高数下第十章复习题

曲线积分

一、对弧长的曲线积分 例1．计算

Lex2y2222ds, 其中L为圆周xya(a0), 直线yx及x轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界。(07)

解：所求积分的曲线可分为三段：线段OA、弧AB、线段OB。 线段OA：y = 0，0  x  a，1yx1，弧AB：x=acost，y=asint，0t2OAex2y2ds0eaxdxe1；

a B 4，xt2yt2a，

O 2x2y2a2xABex2y2ds4eaadtaea04；

edsAx 线段OB：y=x，0x所以，eLx2y2a2，1yx2，a)2。 4OB02e2dxea1。

ds=ea(2例2．解:

Ly2ds，其中L为摆线的一拱xa(tsint)，ya(1cost) （0t）(05)

dxdya(1cost), asint dtdt222222原式=a(1cost)a(1cost)asintdt =a03(1cost)0212cost1dt

=2a3(1cost)dt=

0521283a 15例3．计算x2yzds，其中 为折线ABCD，这里A, B, C, D四点的坐标依次为点(0, 0, 0), (0, 0, 2), (1 ,0 , 2),

(1,3,2)；

解：所求积分的曲线可分为三段：线段AB、线段BC、线段CD。

22线段AB：x = 0，y = 0，0  z  2，1xzyz1，22线段BC：y = 0，z = 2，0  x  1，1yxzx1,

ABx2yzds0；

2BCxyzds0；

线段CD：x = 1，z = 2，0  y  2，1xy2zy21, 所以，x2yzds= 9。

BCx2yzds02ydy9；

2二、对坐标的曲线积分 曲面积分时候加根号倒

例1．xydx，其中L为圆周 (x – a)2 + y2 = a2 (a>0)，及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按

L逆时针方向绕行)；

解：将圆周ABO：(x – a)2 + y2 = a2用参数方程表示：

xaacost（t从0变到）； yasintx轴上的一线段OA为：y=0，（ x 从0变到2a）；

y B A 2a x o a 2则：xydxxydxLOAABOxydx0+

0(aacost)asint(asint)dta30(1cost)sintdt

1

a30sin2tdta320costsin2tdt2a302a3。

例2．(xy)dx(xy)dyxy2L，其中L为圆周x2 + y2 = a2 (按逆时针方向饶行)；

xacost（t从0变到2）；则

yasint2解：积分曲线L的参数方程为：L(xy)dx(xy)dyx2y22021a[(acostasint)(asint)(acostasint)(acost)]dt

0dt2

例3．

dxdyydz,其中为有向闭折线ABCA, 这里A, B, C三点的坐标依次为点(1, 0, 0),

(0, 1, 0), (0, 0, 1)；

解：由A, B, C三点的坐标可得有向线段AB, BC, CA的参数方程及参数t的变化范围为:

x1tx0xt

t由0变到1；y1t t由0变到1；y0 t由0变到1； yt

z0ztz1t则，

1dxdyydz==； 0dt(dt)(1t)dt(2t)dt22ABdxdyydz=dtdtt0dt= –2；

01011BC0CAdxdyydz=dt0dt0(dt)1； 所以，

01dxdyydz=

1。 2三、两类曲线积分之间的联系

例. 将对坐标的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy化成对弧长的曲线积分, 其中L为:沿上半圆周x2 + y2 = 2x从

L点(0, 0)到点(1, 1)。

1xxx解：由于L的方程为 , x从0变到1, 则T{1,},cos2xx2,

22xx2y2xxcos(1x), 故P(x,y)dxQ(x,y)dy=

L(L2xx2P(x,y)(1x)Q(x,y))ds。

四、格林公式

例1. 利用曲线积分, 求星形线x = a cos3 t，y = a sin3 t所围成的图形的面积。 解：画积分曲线如图，则所求面积为

y 1a A =xdyydx 2L12o [acos3ta3sin2tcostasin3ta3cos2t(sint)]dt

023a2223a2 =。 sintcos2tdt=

820a x

例2. 设平面曲线C:2xy1取正向，则曲线积分

22Cxdyydx（06）  。x2y2yxy2x2 , Q2解：P2 PyQx2 (x2y20) 。 2222xyxy(xy)

2

取C1：xcos , ysin , : 02，则

xdyydxxdyydxxdyydxxdyydx＝()Cx2y2Cx2y2C1x2y2C1x2y2

＝C1222cossinxdyydxd2 。 ＝22220cossinxy例2﹡. 设平面曲线C:(x1)2y22取逆时针方向，则曲线积分

xdyydxC2(x2y2)

QPx2y2x2y2yx22

解 P Q 当x+y0时0 xy2(x2y2)22(x2y2)22(x2y2)2(x2y2) 在L内作逆时针方向的小圆周 l  xcos ysin(02) 在以L和l为边界的闭区域D上利用格林公式得

LlxQdy(PdDQP)dxdy0 即 xyLPdxQdylPdxQdyPdxdy

lydxxdyydxxdy22sin22cos212d d因此 0L2(x2y2)l2(x2y2)2220例3. 证明：

Ledxxdy2y2，其中L是4x2y28x正向一周。(07)

解：因曲线为封闭曲线，P,Q满足Green公式条件，从而直接应用Green公式有：

QPy2y2)dxdy(12ye)dxdy＝dxdy2yedxdy＝120＝2 原式＝(xyDDDD22例4.设L为圆周(x1)(y4)9，取顺时针方向，则(y2x)dx(3xy)dy（ B ）（05）

L (A) 18；(B) 18；(C) 36；(D) 36 例5. 计算曲线积分

eLxsiny8ydxexcosy8dy，其中L是由点A（a，0）到点O（0，0）的

上半圆周 x2y2axx(y0,a0)（02）

Qxexcosy8，得到QP8 ，由格林公式

xy解：这里Pxesiny8y,ILOAOAQP2 dxdy8dxdy0axyDOAD例6. 计算曲线积分

cy(12x)dx(x22xy2)dy，其中C是由x2y22x的上半圆周由点A

（2，0）到点B（0，0）的弧段。（06）

3

QP解：加补直线段BA，则记其所围成区域为D。显然， , AB与BA构成封闭曲线的正向，

xy在D内具有一阶连续偏导数，由格林公式有：

ABBAy(12x)dx(x22xy2)dy[(2x2)(2x1)]dxdydxdyDD2

在BA上，y0 , dy0，因此 故

BAy(12x)dx(x22xy2)dy0

ABy(12x)dx(x22xy2)dy202

五、曲线积分与路径无关的等价条件 例1. 计算曲线积分

L(x2y)dxxsin2ydy，其中L是在圆周y2xx2上由点O（0，0）

到点A（1，1）的一段弧 解：这里Pxxy,2Qx(xsin2y)，得到QP ，故积分与路径无关

xyL(x2y)dxxsin2ydy=x2dx(1sin2y)dy0011sin27 462232y(3xy8xy)dx(x8xy12ye)dy在整个xoy面内为某一函数u(x,y)的全微分，并求例2. 验证

出这样一个u(x,y)。（04）

2232y解: 这里P3xy8xy ，Qx8xy12ye则

QP 3x216xy=xy 因为

PQ,所以PdxQdy在整个xoy面内为某一函数u(x,y)的全微分. yx 且u(x,y)(x,y)(0,0)PdxQdy0dx(x38x2y12yey)dy

00yy12ey]0x3y4x2y212yey12ey12

xy322 [xy4xy12ye例3. 验证下列曲线积分与路径无关，再求积分值

(2,1)(1,0)(2xyy43)dx(x24xy3)dy（03）

PQ2x4y3

yx解： P2xyy43 Qx24xy3 显然P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 并且所以在整个xOy面内积分与路径无关 选取路径为从(1 0)(1 2)(2 1)的折线 则

(1, 0)(2, 1)(2xyy43)dx(x24xy3)dy(14y3)dy2(x1)dx5

0112例4. 证明曲线积分(1,1)关，并计算积分值（05）

(,)(sinxcosx1yx)xdxcosx1xdy与路径无

4

解：因为

QPxysinxcosx1xx，所以积分与路径无关。取路径yx，

得积分=sinxdx1cos1

1例5.已知axy3y2cosxdx1bysinx3x2y2dy为某二元函数的全微分，则a和b的值分别为 ( C ). （02）

(A) –2和2

(B) –3和3 (C)2和–2 (D) 3和–3

例6．设F(x,y)可微，如果(A)

LF(x,y)(xdxydy)与路径无关，则F(x,y)应满足的条件为（D）；（04）

yFy(x,y)xFx(x,y)；(B)Fx(x,y)Fy(x,y)；(C)xFxx(x,y)yFyy(x,y)；

(D)xFy(x,y)yFx(x,y)

曲面积分

一、对面积的曲面积分 加根号

例1. 若为x2y2z2R2的外侧，且cos,cos,cos是其外法线向量的方向余弦，则

xcosycoszcosdS222xyz解：。(07)

xcosycoszcos1dSx2y2z2R2xdydzydzdxzdxdy1R23dVV1433R4R 23R例2. 设曲面是上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z0)，曲面1是曲面在第一卦限中的部分，则有( C )。 A．

xdS4xdS； B．1ydS4xdS； C．zdS4xdS； D．xyzdS412

11xyzdS。

解：函数x, y, xyz在上半球面x2 + y2 + z2 = a (z0)上分别关于x0或y0具有“奇函数”性质，而上半球面x2 + y2 + z2 = a2 (z0)关于x0或y0对称，故

xdS0、ydS0、

xyzdS0，而xdS0、11ydS0、

1xyzdS0。

另一方面，由对称性，

zdS4zdS4xdS4111ydS，故答案C的正确性。

例3. 计算曲面积分

(z2xxyz4（06） y)dS, 其中:为平面1在第一卦限中的部分。

2343解：：z42x4zz43y，显然 2 ,  . Dxy:0y3x,0x2。 3xy32zz dS1(2)(2dxdy)xy

1(22)4261(dxdy)dxdy 335

I(z2x44461461y)dS[(42xy)(2xy)]dxdydxdy＝461 33333DxyDxyx2y2被柱面x2 + y2 = 2ax所截得的有限部分。

