人教新版八年级上学期《11.2 与三角形有关的角》同步练习组
卷
一．选择题（共8小题）
1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．105° C．60° D．45°
2．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，若∠BFC=116°，则∠A=（ ）
A．51° B．52° C．53° D．58°
3．若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．5：4：3 D．3：4：5
4．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（ ）
A．38° B．39° C．40° D．41°
5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠
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BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（ ）
A．180°﹣ B．180°﹣2β C．90°﹣β D．90°﹣
8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ）
A．α﹣β
B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β
二．填空题（共14小题）
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9．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号） 10．如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 ．
11．在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= ．
12．一个三角形的最大角不会小于 度．
13．如图，在△ABC纸片中，∠A=50°，∠B=60°．现将纸片的一角沿EF折叠，使C点落在△ABC内部．若∠1=46°，则∠2= 度．
14．如图，AD是△ABC的高，已知∠1=∠B，∠C=70°．则∠BAC= °．
15．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，则∠ADB的度数是 ．
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16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．
17．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= ．
18．如图，△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=60°，则∠APB= °．
19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）
20．在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 ．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC= 度．
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22．如图所示，在△ABC中，∠A=80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是 ．
三．解答题（共13小题）
23．如图，∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=64°，∠DEF=43°，求△ABC各内角的度数．
24．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数．
25．如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点．DF⊥AB，∠A=30°，∠F=40°，求∠ACF的度数．
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26．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED=50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．
27．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与BC相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B=40°，∠C=35°，求∠1的度数．
28．如图，AD是∠BAC的角平分线，已知∠C=∠ADC，∠B=∠BAD，求△ABC各内角的度数．
29．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上． （1）求证：CD∥AB；
（2）若∠D=38°，求∠ACE的度数．
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30．如图，在△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1﹣∠2=150°，2∠2﹣∠1=30° （1）试说明DM∥AC的理由；
（2）若DE∥BC，∠C=52°，求∠3的度数．
31．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
32．已知：如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，E是CA延长线上一点，F是AB上一点，连接EF．求证：∠ACD＞∠E．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
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34．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． （1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点． ①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
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人教新版八年级上学期《11.2 与三角形有关的角》2018
年同步练习组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（ ）
A．120° B．105° C．60° D．45°
【分析】先求出∠2，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°， 由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°， =45°+60°， =105°． 故选：B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，若∠BFC=116°，则∠A=（ ）
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A．51° B．52° C．53° D．58°
【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出∠A的值． 【解答】解：由题意可知：∠FBC+∠FCB=180°﹣∠A=64°， ∵在△ABC中，∠B、∠C的平分线是BE，CD， ∴∠ABC+∠ACB=2（∠FBC+∠FCB）=128°， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=52° 故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和性质，解题的关键是根据角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的值，本题属于属于基础题型．
3．若一个三角形的三个内角度数之比为3：2：1，则与之相邻的三个外角度数之比为（ ）
A．3：2：1 B．1：2：3 C．5：4：3 D．3：4：5
【分析】设三个内角分别为3k、2k、k，利用三角形的内角和定理列式求出k值，从而得到三个内角，再求出相邻的三个外角度数，相比即可得解． 【解答】解：设三个内角分别为3k、2k、k， 由题意得，3k+2k+k=180°， 解得k=30°，
所以，三个内角分别为90°，60°，30°，
与之相邻的三个外角度数分别为90°，120°，150°， 90°：120°：150°=3：4：5． 故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角，三角形的内角和定理，利用“设k法”求解更简便．
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4．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（ ）
A．38° B．39° C．40° D．41°
【分析】根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC沿DE，EF翻折， ∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，
∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣139°=41°， 故选：D．
【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．
5．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF=∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F， ∴∠CBF=∠ABC，∠BCF=∠ACB，
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∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°，
∴∠BFC=180°﹣（∠CBF+BCF）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=120°． 故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
6．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠1的度数．
【解答】解：由题意可得：∠2=60°，∠5=45°， ∵∠2=60°，
∴∠3=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠4=30°，
∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°， 故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三
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角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
7．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（ ）
A．180°﹣ B．180°﹣2β C．90°﹣β D．90°﹣
【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数． 【解答】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D=180°，∠D=β， ∴∠BCD+∠CBD=180°﹣β． ∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，
∴∠CBE+∠BCF=2（∠BCD+∠CBD）=360°﹣2β，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF=360°﹣（∠CBE+∠BCF）=2β． 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A=180°﹣2β． 故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．
8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（ ）
A．α﹣β
B．β﹣α C．180°﹣α+β D．180°﹣α﹣β
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【分析】根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 【解答】解：如图，∵α=∠1， ∴β=x+∠1
整理得：x=β﹣α． 故选：B．
【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．
二．填空题（共14小题）
9．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．
【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，∠C=90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A=90°﹣∠B，则∠A+∠B=90°，∠C=90°．则该三角形是直角三角形； ④∠A=∠B=∠C，则该三角形是等边三角形． 故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
10．如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 240° ．
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【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．
【解答】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°， ∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°， ∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°． 故答案为：240°．
【点评】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后在加在一起．
11．在直角△ABC中，∠C=90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2= 270° ．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+∠B=180°﹣∠C=90°， ∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
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∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°． 故答案是：270°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，正确理解定理是关键．
12．一个三角形的最大角不会小于 60 度．
【分析】因为三角形的内角和是180度，假设三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾，所以三角形的最大角不小于60度．
【解答】解：由分析可知：如果三角形的最大角小于60°，那么此三角形的内角和小于180度，与三角形的内角和是180度矛盾． 所以三角形的最大角不小于60度； 故答案为：60．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和，明确三角形的内角和是180度，是解答此题的关键．
13．如图，在△ABC纸片中，∠A=50°，∠B=60°．现将纸片的一角沿EF折叠，使C点落在△ABC内部．若∠1=46°，则∠2= 94 度．
【分析】连接CC'，依据三角形内角和定理可得∠EC'F=∠ACB=70°，再根据∠1是△CC'E的外角，∠2是△CC'F的外角，即可得到∠1+∠2=∠ACB+∠EC'F=140°，进而得出∠2的度数．
【解答】解：如图，连接CC'， ∵∠A=50°，∠B=60°， ∴∠ACB=70°，
由折叠可得，∠EC'F=∠ACB=70°，
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∵∠1是△CC'E的外角，∠2是△CC'F的外角， ∴∠1+∠2=∠ACB+∠EC'F=140°， 又∵∠1=46°， ∴∠2=94°， 故答案为：94．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，利用三角形外角性质进行计算．
14．如图，AD是△ABC的高，已知∠1=∠B，∠C=70°．则∠BAC= 65 °．
【分析】依据AD是△ABC的高，即可得到∠1=∠B=45°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠BAC的度数． 【解答】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠1=∠B=45°， 又∵∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣45°﹣70°=65°， 故答案为：65．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
15．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，则∠ADB的度数是 110° ．
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【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可求出答案． 【解答】解：∵CE是△ABC的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠BCE=50°， ∴∠B=40°，
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠BAC=30°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=110°， 故答案为：110°
【点评】本题考查三角形的内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理，本题属于基础题型．
