向量长度计算公式及中点公式

（2）掌握线段中点的坐标公式；

教学重点：线段中点的坐标公式 教学难点：公式的理解及应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：

一、复习引入：

平面向量的坐标运算:若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则

ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y) uuur若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1,y2y1).

二、讲解新课：

1.平面向量长度的计算公式的推导： 如图,已知axe1ye2(x,y)，则

vrrrrrrxe1xe1x, ye1ye212y,

xyx2y2,

vv上式即为根据向量a的坐标,求向量a的长度的计算公式,简称向量长度的计算公式.

由勾股定理得,a如果已知A(x1,y1),B(x2,y2),则有向量

v22uuuruuuruuurABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)

uuur所以,AB(x2x1)2(y2y1)2.

uuuruuur上式即为根据向量AB的坐标,求向量AB的长度的计算公式,也称为向量长度的计算

公式,又称为两点间的距离公式. 2.线段中点的坐标公式的推导：

方法一:设线段AB的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点C(x,y),则

uuuruuuruuurACOCOA(x,y)(x1,y1)(xx1,yy1), uuuruuuruuurCBOBOC(x2,y2)(x,y)(x2x,y2y),

uuuruuurxx1x2x又C为线段AB的中点,因此ACCB,于是,得

yyyy12xx1x2yy2,y1. 22这就是线段AB的中点C的坐标计算公式,简称中点公式.

uuur1uuuruuur方法二:如图,C为线段AB的中点,所以OC(OAOB),

2xx2y1y21换用坐标表示为(x,y)=[(x1,y1)+(x2,y2)]=(1,),

222xx2yy2即 x1,y1.

22三、讲解范例：

uuur例1已知两点A(3,5)，B(1,7)，求向量AB的长度.

uuuruuuruuuruuurQABOBOA=(1,7)(3,5)=(4,2),AB(4)2(2)225.

uuur得,AB(x2x1)2(y2y1)2(13)2[7(5)]225.

例2试证点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy的原点O中心对称. 证明:设线段AB的中点坐标为(x0,y0),根据中点公式有 (方法二)直接由公式

解: (方法一)

x0x(x)0,2y0y(y)0. 2即线段AB的中点坐标为(0,0),这表明线段AB的中点是平面直角坐标系Oxy的原点O,所以点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy的原点O中心对称.

例3已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D的坐标.

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解: (方法一) QODOAADOABCOAOCOB=(-1,-2)+(3,1)-(3,-1)=(-1,0),

∴D(-1,0).

uuuruuur(方法二) 设D(x,y),则AD=(x,y)- (-1,-2)=(x+1,y+2), BC=(3,1)-(3,-1)=(0,2),

ruuuruuu∵在平行四边形ABCD中,AD=BC, ∴(x+1,y+2)=(0,2), ∴x+1=0,y+2=2, ∴x=-1,y=0.

uuurr1321uuu3x1y(方法三) 设D(x,y),则AC的中点为(,),BD的中点为(,),

2222∴D(-1,0).

133x211y,∴x=-1,y=0. ∴D(-1,0). ,2222四、课堂练习:

1.已知平行四边形ABCD的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D的坐标. 2.已知A(-1,1)、B(0,-2)、C(3,0)、D(2,3),求证:四边形ABCD是平行四边形. 3.求下列各点关于坐标原点的对称点:

A(2,3),B(-3,5),C(-2,-4),D(3,-5). 五、小结:本节课的主要内容是: 1.平面向量长度的计算公式：

若a(x,y)，则avvx2y2；

uuur若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB(x2x1)2(y2y1)2.

2.线段中点的坐标公式：

若A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点C(x,y)的坐标公式为：

xx1x2yy2,y1. 22六、课后作业:P155练习6-3 T9-10.

七、板书设计: 向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式 1.平面向量长度的计算公式： 2.线段中点的坐标公式： 例1 例2 例3 八、课后记: