一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列关于的一元二次方程有实数根的是（ ） A．2+1=0 B．2++1=0 C．2﹣+1=0 D．2﹣﹣1=0
3．（3分）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（3分）已知1，2分别为方程22+4﹣3=0的两根，则1+2的值等于（ ） A．2 B．﹣2 C． D．﹣
5．（3分）若b＜0，则二次函数y=2+2b﹣1的图象的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（3分）若关于的一元二次方程（﹣2）2+4+1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．＜6B．≤6且≠2 C．＜6且≠2 D．＞6
7．（3分）P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ ） A．1 B．2
C．
D．2
8．（3分）当取任意实数时，抛物线y=﹣9（﹣）2﹣32的顶点所在的曲线的解析式是（ ）
A．y=32
B．y=92 C．y=﹣32 D．y=﹣92
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，则m= ，n= ．
10．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣3，4），则点C的坐标为 ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=2﹣6+17上运动，过点A作AC⊥轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=96°，那么∠A等于 ．
13．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于的一元二次方程2﹣6+n﹣1=0的两根，则n的值为 ．
14．（3分）已知抛物线y=22﹣﹣7与轴的一个交点为（m，0），则﹣8m2+4m﹣7的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
2
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=﹣（﹣h）+2018上两点，则n= ．
三、解答题（每小题12分，共72分） 17．（12分）根据要求解方程 （1）2+3﹣4=0（公式法）； （2）2+4﹣12=0（配方法）； （3）（+3）（﹣1）=5； （4）（+4）2=5（+4）．
18．（6分）如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且AB=AD．
=
，求证：
19．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
20．（7分）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
21．（8分）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P480千米处．
（1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间．
22．（8分）若关于的方程2﹣（2+1）+（2+5+9）=0有实数根． （1）求的取值范围；
（2）若1，2是关于的方程2﹣（2+1）+（2+5+9）=0的两个实数根，且12+22=39，求的值． 23．（12分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为（m2），种草所需费用y1（元）与（m2）的函数关系式为
，其图象如图所示：栽花所需
费用y2（元）与（m2）的函数关系式为y2=﹣0.012﹣20+30000（0≤≤1000）． （1）请直接写出1、2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
24．（12分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；
）三点．
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年湖北省黄冈市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B．
2．（3分）下列关于的一元二次方程有实数根的是（ ） A．2+1=0 B．2++1=0 C．2﹣+1=0 D．2﹣﹣1=0 【解答】解：A、这里a=1，b=0，c=1， ∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里a=1，b=1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里a=1，b=﹣1，c=1， ∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1， ∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选D
3．（3分）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4； ∴AC=AB=2． 故选D．
4．（3分）已知1，2分别为方程22+4﹣3=0的两根，则1+2的值等于（ A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【解答】解：1+2=﹣=﹣2． 故选C．
5．（3分）若b＜0，则二次函数y=2+2b﹣1的图象的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解答】解：∵y=2+2b﹣1=（+b）2﹣b2﹣1，
∴二次函数y=2+2b﹣1的图象的顶点坐标为（﹣b，﹣b2﹣1）． ∵b＜0，
∴﹣b＞0，﹣b2﹣1＜0，
∴当b＜0时，二次函数y=2+2b﹣1的图象的顶点在第四象限． 故选D．
）6．（3分）若关于的一元二次方程（﹣2）2+4+1=0有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．＜6B．≤6且≠2 C．＜6且≠2 D．＞6
【解答】解：∵关于的一元二次方程（﹣2）2+4+1=0有两个不相等的实数根， ∴
，
解得：＜6且≠2． 故选C．
7．（3分）P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ A．1 B．2
C．
D．2
【解答】解：
过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的最短弦，连接OB， 由勾股定理得：BP===，
∵OP⊥AB，OP过圆心O， ∴AB=2BP=2，
故选D．
8．（3分）当取任意实数时，抛物线y=﹣9（﹣）2﹣32的顶点所在的曲线的解析式是（A．y=32 B．y=92 C．y=﹣32 D．y=﹣92
【解答】解：抛物线y=﹣9（﹣）2﹣32的顶点是（，﹣32）， 可知当=时，y=﹣32，即y=﹣32，
所以（，﹣32）在抛物线y=﹣32的图象上． 故选C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
）
） 9．（3分）若点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称，则m= 2 ，n= 1 ． 【解答】解：∵点（﹣m，n+3）与点（2，﹣2m）关于原点对称， ∴﹣m=﹣2，n+3=2m， 解得：m=2，n=1 故答案为：2，1．
10．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣3，4），则点C的坐标为 （3，﹣4） ．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称， ∴C点坐标为（3，﹣4）． 故答案为：（3，﹣4）．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=2﹣6+17上运动，过点A作AC⊥轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 8 ．
【解答】解：∵y=2﹣6+17=（﹣3）2+8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，8）． ∴AC的最小值为8． ∴BD的最小值为8．
故答案为：8．
12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=96°，那么∠A等于 132° ．
【解答】解：如图所示：
∵∠α=96°， ∴∠D=48°．
∴∠A=180°﹣∠D=132°． 故答案为：132°．
13．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于的一元二次方程2﹣6+n﹣1=0的两根，则n的值为 10 ．
【解答】解：当a=2或b=2时，把=2代入2﹣6+n﹣1=0得4﹣12+n﹣1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（﹣6）2﹣4×（n﹣1）=0，解得n=10， 所以n为10． 故答案为10．
14．（3分）已知抛物线y=22﹣﹣7与轴的一个交点为（m，0），则﹣8m2+4m﹣7的值为 ﹣35 ．
【解答】解：把（m，0）代入抛物线解析式得：2m2﹣m﹣7=0，即2m2﹣m=7， 则原式=﹣4（2m2﹣m）﹣7=﹣28﹣7=﹣35，
故答案为：﹣35
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 121° ．
【解答】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°﹣∠A）=（180°﹣62°）=59°， ∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣59°=121°． 故答案是：121°．
2
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=﹣（﹣h）+2018上两点，则n= 2002 ．
【解答】解：∵A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=﹣（﹣h）2+2018上两点， ∴A（h﹣4，0），B（h+4，0），
当=h+4时，n=﹣（h+4﹣h）2+2018=2002， 故答案为2002．
三、解答题（每小题12分，共72分） 17．（12分）根据要求解方程 （1）2+3﹣4=0（公式法）； （2）2+4﹣12=0（配方法）； （3）（+3）（﹣1）=5；
（4）（+4）2=5（+4）． 【解答】解：（1）2+3﹣4=0， △=32﹣4×1×（﹣4）=25＞0， 则=
，
解得1=﹣4，2=1； （2）2+4﹣12=0，
2
+4=12，
（+2）2=16， +2=±4，
解得1=﹣6，2=2； （3）（+3）（﹣1）=5，
2
+2﹣3=5， +2﹣8=0，
2
（+4）（﹣2）=0， 解得1=﹣4，2=2； （4）（+4）2=5（+4）， （+4）2﹣5（+4）=0， （+4﹣5）（+4）=0， （﹣1）（+4）=0， 解得1=1，2=﹣4．
18．（6分）如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且AB=AD．
=
，求证：
【解答】证明：连BD、CE． ∵∴
=+
， =
，∴
=
，
∴∠ACE=∠AEC， ∴AC=AE． ∵
=
，
∴BC=DE．
∴AC﹣BC=AE﹣DE， 即AB=AD．
19．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
【解答】解：设买件衬衫应降价元， 由题意得：（40﹣）（20+2）=1200， 即22﹣60+400=0，
∴2﹣30+200=0， ∴（﹣10）（﹣20）=0， 解得：=10或=20
为了减少库存，所以=20． 故买件衬衫应应降价20元．
20．（7分）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1， ∵AB=24，CD=10， ∴AE=12，CF=5， ∵OA=OC=13， ∴EO=5，OF=12， ∴EF=12﹣5=7；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB=24，CD=10， ∴AE=12，CF=5， ∵OA=OC=13， ∴EO=5，OF=12， ∴EF=OF+OE=17．
∴AB与CD之间的距离为7或17．
21．（8分）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P480千米处．
（1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间．
【解答】解：（1）作BH⊥PQ于点H． 在Rt△BHP中，
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°， ∴BH=480sin30°=240＜260， ∴本次台风会影响B市．
（2）如图，以点B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1，P2，
若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结
束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260， ∴P1P2=2
=200，
∴台风影响的时间t=
=4（小时）．
故B市受台风影响的时间为4小时．
22．（8分）若关于的方程2﹣（2+1）+（2+5+9）=0有实数根． （1）求的取值范围；
（2）若1，2是关于的方程2﹣（2+1）+（2+5+9）=0的两个实数根，且12+22=39，求的值． 【解答】解：
（1）∵关于的方程2﹣（2+1）+（2+5+9）=0有实数根， ∴△≥0，即[﹣（2+1）]2﹣4×1×（2+5+9）≥0， 解得≤﹣
；
（2）根据题意可知1+2=2+1，12=2+5+9， ∵12+22=39，
∴（1+2）2﹣212=39，
∴（2+1）2﹣2（2+5+9）=39，解得=7或=﹣4， ∵≤﹣
，
∴=﹣4．
23．（12分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为（m2），种草所需费用y1（元）与（m2）的函数关系式为
，其图象如图所示：栽花所需
费用y2（元）与（m2）的函数关系式为y2=﹣0.012﹣20+30000（0≤≤1000）． （1）请直接写出1、2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【解答】解：（1）将=600、y=18000代入y1=1，得：18000=6001，解得：1=30； 将=600、y=18000和=1000、y=26000代入，得：解得：
，
；
（2）当0≤＜600时，
W=30+（﹣0.012﹣20+30000）=﹣0.012+10+30000， ∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（﹣500）2+32500， ∴当=500时，W取得最大值为32500元； 当600≤≤1000时，
W=20+6000+（﹣0.012﹣20+30000）=﹣0.012+36000， ∵﹣0.01＜0，
∴当600≤≤1000时，W随的增大而减小， ∴当=600时，W取最大值为32400， ∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣≥100，解得：≤900， 由≥700， 则700≤≤900，
∵当700≤≤900时，W随的增大而减小， ∴当=900时，W取得最小值27900元．
24．（12分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，（1）求抛物线的解析式；
）三点．
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a2+b+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点在抛物线上，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：y=
2
﹣2﹣；
（2）∵抛物线的解析式为：y=∴其对称轴为直线=﹣连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，﹣），
=﹣
2
﹣2﹣， =2，
∴设直线BC的解析式为y=+b（≠0），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣， 当=2时，y=1﹣=﹣， ∴P（2，﹣）；
（3）存在． 如图2所示，
①当点N在轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴
2
﹣2﹣=，
解得=2+或=2﹣
，
∴N2（2+
，），N3（2﹣
，）；
当AC为对角线时，N4（4，﹣）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣
），（2+
，）或（2﹣
，）．
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