中考数学中关于动点的最值问题

中考数学中关子动点的■值问墨　江苏兴化市楚水实验学校　２２５７００　邓昌滨　在平面几何问题中，当某点在给定条件运动　时，求某几何量的最大值或最小值问题，即最值问　题．这类题综合性强，能力要求　它能全面的考　查学生的实践操作能力、空间想象能力以及分析问　题和解决问题的能力，对培养学生的思维品质和各　种能力有更大的促进作用，本文仅以２００８年江苏中　考压轴题为例进行分析，供参考．　１　利用函数的性质求最值　例ｌ（２００８年连云　港）如图１，现有两块全等　的直角三角形纸板Ｉ、Ⅱ，　它们两直角边的长分别为　１和２．将它们分别放置于　平面直角坐标系中的　ＡＡＯＢ，ＡＣＯＤ处，直角边　ＯＢ，ＯＤ在　轴上．一直尺　从上方紧靠两纸板放置，　图１　让纸板Ｉ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ｉ移动至　ＡＰＥＦ处时，设ＰＥ，ＰＦ与ＯＣ分别交于点Ｍ，Ⅳ，与　轴分别交于点Ｇ，Ｈ　（１）求直线ＡＣ所对应的函数关系式；　（２）当点Ｐ是线段ＡＣ（端点除外）上的动点时，　试探究：①点　到　轴的距离ｈ与线段ＢＨ的长是否　总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的　阴影部分）的面积ｓ是否存在最大值？若存在，求出　这个最大值及ｓ取最大值时点Ｐ的坐标；若不存在，　请说明理由．　解　（１）由直角三角形纸板的两直角边的长为　１和２，知Ａ，Ｃ两点的坐标分别为（１，２），（２，１）．易　得直线ＡＣ所对应的函数关系式为Ｙ＝一　＋３．　（２）①点肘到　轴的距离ｈ与线段ＢＨ的长总相　等．因为点ｃ的坐标为（２，１），所以，直线ＯＣ所对应　１　的函数关系式为Ｙ：÷　．又因为点Ｐ在直线ＡＣ上，　‘　二　所以可设点Ｐ的坐标为（ｎ，３一ａ）．过点　作　轴的　垂线，设垂足为点　，则有ＭＫ＝ｈ．因为点　在直线　ＯＣ上，所以有　（２ｈ，ｈ）．因为纸板为平行移动，易　得ＲｔＡＰＨＧ，ｉ，ＡＲｔＡＰＦＥ，有丽ＧＨ＝　ＥＦ＝　Ｉ．故伽　＝＋Ｐ－＝÷（３一口）．所以ＯＧ：ＯＨ—ｃ日＝口一　专（３—８）＝寻（口一１）．故Ｇ点坐标为（寻（。　１），　０）．又点Ｐ的坐标为（口，３一ａ），可得直线ＰＧ所对的　函数关系式为Ｙ＝２ｘ＋（３—３ａ）．将点　的坐标代　入，得ｈ＝４ｈ＋（３—３口）．解得ｈ＝ａ—Ｉ．而ＢＨ＝　ＯＨ—ＯＢ＝ａ一１，从而总有ｈ＝ＢＨ．　②由①知，点Ｍ的坐标为（２ａ一２，ａ一１），点Ⅳ　的坐标为（。，÷口）．　Ｓ：Ｓ△０　Ⅳ一Ｓ△０　ｃ＝＋Ｎｎ×ＯＨ一＋ｏＧ　ｘ　ｈ＝　÷××　ｎ×。一　。×。一　×　×Ｔ　××（　ａ－）＝一１　）　一　　口１口２‘＋丢口＋　口　一寻＝一号（。一吾）　＋詈．当口：丢时，　有最大　值，最大值为詈．　Ｓ取最大值时点Ｐ的坐标为（÷，导）．　评注　解此类题的关键是分析运动变化的过　程，用点Ｐ的横坐标ａ的代数式表示描述点的运动　过程，把动点视为静点参与运算，列出关于ａ的函数　关系式，证明线段相等，再根据二次函数的增减性求　得最值问题．　２　利用轴对称变换求最值　例２（２００８年南通）如图２，　Ｄ　四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＣＤ，／＿ＤＡＢ　＝／＿ＡＣＢ＝９０。，过点Ｄ作ＤＥ上　ＡＣ，垂足为Ｆ，ＤＥ与ＡＢ相交于点　Ｅ．　（１）求证：ＡＢ・ＡＦ＝∞・　ＣＤ；　图２　（２）已知ＡＢ＝１５ｃｍ，ＢＣ＝　９ｃｍ，Ｐ是射线ＤＥ上的动点．设ＤＰ＝ｘｃｍ（ｘ＞０），　四边形ＢＣＤＰ的面积为ｙｃｍ　．　①求Ｙ关于　的函数的关系式；　②当　为何值时，ＡＰＢＣ的周长最小，并求出此　时Ｙ的值．　证明　（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＤＥ上ＡＣ，所以ＤＥ　探究１　在旋转过程中：　（１）如图３－２，当　＝ｌ时，　Ｐ与ＥＱ满足怎样　的数量关系？并给出证明．　垂直平分ＡＣ，所以ＡＦ：ＣＦ，／＿ＤＦＡ＝　ＤＦＣ＝　９０。，／ＤＡＦ：／＿ＤＣＦ．因为　ＤＡＢ＝　ＤＡＦ＋　ＣＡＢ＝９０。，／ＣＡＢ＋　Ｂ＝９０。，所以　ＤＣＦ：　／＿ＤＡＦ＝　Ｂ，易得ＡＤＣＦ　ＡＡＢＣ，所以　ＣＤ＝　ｒｃ即　ＣＤ＝　．∞，所以ＡＢ・ＡＦ＝ＣＢ・ｃＤ．　解　（２）①因为ＡＢ＝１５，ＢＣ＝９，／ＡＣＢ＝　９ｏ。，所以Ａｃ＝，ｌＡＢ２—８ｃ　＝￣／ｌ５　一９　＝１２，所　以ＣＦ＝Ａ，＝６，所以Ｙ＝　，ｔＩ　（　＋９）×６＝３ｘ＋２７（　＞０　．　②因为ＢＣ：９（定值），所以ＡＰＢＣ的周长最　小，就是ＰＢ＋ＰＣ最小．由（１）可知，点Ｃ关于直线　ＤＥ的对称点是点　，所以ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＢ＋　，故只　要求ＰＢ＋　最小．显然当Ｐ、Ａ、Ｂ三点共线时ＰＢ＋　最小．此时ＤＰ＝ＤＥ，Ｐ日＋ＰＡ＝ＡＢ．由（１），　／＿ＡＤＦ＝　ＦＡＥ，　ＤＦＡ＝／ＡＣＢ＝９０。，得△ＤＡＦ　—ＡＡＢＣ．ＥＦ∥ＢＣ，得Ａ　：ＢＥ：　：　，ＥＦ　＝÷，所以　Ｆ：ＢＣ＝ＡＤ：ＡＢ，即６：９＝ＡＤ：１５，　所以ＡＤ＝１０．ｔｉｔＡＡＤＦ中，ＡＤ＝１０，ＡＦ＝６，所以　ＤＦ：８．所以ＤＥ：ＤＦ＋ＦＥ：８＋　９：２　５．　所以当　＝　时，ＡＰＢＣ的周长最小，此时Ｙ＝　１２９　丁‘　评注　本题可转化为直线上一点到直线同侧　两点的距离和最小问题，一般我们先用“对称”的方　法化成两点之间的最短距离问题，然后根据“两点　之间的线段最短”，从而找到所需的最短路线．　３　利用动点的范围求最值　例３　（２００８年徐州）如图３．１，一副直角三角板　满足ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ＝ＤＥ，／＿ＡＢＣ＝／＿ＤＥＦ＝９０。，　ＥＤＦ＝３０ｏ．　操作　将三角板ＤＥＦ的直角顶点Ｅ放置于三　角板ＡＢＣ的斜边ＡＣ上，再将三角板ＤＥＦ绕点Ｅ旋　转，并使边ＤＥ与边ＡＢ交于点Ｐ，边ＥＦ与边ＢＣ交于　点ｐ．　（２）如图３－３，当　ＣＥ＝２时，ＥＰ与ＥＱ满足怎样　的数量关系？并说明理由．　（３）根据你对（１）、（２）的探究结果，试写出当　Ｃ丽Ｅ＝ｍ时，ＥＰ与ＥＱ满足的数量关系式为——，　其中ｍ的取值范围是——（直接写出结论，不必　证明）．　图３－１　图３－２　图３—３　探究２若　＝２，ＡＣ＝３０ｅｍ，连结ＰＱ，设　ＡＥＰｑ的面积为Ｓ（ｅｍ　），在旋转过程中：　（１）Ｓ是否存在最大值或最小值？若存在，求出　最大值或最小值，若不存在，说明理由．　（２）随着Ｓ取不同的值，对应ＡＥＰＱ的个数有　哪些变化？求出相应Ｓ的取值范围．　解　探究１　（１）作ＥＭ上ＡＢ于点　，作ＥＮ上ＢＣ于点Ⅳ，　连结ＢＥ，因为／＿ＡＢＣ＝９０。，所以　ＭＥＮ＝９０。．因　为ＡＢ＝ＢＣ，ＣＥ＝ＥＡ，所以ＢＥ为／＿ＡＢＣ的平分线，　所以ＥＭ＝ＥＮ．①若点Ｍ、Ｐ重合，显然ＥＪＰ＝Ｅｐ．　②若点Ｍ、Ｐ不重合，因为／ＭＥＰ：　ⅣＥＱ＝９０。一　／＿ＰＥＮ，所以Ｒｔ／ｘＥＭＰ　ｌｉｔ／ＸＥＮＱ．所以ＥＰ＝　ＥＱ．　（２）作ＥＭ上ＡＢ于点　，作ＥＮ上ＢＣ于点Ⅳ，　因为／＿ＡＢＣ＝９０。，所以ＥＭ∥ＢＣ，所以ＡＥＭＰ一　／ＸＥＮＯ，所以丽ＥＭ＝　＝了１同理　ＥＮ＝．了２．因为　ＡＢ＝　ｃ，所以丽ＥＭ＝　１①若点　、Ｐ重合，一…，　ＥＰ　．１＝　＝　．②若点　、尸不重合，因为　＝　ⅣＥＱ＝９０。一／ＰＥＮ，所以ＡＥＭＰ一△Ｅ．ＪｖＱ，所　以器＝Ｅｐ一　＝一　一ＥＮ　２　。钥１　．综上，、ｊ一’　ＥＰ＝Ｄ一２　１　（３）由上可侍　ＥＰ＝　１，ｉ￣ＥＦ：　，则。Ｅ＝ＡＣ　４７　盔貂　髡孚　舅　笔　２　中学数学杂志２００８年第ｌ０期　＝　，当Ｅ在边Ａｃ上由Ｃ向Ａ移动时，要确保ＥＦ　一　，所以　个，当Ｓ：５０或６２．５＜Ｓ≤７５时，对应ＡＥＰＱ有１　个．　与ＢＣ有交点Ｑ，ＥＱ最大时，ＥＱ上Ｂｃ，此时ＥＱ＝　ＥＦ＝　，ＥＣ＝４Ｙｘ，ＥＡ＝ＡＣ—Ｅｃ＝　此时ｍ＝　ＣＥ＝　４Ｙ。　二＿ｘ　＝√石＋２，故。＜　≤２　。圆　Ｓ＝７５时　＋　．　探究２　Ｓ＝５０时　Ｓ＝６２．５时　图３４　图３－５　图３－６　（１）设ＥＱ＝　则．ｓ　Ｑ＝　＝　，Ｐ・ＥＱ：ＥＱ　评注　本题以学生熟悉的三角板为背景，通过　学生观察、动手操作、猜想、验证等数学活动过程，激　其中１０　≤　≤１０　故如图３－６，当　＝　发了学生的学习兴趣，此题的关键是将所求问题转　ＥＮ＝１０　ｃｍ时，Ｓ△　０取得最小值５０ｃｍ。；如图　化为动点Ｑ在ＢＣ上时ＥＱ的最值问题，渗透了化　归、分类、数形结合、特殊化诸多数学思想方法，全面　考查了学生的空间想象能力，几何变换，探索问题和　解决问题的能力．　３－５，当　＝ＥＦ＝１０，３－ｃｍ时，５△　。取得最大值　７５ｃｍ　．　（２）如图３－５，当　＝ＥＢ：５　ｌ０ｃｍ时，Ｓ△　ｏ＝　６２．５ｃｍ　；故当５０＜Ｓ≤６２．５时，对应ＡＥＰＱ有２　立意新　设计巧　——－２ｏｏ８年安徽省中考数学压轴题赏析　２４６５０１　王元凯　安徽省宿松县实验中学　２００８年安徽省中考数学试卷的最后一道压轴　题是这样的：　刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一　分队立即出发赶往３０千米外的Ａ镇；二分队因疲劳　【日）　（６）　【ｃ）　可在营地休息Ｄ（０≤０≤３）小时再赶往Ａ镇参加救　灾．　一分队出发后得知，唯一通往Ａ镇的道路在离　营地１０千米处发生塌方，塌方处地形复杂，必须由　一１　分析与解　分析　解决第（１）问的关键是考虑二分队在　行进过程中是否在塌方处受阻，若受阻则应计算出　停留时间；解决第（２）问须结合题意进行分类讨论，　分队用１小时打通道路．已知一分队的行进速度　为５千米／时，二分队的行进速度为（４＋ｏ）千米／　时　并能准确理解字母。的含义：解决第（３）个问题的　关键是能看出图象的变化趋势，准确理解图像上每　段的起点、终点在情境中的实际意义，并能对图象　（１）若二分队在营地不休息，问二分队几个小　时能赶到Ａ镇？　（２）若需要二分队和一分队同时赶到　镇，二　分队应在营地休息几个小时？　①和图象②进行对照比较，从而找出可能合理的图　象的代号．　（３）下列图象中，①②分别描述一分队和二分　队离Ａ镇的距离Ｙ（千米）和时间　（小时）的函数关　解　（１）若二分队在营地不休息，则ｎ＝０，速　１ｎ　度为４千米／时，行至塌方处需　＝２．５（小时），因　ｑｌ＂　１ｎ　系，请写出你认为所有可能合理图象的代号，并说明　它们的实际意义．　为一分队到塌方处并打通道路需要　＋１＝３（小　Ｊ　时），故二分队在塌方处需停留０．５小时，所以二分