例4．

(xyyzzx)dS, 其中曲面为锥面zD解法一：曲面：zx2y2在xoy坐标面上的投影区域D为：x2 + y2  2ax，1(zx)2(zy)2=2，

(xyyzzx)dS=(xyyx2y2xx2y2)2d

=2=22d2acos20(rcosrsinrsinrrcosr)rdr

221(cossinsincos)(2acos)4d

4=4a422(cos5sinsincos4cos5)d=4a422166424a。 =1515解法二：曲面：zx2y2在xoy坐标面上的投影区域D为：x2 + y2  2ax，1(zx)2(zy)2=2，

(xyyzzx)dS=D(xyyx2y2xx2y2)2d（D关于y0对称）

22acos=xDxy2222d2d20(rcosr)rdr

=4a42例5．

5(cos)d=4a422166424a。 =15152

2

2

2

(xyz)dS，其中曲面为球面x+ y+ z= a上z  h (0< h < a )的部分。

解：曲面的方程为z =ax2y2，其在xoy坐标面上的投影区域D为：x2 + y2  a2 – h2，

1(zx)2(zy)2=

aaDx2y2，

aax2y2d

=

(xyz)dS=

(xyax2y2)a(xy)a2x2y2Dd+

Dad

由积分区域和被积函数的对称性得所以

a(xy)a2x2y2Dd=0，且

Dad= a(a2 – h2)，

(xyz)dS= a(a2 – h2)。

二、对坐标的曲面积分 坐标 不加根号 例1．计算曲面积分

22zdxdyxdydzydzdx, 其中是柱面xy1被平面z0及z3所截得

的在第一卦限内的部分的前侧。(07)

解：由于曲面在xoy坐标面上的投影区域Dxy为0，所以

31zdxdy0；

曲面在yoz坐标面上的投影区域Dyz为0  y  1, 0  z  3, ; 4同理，曲面在xoz坐标面上的投影区域Dxz为0  x  1, 0  z  3,

xdydz=

Dyz1y2dydz=

0dz01y2dy=3ydxdz=

Dxz1x2dxdz=dz03101x2dx=34;

6

故，

zdxdyxdydzydzdx=2〃34=

3。 22222例2. 计算曲面积分

x2y2zdxdy, 其中是球面xyzR的下半部分的下侧。

解 的方程为zR2x2y2 Dxy x2y2R 于是

x2y2zdxdyx2y2(R2x2y2)dxdydr2cos2r2sinR2r2rdr

2RDxy002R12 sin2dR2r2r5dr2R7

010540三*、两类曲面积分之间的联系 例：计算

f(x,y,z)xdydz2f(x,y,z)ydzdxf(x,y,z)zdxdy，其中f(x,y,z)为连续

函数，是平面xyz1在第四卦限部分的上侧.

解：曲面可表示为z1xy  (x y)Dxy{(x y)|0x1 0yx1}

上侧的法向量为n(1 1 1) 单位法向量为 (cos, cos, cos)(1, 1, 1)

333由两类曲面积分之间的联系可得

z[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy [f(x,y,z)x]dyd [(fx)cos(2fy)cos(fz)cos]dS

 (fx)1(2fy)(1)(fz)1]dS

333 1(xyz)dS1dSdxdy1

233Dxy四、高斯公式 例1. 计算

3xzdydz2yzdzdxz2dxdy，其中为由zx2y2与z2x2y2所围立体

的表面外侧.（04）

x2y21解： 求交线的投影 由高斯公式

z0原式=3例2.

zdv =3drdr002212r2r3zdz =

2(2xyyz)dxdyxz2dydz(x2yz3)dzdx其中，:为上半球面za2x2y2的上

侧。(05)

7

2解: :z0，由高斯公式:

(xyz)dv=ddr2r2sindr

2220002a2a =2sindrdr=2004152522aa 又0，原积分a5a5 5555R2x2y2的上侧。（03）

例3. 求曲面积分

zdxdyxdydzydzdx其中，:为上半球面z解 设1为xOy面上圆域x2y2R2的下侧 为由与1所围成的空间区域 则由高斯公式得

xdydzydzdxzdxdy(PxQyRz)dv3dv3(23R3)2R3

1而

xdydzydzdxzdxdyzdxdy0dxdy00

11Dxy所以

xdydzydzdxzdxdy2R303 2R五*、斯托克斯公式 计算

3ydxxzdyyz2dz,

其中 是圆周x2 + y2 = 2z, z = 2, 若从z轴正向看去, 这圆周是逆时针方向。解：这里P = 3y, Q = –xz, R n= yz2, 取平面z = 2上由闭曲线所围的曲面为, 并取上侧,

0,01，所以cos0,cos0,cos1 coscoscos则由Stokes公式得 3ydxxzdyyz2dz=xyzdS 3yxzyz2=(z3)dS5dS –5〃4 = –20



8