkik

i1k1nn2(x11...xnn)2max{12,...,n}

即投资组合的风险，总是小于等于单一资产的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代资产理论的基础。

因此，投资组合P的预期收益率就等于各个资产的预期收益率与各自投资比例的加总，而投资组合的方差则与各个资产之间的协方差有关。投资组合P的预期收益率、方差、标准差的计算公式如下：

E(rX)nnxri1nii

(rX)xixjCov(ri,rj)

2i1j1nn(rX)式中，

xxCov(r,r)ijiji1j1XTVX

E(rX)——投资组合的预期收益率；

2(rX)——投资组合的方差；

(rX)——投资组合的标准差；

ri——资产i的预期收益率；

xi——资产i在投资组合中所占的权重；

N——投资投资组合中资产的个数；

Cov(ri,rj)——资产i和资产j的预计收益率之间的协方差。

2.5 模型的应用举例

例2-1：6种资产在10个月的月收益率如下表2-1所示，试计算投资组合的预期收益率和标准差。

表2-1 6种资产的预期收益率和投资比重时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 各资产的投资比重输出各个资产的预期收益率、标准差和各个资产之间的协方差，以及投资组合的预期收益率和标准差，如图2-3所示。

资产1 65% -34% 21% 64% 26% -15% 2% -11% 96% 20% 10% 资产2 10% -9% -45% 46% -5% 2% 48% -22% -15% 40% 20% 资产3 40% -42% -5% 28% -7% 10% 9% 3% 70% 32% 30% 资产4 25% -19% -10% 61% 26% 9% -18% -68% -26% 175% 20% 资产5 3% -1% 8% 15% 17% 3% 23% 8% 27% 30% 10% 资产6 40% 26% -27% 9% -10% 23% 38% 6% 7% 30% 10% 41

图2-3 模型的计算结果

见投资组合数字特征的计算实例51-52Excel文件

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