一．选择题（满分30分，每小题3分） 1．﹣|﹣5|的倒数是（ ） A．5
B． C．﹣ D．﹣5
2．下列运算中，正确的是（ ） A．（x+1）2＝x2+1 C．2x4•3x2＝6x8
3．如图，几何体的左视图是（ ）
B．（x2）3＝x5 D．x2÷x﹣1＝x3（x≠0）
A． B．
C． D． 4．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行 设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D． 5．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运动会射击比赛，在选拔比赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示：
平均数/环 方差/环2
甲 9.5 5.1
乙 9.5 4.7
丙 9.5 4.5
丁 9.5 5.1
请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
6．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ） A．16πcm2
B．12πcm2
C．8πcm2
D．4πcm2
7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 8．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边BC'重合，则正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积为（ ）
A． B． C． D． 9．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG
＝1，则S▱AEPH＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图
中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D． 二．填空题（满分24分，每小题3分） 11．在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 ．
12．把一张对边互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠D′FD的度数为 ．
13．已知关于x，y的方程组的解为，写出一次函数y＝﹣x+1和y＝﹣
的图象交点P的坐标是 ．
14．如图，某扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为27厘米，则的长为 厘米．（结果保留π）
15．已知关于x的不等式组16．如图，正方形ABCD中，AD＝的整数解共有5个，则a的取值范围是 ． +2，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）
将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝ ．
17．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以则线段OA的最大值为 ．
为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，
18．如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角
形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ．
三．解答题
19．（12分）先化简代数式1﹣求值．
20．（10分）某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：
步数 0≤x＜4000 4000≤x＜8000
频数 8 15
频率 a 0.3 ÷，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入
8000≤x＜12000 12000≤x＜16000 16000≤x＜2000 20000≤x＜24000
12 c 3 d
b 0.2 0.06 0.04
（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．
四．解答题
21．（12分）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF． （1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．
22．（12分）如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上的一动点，连 接AC并延长交⊙O于D，过点D作直线交OB延长线于E，且DE＝CE，已知OA＝8．（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当∠A＝30°时，求CD的长．
五．解答题
23．（12分）如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离．（结果保留根号）
六．解答题
24．（12分）某批发商以70元/千克的成本价购入了某畅销产品1000千克，该产品每天的保存费用为300元，而且平均每天将损耗30千克，据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示． （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）为获得最大利润，该批发商应该在进货后第几天将这批产品一次性卖出？最大利润是多少？
七．解答题
25．（12分）在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC＝15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．
八．解答题
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴
交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H． （1）求抛物线的解析式．
（2）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD＝3，若在x轴上存在以动点Q，使PQ+PQ+QB的最小值． QB最小，若存在，请直接写出此时点Q的坐标及
参考答案
一．选择题
1．解：﹣|﹣5|＝﹣5， 则﹣5的倒数为：﹣故选：C．
2．解：A、原式＝x2+2x+1，不符合题意； B、原式＝x6，不符合题意； C、原式＝6x6，不符合题意； D、原式＝x2•x＝x3，符合题意； 故选：D．
3．解：从几何体左面看得到是矩形的组合体，且长方形靠左． 故选：A．
4．解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D．
5．解：∵S甲2＝5.1，S乙2＝4.7，S丙2＝4.5，S丁2＝5.1， ∴S甲2＝S2丁＞S乙2＞S2丙， ∴最合适的人选是丙． 故选：C．
6．解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2， 所以这个圆锥的侧面积＝故选：C． 7．解：画树状图为：
×4×2π×2＝8π（cm2）． ．
共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8， 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为故选：B．
8．解：正八边形的内角∠ABC′＝＝135°， ＝，
正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使AB与正八边形的另一边BC'重合， ∴∠ABC＝∠A′BC′＝90°，∠BA′D′＝∠BAD＝90°， ∴∠ABA′＝135°﹣90°＝45°， 延长BA′过点D，如图， ∵AB＝1，
∴A′B＝AB＝1，BD＝∴A′D＝﹣1，
×1×1﹣
，
∴正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积＝S△BDC﹣S△DA′E＝×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1．
故选：A．
9．解：∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴S△PEB＝S△BGP，
同理可得S△PHD＝S△DFP，S△ABD＝S△CDB， ∴S△ABD﹣S△PEB﹣S△PHD＝S△CDB﹣S△BGP﹣S△DFP， 即S四边形AEPH＝S四边形PFCG． ∵CG＝2BG，S△BPG＝1， ∴S四边形AEPH
＝S四边形PFCG＝4×1＝4，
故选：B．
10．解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴ y＝当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，
×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．
x2
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝﹣4x+8，
×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图
象与所求的分段函数对应． 故选：A． 二．填空题 11．解：由题意得，解得x≥2． 故答案为：x≥2
12．解：∵EF 是折痕，∠EFB＝32°，AC′∥BD′， ∴∠C′EF＝∠GEG＝32°， ∴∠C′EG＝64°， ∵CE∥FD，
∴∠D′FD＝∠EGB＝64°． 故答案为：64°． 13．解：∵关于x，y的方程组∴一次函数y＝﹣x+1和y＝﹣故答案为：（﹣1，2）． 14．解：的长＝（厘米）， 的解为，
，
的图象交点P的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：18π
15．解：解不等式x﹣a≥0，得：x≥a， 解不等式3﹣2x＜4，得：x≤2， ∵不等式组的整数解有5个， ∴﹣3＜a≤﹣2，
故答案为：﹣3＜a≤﹣2． 16．解：若AP＝BA， ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∵折叠
∴AD＝DP＝AP，∠ADE＝∠PDE ∴△ADP是等边三角形 ∴∠ADP＝60° ∴∠ADE＝30° ∴AE＝若AP＝AB，
如图，过点P作PF⊥AD于点F，作∠MED＝∠MDE，
＝ ∵AP＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，且PF⊥AD， ∴PF＝∵折叠
∴AD＝DP＝AB，∠ADE＝∠PDE ∴PF＝PD AB，
∴∠PDF＝30° ∴∠ADE＝15° ∵∠MED＝∠MDE， ∴∠AME＝30°，ME＝MD ∴AM＝AE，ME＝2AE
∴AD＝2AE+∴AE＝1
AE＝2+ 故答案为：1或 BC＝2，如图，连结OB，
＝2，
17．解：作OF⊥BC于F，则BF＝CF＝在Rt△OBF中，OF＝＝∵∠BAC＝45°，BC＝4，
∴点A在BC所对应的一段弧上一点，
∴当点A在BC的垂直平分线上时OA最大， 此时AF⊥BC，AB＝AC，
作BD⊥AC于D，如图，设BD＝x， ∵△ABD为等腰直角三角形， ∴AB＝BD＝x，
∴AC＝x，
在Rt△BDC中，∵BC2＝CD2+BD2， ∴42＝（x﹣x）2+x2，即x2＝4（2+），
∵AF•BC＝BD•AC， ∴AF＝＝2+2， ∴AO＝AF+OF＝2+2+2， 即线段OA的最大值为2+2+2．
故答案为2+2+2．
18．解：∵OB＝，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°． 在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，
同理得：B1A2＝A1B1＝，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于三．解答题 19．解：原式＝1﹣＝1﹣＝＝﹣﹣， × ．
由题意得，x≠﹣1，0，1， 当x＝3时，原式＝﹣ 20．解：（1）a＝8÷50＝0.16，b＝12÷50＝0.24，c＝50×0.2＝10，d＝50×0.04＝2， 补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）＝11340，
答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；
（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，
20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y， 画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
四．解答题
21．（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝FA，
∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形， ∴AE⊥BF，BO＝FB＝3，AE＝2AO，
＝4，
在Rt△AOB中，AO＝∴AE＝2AO＝8．
22．（1）证明：如图连接OD．
∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∴∠A+∠ACO＝90°， ∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD＝∠ACO， ∴∠ODA+∠EDC＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△AOC中，∵OA＝8，∠A＝30°， ∴OC＝OA•tan30°＝∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝30°，∠DOA＝120°，∠DOC＝30°， ∴∠DOC＝∠ODC＝30°， ∴CD＝OC＝五．解答题
23．解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
．
，
则DE＝BF＝CH＝10m，
在Rt△ADF中，AF＝AB﹣BF＝70m，∠ADF＝45°， ∴DF＝AF＝70m．
在Rt△CDE中，DE＝10m，∠DCE＝30°，
∴CE＝＝＝10（m）， ）m．
）m．
∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10答：障碍物B，C两点间的距离为（70﹣10六．解答题
24．解：（1）当0≤x≤20，把（0，100）和（20，160）代入y＝kx+b得
，
解得：
，
∴y＝3x+100，
当20≤x≤40时，y＝160， 故y与x之间的函数关系式是y＝；
（2）设到第x天出售，批发商所获利润为w，由题意得： ①当0≤x≤20；w＝（y﹣70）（1000﹣30x）﹣300x， 由（1）得y＝3x+100，
∴w＝（3x+100﹣70）（1000﹣30x）﹣300x， ＝﹣90（x﹣10）2+39000， ∵a＝﹣90＜0，
∴函数有最大值，当x＝10时，利润最大为39000元， ②当20＜x≤40时，w＝（y﹣70）（1000﹣30x）﹣300x， 由（1）得y＝160，
∴w＝（160﹣70）（1000﹣30x）﹣300x ＝﹣3000x+90000． ∵﹣3000＜0，
∴函数有最大值，当x＝20时，利润最大为30000元， ∵39000＞30000，
∴当第10天一次性卖出时，可以获得最大利润是39000元． 七．解答题
25．解：作AD⊥BC，交BC于点D，交GH于点M， ∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝MD＝HG，设正方形的边长为x，则AM＝10﹣x，且AM⊥GH， ∵GH∥BC， ∴△AHG∽△ABC， ∴＝，即＝，解得x＝6，
∴S正方形HEFG＝36（cm2）．
八．解答题
26．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝（2）存在，分三种情况讨论， ①如图1所示，
；
∵四边形ACEF为平行四边形，
∴EF可由AC平移得到，C、E为对应点，A、F为对应点，
∵C（0，），点E的横坐标为1，
∴向右平移了一个单位， ∵A（﹣1，0）， ∴F的横坐标为0， ∵直线AD的解析式为y＝x+，
∴当x＝0时，y＝，
∴F（0，）．
②如图2所示，
此时点F与点D重合， ∴F（2，）．
③如图3所示，
根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2， 当x＝﹣2时，y＝﹣，
∴F（﹣2，﹣）．
综上所述：点F的坐标为（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）．
（3）如图4所示，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N，过点P作PH垂直于BN，与x轴的交点即为点Q，
设直线BN的解析式为y＝解得b＝﹣，
x+b，过点B（3，0），
∴直线BN的解析式为y＝x﹣，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴N（1，﹣1），
设直线AD与抛物线的对称轴的交点为点M， ∴M（1，1），
∵S△ADP＝PM•（xD﹣xA）•∴PM＝2， ∴P（1，3）， ∵tan∠ABN＝∴，
＝3，
QB＝QH，
QB＝PQ+QH，
QB最小，即为PH，
∴PQ+∴当P、Q、H三点共线时，PQ+∵PN＝4，∠NPH＝∠ABN， ∴PH＝∴PQ+．
QB的最小值为，
此时点Q（2.5，0）．
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