复合函数定义域的求法

复合函数定义域的求法

作者：董国胜

来源：《神州》2011年第33期

复合函数定义域的求法董国胜

（吉林省公主岭市杨大城子一中 吉林 公主岭 136129）【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1009-5071(2011)11-0304-01 复合函数的定义

一般地：若y=f(u)，又u=g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数y=f[g(x)]叫x的复合函数，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如:f(x)=3x+5,g(x)=x2+1； 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)， f(g(x))=3g(x)+5=3(x2+1)+5=3x2+8

问：函数f(x)和函数f(x+5)所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x的取值范围，这里x和x+5所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 复合函数的.已知定义域求法

1 f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x∈(a,b)，求出f[g(x)]中a 例1.已知f(x)的定义域为(-3,5]，求函数f(3x-2)的定义域； 解：由题意得

因为f(x)的定义域为(-3,5] ∴-3 -1 ∴-13

所以函数f(3x-2)的定义域为-13,73.

练1.已知f(x)的定义域为(0,3]，求f(x2+2x)定义域。

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解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 00 - 即-

故f(x2+2x)的定义域为[-3,-2)∪(0,1]

2 已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域 方法是：若f[g(x)]的定义域为x∈(a,b)，则由a

例2.若函数f(3-2x)的定义域为[-1,2]，求函数f(x)的定义域 解:由题意得 ∴- ∴- ∴-

所以函数f(x)的定义域为：[-4,11]

3 已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g(x)]定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。 例3.已知f(x+1)的定义域为[-2,3)，求f(x-2)的定义域。 解 由f(x+1)的定义域为[-2,3)得- 即得f(x)定义域为[-1,4)，从而得到- 故得函数f(x-2)的定义域为[1,6)

4 已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

-2

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若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4.已知函数f(x)定义域为是[a,b]，且a+b>0,求函数h(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域 解 ---m

∵a-m

b-m

要使函数h(x)的定义域为非空集合，必须且只需

-m，即0