北师大版八年级数学第五章三元一次方程组

【学习目标】

1．理解三元一次方程(或组)的含义； 2．会解简单的三元一次方程组；

3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.

【要点梳理】

要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1.三元一次方程的定义:

含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点进阶：

(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义：

一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点进阶：

(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．

（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．

要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤

(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；

(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 要点进阶：

（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：

（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法． 要点三、三元一次方程组的应用

列三元一次方程组解应用题的一般步骤：

1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；

3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点进阶：

(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．

(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 【典型例题】

类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念

例1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（ ）．

x240xy1x2yx1 A．2yz2 B．y1x C．2y3 D．xz3

xyz33y6xz12yz1

类型二、三元一次方程组的解法

例2.若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求

的值．

举一反三：

①x:2y:3,② 【变式】解方程组y:4z:5,x2y3z29③

xy3a①例3.已知方程组yz5a②的解使得代数式x-2y+3z的值等于-10，求a的值．

zx4a③

举一反三：

x3yz0①【变式】若  ，则x：y：z＝ .

3x3y4z0②

类型三、三元一次方程组的应用

例4. (凉山)甲、乙、丙三块地，草长得一样密，一样快，甲地3顷可供21头牛吃9周，求丙地24公顷可供几头牛吃18周?

举一反三：

【变式】有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（ ） A．1.2元 B．1.05元 C．0.95元 D．0.9元

1公顷可供12头牛吃4周；乙地10公3【巩固练习】

一、选择题

1. 下列方程组中是三元一次方程组的是 （ ）.

11xy422xy5a2bc5x:y:z3:4:521122 A．a8 B．yz8 C．7 D．

yzxyz242b3c2x2z2101110zx

2. 已知方程3xy70，2x3y1，ykx9有公共解，则k的值为（ ）. A. 3 B.4 C.0 D.-1

3. 若==，且a﹣b+c=12，则2a﹣3b+c等于（ ） A．

4．已知代数式axbxc，当x＝-1时，其值为4；当x＝1时，其值为8；当x＝2时，其值为25；则当x＝3时，其值为 （ ）.

A．4 B．8 C．62 D．52

5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买( ) .

A．11支 B．9支 C．7支 D．5支

二、填空题

7. 若(a1)x5y 8．已知

b1B．2 C．4 D．12

22z2|a|10是一个三元一次方程，那么a＝_______，b＝________．

xyyzxz2，则x+2y+z＝________． 234

9．若x、y的值满足3x﹣y﹣7=0，2x+3y=1，y=kx+7，则k的值等于 ．

10．已知x3yz0，则x:y:z＝________．

3x3y4z0

11．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需315元；购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需________元钱．

12. 方程x+2y+3z＝14 (x＜y＜z)的正整数解是 ．

三、解答题

13．解方程组：．

14. 已知等式(2A7B)x(3A8B)8x10对于一切有理数x都成立，求A，B的值．

15.某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共8000元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的

2，此时厂家需付甲、丙3两队共5500元．

(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?

(2)若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．