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= 101° ．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠B=∠1=57°，
由三角形的外角性质得，∠2=∠A+∠B=44°+57°=101°． 故答案为：101°．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
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角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
17．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= 80° ．
【分析】根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB的度数，从而得出∠A的度数． 【解答】解：如图，连接BC．
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， ∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD， 又∠BDC=140°，∠BGC=110°，
∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°， ∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°， ∴∠ABE+∠ACF=30°，
∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°， ∴∠A=80°． 故答案为：80°．
【点评】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
18．如图，△ABC中，∠1=∠2，∠BAC=60°，则∠APB= 120 °．
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【分析】依据∠1=∠2，∠BAC=∠BAP+∠1=60°，即可得出∠BAP+∠2=60°，进而得到△ABP中，∠P=180°﹣60°=120°．
【解答】解：∵∠1=∠2，∠BAC=∠BAP+∠1=60°， ∴∠BAP+∠2=60°，
∴△ABP中，∠P=180°﹣60°=120°， 故答案为：120．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
19．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180° ．（用度数表示）
【分析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 【解答】解：如右图所示， ∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D， ∴∠1=∠C+∠A+∠D， 又∵∠1+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°． 故答案是：180°．
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【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
20．在我们的生活中处处有数学的身影，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理 三角形的内角和是180° ．
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【解答】解：根据折叠的性质，∠A=∠1，∠B=∠2，∠C=∠3， ∵∠1+∠2+∠=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°，
∴定理为：三角形的内角和是180°． 故答案为：三角形的内角和是180°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
21．已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，H是高BD、CE的交点，则∠BHC= 125 度．
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【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可求得∠ABD．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，进而求出∠BHC． 【解答】解：在△ABD中， ∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣∠A=35°， ∴∠BHC=90°+35°=125°．
【点评】运用了直角三角形的两个锐角互余以及三角形的内角和定理的推论．
22．如图所示，在△ABC中，∠A=80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是 2.5° ．
【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=96°，即可求出∠A5．
【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD， ∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC， ∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A， ∴∠A=2∠A1
同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2， ∴∠A=25∠A5， ∵∠A=80°，
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∴∠A5=80°÷32=2.5°． 故答案为：2.5°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．
三．解答题（共13小题）
23．如图，∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=64°，∠DEF=43°，求△ABC各内角的度数．
【分析】根据三角形外角性质得到∠FDE=∠BAD+∠ABD，而∠BAD=∠CBE，则∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC=64°；同理可得∠DEF=∠ACB=43°，然后根据三角形内角定理计算∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=48°，∠DEF=64°，
【解答】解：∵∠FDE=∠BAD+∠ABD，∠BAD=∠CBE ∴∠FDE=∠BAD+∠CBE=∠ABC， ∴∠ABC=64°；
同理∠DEF=∠FCB+∠CBE=∠FCB+∠ACF=∠ACB， ∴∠ACB=43°；
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣64°﹣43°=73°， ∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．
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（1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE的度数；
（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=30°．
（2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°， ∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADE=90°，
∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25．如图，点F是△ABC的边BC延长线上一点．DF⊥AB，∠A=30°，∠F=40°，求∠ACF的度数．
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【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：在△DFB中，∵DF⊥AB， ∴∠FDB=90°，
∵∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°， ∴∠B=50°．
在△ABC中，∵∠A=30°，∠B=50°， ∴∠ACF=∠A+∠B=30°+50°=80°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
26．已知△ABC中，DE∥BC，∠AED=50°，CD平分∠ACB，求∠CDE的度数．
【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠EDC的度数． 【解答】解：∵DE∥BC，∠AED=50°， ∴∠ACB=∠AED=50°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=25°， ∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD=25°．
【点评】考查了平行线的性质和角平分线的定义，这类题首先利用平行线的性质
