著名机构初中数学培优讲义.直线与圆的位置关系.第07讲(B级).学生版

中考要求

内容 基本要求 了解直线与圆的位置关系；了解直线与圆的位置切线的概念，理解切线与过切点关系 的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线 切线长 了解切线长的概念 略高要求 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 较高要求 能解决与切线有关的问题 会根据切线长知识解决简单问题 重难点

1．理解直线与圆的位置关系；

2．能够证明切线及利用切线解决相关问题．

例题精讲

模版一 直线与圆位置关系的确定

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 相离 图形 rdOl定义 直线与圆没有公共点． 直线与圆有唯一公共点，直线叫做l性质及判定 dr直线l与⊙O相离 相切 相交 rdO 圆的切线，唯一公共点叫做切点． 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线． dr直线l与⊙O相切 rdOldr直线l与⊙O相交 二、切线的性质及判定

1. 切线的性质

（1） 定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2） 注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心

①过圆心，过切点垂直于切线．AB过圆心，AB过切点M，则ABl． ②过圆心，垂直于切线过切点．AB过圆心，ABl，则AB过切点M． ③过切点，垂直于切线过圆心．ABl，AB过切点M，则AB过圆心．

AOMlB

2. 切线的判定

（1） 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； （2） 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

（3） 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．

OOlOlAAlA

3. 切线长和切线长定理

（1） 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2） 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切

线的夹角．

三、三角形的内切圆

1. 三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

2. 多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3. 直角三角形内切圆的半径与三边的关系

AAcbbCCaAcBBDOEFCBa

设a、b、c分别为△ABC中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径为rp11abc．若C90，则rabc． 22s，其中p

【例1】 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，AOB45，点P在数轴上运动，

若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OPx，则x的取值范围是 A．0≤x≤2 B．2≤x≤2 C．－1≤x≤1 D．x＞2

AOPB

【例2】 RtABC中，C90，AC3cm，BC4cm，给出下列三个结论： ①以点C为圆心，3 cm

长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，5cm长为半径的圆与直线AB相交．上述结论中正确的个数是（ ） A．0个 B．l个 C．2个 D．3个

【巩固】在RtABC中，C90，AC12cm，BC16cm，以点C为圆心，r为半径的圆和AB有怎

样的位置关系？为什么？ （1）r9cm；（2）r10cm；（3）r9.6cm．

B

DCA

【例3】 如下左图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C90，且ABADBC，AB是eO的直径，

则直线CD与eO的位置关系为( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

DAOCB

【巩固】如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上的一点，过点D作eO的切线AD，BADA，BC10，

5AD4，那么直线CE与以点O为圆心，为半径的圆的位置关系是 ．

2AEBD

OC

模版二 切线的性质及判定 ☞作垂直证半径

【例4】 已知：O为BAC平分线上一点，ODAB于D，以O为圆心．以OD为半径作圆O．求证：⊙O与AC相切．

DAOCB

【巩固】如图，ABC为等腰三角形，ABAC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证AC与⊙O相切．

A

DBOC

☞连半径证垂直

证明直线是圆的切线是中考的一种常见问题，证明的基本方法有： （1）利用定义，证明直线与圆只有一个交点；

（2）当所证直线与圆有一个公共点时，连接圆心和这个公共点，证明这条半径与所证直线垂直； （3）当所证直线与圆没有确定的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。 总结：连接圆心与切点是一条常用辅助线，由此可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用。

求值：圆的证明大题第二问通常是考到了求线段的长度，求值的基本方法有：

（1）设出要求的线段，然后找出直角三角形，利用勾股定理列出方程求出线段的长．

（2）找出相似三角形，利用边的比例求出线段的长，这种方法的应用在一二模和中考中用的非常多。必须要熟练掌握。

（3）牵涉到了锐角三角函数时，需要利用相等的角转换，然后利用三角函数去求解。

（4）利用射影定理，或切线长定理求解

【例5】 （10年海淀二模）已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，

BCDA.

（1）求证：CD为⊙O的切线；

（2） 过点C作CEAB于E.若CE2,cosD4,求⊙O的半径. 5AOBDC

【巩固】（10年朝阳二模）已知：如图, AB是⊙O的直径, AB=AC，BC交⊙O于点D，延长CA交⊙O于

点F，连接DF，DE⊥CF于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=10，cosC

4，求EF的长． 5

CDEBOFA

【拓展】（10西城一模）如图，△ABC内接于eO，ABAC，点D在eO上，ADAB于点A，AD与

BC交于点E，点F在DA的延长线上，AFAE． （1）求证：BF是eO的切线；

4（2）若AD4，cosABF，求BC的长．

5BODCEAF

【例6】 （10年西城二模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，

连结EB交OD于点F． （1）求证：OD⊥BE；

（2）若DE=

55，AB=，求AE的长． 22CEDFABO

【巩固】（10年密云一模）如图，等腰三角形ABC中，ACBC6，AB8．以BC为直径作eO交AB于点D，交AC于点G，DFAC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是eO的切线； （2）求sinE的值．

AFDGEBOC

【例7】 （10年昌平一模）已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B 在⊙O上，且

OAABAD.

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交 于点F，且BE8，tanBFA

5，求⊙2O的半径长.

BEFDAOC

【巩固】（10年石景山一模）已知：如图，AB为eO的直径，弦AC∥OD,

BD切eO于B,联结CD．

（1）判断CD是否为eO的切线，若是请证明；若不是请说明理由．

（2）若AC2,OD6,求eO的半径．

ACO

BD

【巩固】（10年顺义二模）如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，AE平分BAC，EFAB，垂

足为F，DCAB．

（1）求证：AD为⊙O的切线；

（2）若sinD4，AD6，求CE的长． 5DCEABOF

【例8】 （09年中考）已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点

M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径. （1）求证：AE与⊙O相切； （2）当BC=4,cosC=

1时，求⊙O的半径. 3CMEGAFOB

o【巩固】已知：如图，在Rt△ABC中，C90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与

AC，AB分别交于点D，E，且CBDA．

（1）判断直线BD与eO的位置关系，并证明你的结论； C （2）若AD:AO8:5，BC2，求BD的长．

D

A B E O

课堂检测

1． 已知ABC60，点O在ABC的平分线上，OB5cm，以O为圆心3cm为半径作圆，则eO与BC的位置关系是________． 2．

如图，以等腰ABC中的腰AB为直径作eO，交BC于点D．过点D作DEAC，垂足为E． （1）求证：DE为eO的切线；

（2）若eO的半径为5，BAC60，求DE的长．

AOECDBCEDBAO

总结复习

1．通过本堂课你学会了 ． 2．掌握的不太好的部分 ． 3．老师点评：① ．

② ．

③ ．

课后作业

1． 如图所示在RtABC中，B90，A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DEDC，以D

为圆心，以DB的长为半径画圆．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）ABEBAC．

AEBAEBFDCDC

2． 已知：如图，C为⊙O上一点，DA交⊙O于B，连结AC、BC，且DCBCAB．求证：（1）

（2）CD2ADBD． DC为⊙O的切线；

COABD