高中数学 随机变量及其分布列 版块二 几类典型的随机分布2完整讲义(学生版)

学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块二.几类典型的随机

分布2.学生版

知识内容

1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X,Y,表示．

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值xi与该取值对应的概率pi(i1,2,,n)列表表示：

X P x1 p1 x2 p2 „ „ xi pi „ „ xn pn 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．

2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

X 1 0 P p q 其中0p1，q1p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．

X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

nmCmMCNM(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)． P(Xm)CnN我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，

n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(Xm)，从而列出X的分布列． ⑶二项分布

1．独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复

试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为

knk(k0,1,2,,n)． Pn(k)Cknp(1p)2．二项分布

若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q1p，那么在n次独立重复试验

knk中，事件A恰好发生k次的概率是P(Xk)Ck，其中k0,1,2,,n．于是得到Xnpq的分布列 X P 0 0nC0npq 1 1n1 C1npq„ „ k knk Cknpq„ „ n n0Cnnpq 由于表中的第二行恰好是二项展0n11n1kn0(qp)nC0CnpkqnkCnnpqCnpqnpq

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作X~B(n,p)．

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 E(X)np，D(x)npq(q1p)．

开式

⑷正态分布

1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线．

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个数a，b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2．正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现y象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． x=μ服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)12πxR，其中，是参数，且0，．

式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为

e(x)222，

、标准差为的正态分布通常记作N(,)．

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论：

①正态变量在区间(,)，(2,2)，(3,3)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．

3)之外的取值的概率是)内的取值的概率为1，在区间(3，②正态变量在(，0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则．

x2Ox⑷若~N(，2)，f(x)为其概率密度函数，则称F(x)P(≤x)2f(t)dt为概率分布

x1t22edt为标准正态分布函数． 函数，特别的，~N(0，1)，称(x)2πxP(x)()．

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差 1．离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是x1，x2，„，xn，这些值对应的概率是p1，p2，„，pn，则E(x)x1p叫做这个离散型随机变量X1x2p2xnpn，的均值或数学期望（简称期望）．

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，„，xn，这些值对应的概率是p1，p2，„，pn，则D(X)(x1E(x))2p1(x2E(x))2p2(xnE(x))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． D(X)的算术平方根D(x)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变

量波动大小的量．

b为常数，则E(aXb)aE(X)b，3．X为随机变量，a，D(aXb)a2D(X)；

4． 典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．

⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)np，D(x)npq(q1p)．

M，n的超几何分布， ⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，n(Nn)(NM)MnM则E(X)，D(X)． 2N(N1)N

4．事件的独立性

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)P(B)，

这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．

如果事件A1，A2，„，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．

5．条件概率

对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”来表示．把由事件A与B的交（或积），记做DAB（或DAB）．

典例分析

【例1】 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新

球的个数的期望值是 ．

【例2】 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6题，规

定每次考试都从备选题中随机抽出5题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．

【例3】 以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女性委

员人数的概率分布、期望值与方差．

【例4】 在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取

的期望值及方出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，差．

【例5】 某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的期望

值．

【例6】 某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一张，

求孙儿获得钱数的期望值．

【例7】 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女

生的人数．

⑴ 求X的分布列；

⑵ 求X的数学期望与方差；

⑶ 求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．

【例8】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6

题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．

⑴ 求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差； ⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

【例9】 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得

27；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是． 59⑴若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，求得到白球的个数的数学期望；

7⑵求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋

10中哪种颜色的球个数最少．

到黑球的概率是