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确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
27．如图，在△ABC中，点D为BC上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，AE与BC相交于点F，若AE平分∠CAD，∠B=40°，∠C=35°，求∠1的度数．
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠BAC的值，根据角平分线的性质结合折叠的性质可得出∠BAD=∠DAE=∠CAE=35°、∠B=∠E=40°，再利用三角形的外角的性质可求出∠AFD及∠1的度数．
【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=40°，∠C=35°， ∴∠BAC=105°． 又∵AE平分∠CAD， ∴∠CAE=∠DAE．
由翻折得：∠BAD=∠DAE，∠B=∠E=40°， ∴∠BAD=∠DAE=∠CAE=35°， ∴∠AFD=∠CAE+∠C=70°． 又∵∠AFD=∠1+∠E， ∴∠1=70°﹣40°=30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的性质以及折叠的性质，利用角平分线的性质、折叠的性质及三角形的外角性质找出各角之间的关系是解题的关键．
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28．如图，AD是∠BAC的角平分线，已知∠C=∠ADC，∠B=∠BAD，求△ABC各内角的度数．
【分析】设∠B=∠BAD=x°，求出∠B=x°，∠C=2x°，∠BAC=2x°，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】解：设∠B=∠BAD=x°， ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠C=∠ADC， ∴∠C=∠ADC=x°+x°=2x°， ∵AD是∠ABC的角平分线， ∴∠BAC=2∠BAD=2x°， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴x+2x+2x=180， ∴x=36°，
即∠B=36°，∠C=72°，∠BAC=2×36°=72°．
【点评】本题考查了三角形的外角的性质、三角形的内角和定理等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键．
29．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上． （1）求证：CD∥AB；
（2）若∠D=38°，求∠ACE的度数．
【分析】（1）由于BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，由于∠DBC=∠D，所以∠ABD=∠D，从而可知CD∥AB；
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（2）由于∠ABD=∠D=38°，BD平分∠ABC，所以∠ABC=2∠ABD=76°，所以∠ABC=∠A=76°，易求∠ACD=∠A=76°，∠ABC=∠DCE=76°，所以∠ACE=∠ACD+∠DCE=76°+76°=152°．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠DBC=∠D， ∴∠ABD=∠D， ∴CD∥AB， （2）∵∠D=38°， ∴∠ABD=∠D=38°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABD=76°， ∴∠ABC=∠A=76°， ∵CD∥AB， ∴∠ACD=∠A=76°， ∠ABC=∠DCE=76°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=76°+76°=152°
【点评】本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的判定定理，本题属于中等题型．
30．如图，在△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1﹣∠2=150°，2∠2﹣∠1=30° （1）试说明DM∥AC的理由；
（2）若DE∥BC，∠C=52°，求∠3的度数．
【分析】（1）根据2∠1﹣∠2=150°，2∠2﹣∠1=30°求出∠1，∠2，从而可求出
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∠DME后即可证明DM∥AC；
（2）由于∠BFM=∠C+∠2=122°，因为DE∥BC，所以∠DEF=58°，由三角形的外角性质可知∠1=∠3+∠DEF，所以∠3=52°． 【解答】解：（1）由题意可知：∴
，
∴∠DME=180°﹣∠1=70°， ∴∠DME=∠2 ∴DM∥AC，
（2）由于∠BFM=∠C+∠2=122°， ∵DE∥BC，
∴∠DEF+∠BFM=180°， ∴∠DEF=58°， ∵∠1=∠3+∠DEF， ∴∠3=52°
【点评】本题考查三角形的内角和定理的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形的内角和定理以及平行线的判定与性质，本题属于中等题型．
31．已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+∠C，再根据角平分线的定义可得∠EAC=2∠EAD，从而得到∠B=∠EAD，然后根据同位角相等两直线平行证明即可．
【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC=∠B+∠C， ∵∠B=∠C， ∴∠EAC=2∠B，
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∵AD平分外角∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∴∠B=∠EAD， ∴AD∥BC．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，平行线的判断，熟记性质与平行线的判定方法并求出∠B=∠EAD是解题的关键．
32．已知：如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，E是CA延长线上一点，F是AB上一点，连接EF．求证：∠ACD＞∠E．
【分析】根据三角形的外角的性质证明即可． 【解答】证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角， ∴∠ACD＞∠BAC，
∵∠BAC是△AEF的一个外角， ∴∠BAC＞∠E， ∴∠ACD＞∠E．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．
【分析】根据直角三角形的两锐角互余可得：∠A+∠B=90°，则∠A+∠ACD=90°，
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由三角形内角和及垂直定义可得结论． 【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AB．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、垂直的定义及余角的性质，属于基础题，熟练掌握同角或等角的余角相等是关键．
34．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B． （1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点． ①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）先判断出∠ACD+∠BCD=90°，进而得出∠B+∠BCD=90°，即可得出结论；
（2）先求出∠ACD，进而利用折叠得出∠A'CD，再利用直角三角形的性质得出∠BCD，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠BDC=90°， ∴CD⊥AB；
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（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=34°，
由（1）知，∠BCD+∠B=90°， ∴∠BCD=56°，
由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，
∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；
②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°， ∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的直线，等式的性质，判判断出CD⊥AB是解本题的关键．
35．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°； （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
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∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
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