相交线和平行线经典题详解

一．选择题（共14小题）

1．下列说法中，正确的是（ ） A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角 有公共点，且又相等的角是对顶角 B． 两条直线相交所成的角是对顶角 C． D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（ ）

A．3个 C． 1个 D． 0个 3．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ） 10cm 4cm A．B． C． 10cm或4cm D． 至少4cm 4．如图，P为直线l外一点，A、B、C在l上，且PB⊥l，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．其中正确的个数是（ ）

B． 2个 A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 5．两条相交直线所成的角中（ ） A．必有一个钝角 B． 必有一个锐角 必有一个不是钝角 C．D． 必有两个锐角 6．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ） A．7个 B． 6个 C． 5个 D． 4个 7．如图两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）

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A．5个部分 B． 6个部分 C． 7个部分 D． 8个部分 8．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（ ） m=n m+n=10 A．B． m＞n C． m＜n D． 9．（2009•贺州）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（ ） 60° 120° A．B． C． 60°或90° D． 60°或120° 10．（2005•南通）用3根火柴棒最多能拼出（ ） A．4个直角 B． 8个直角 C． 12个直角 D． 16个直角 11．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（ ） 30° 150° 90° A．B． C． 30°或150° D． 12．如图，直角的个数为（ ）

4 6 8 10 A．B． C． D． 13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）

A．2条 B． 3条 C． 4条 D． 5条 14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别

是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（ ）个．

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A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 二．填空题（共6小题） 15．（2004•宿迁）一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 _________ 块．

16．如图：A、O、B在同一直线上，AB⊥OE，OC⊥OD，则图中互余的角共有 _________

对．

17．如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2= _________ 度，∠4= _________ 度．

18．图中有 _________ 对对顶角．

19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是 _________ ．

20．已知直线AB⊥CD于点O，且AO=5cm，BO=3cm，则线段AB的长为 _________ ．

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相交线和平行线经典题详解

参考答案与试题解析

一．选择题（共14小题）

1．下列说法中，正确的是（ ） A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角 有公共点，且又相等的角是对顶角 B． 两条直线相交所成的角是对顶角 C． D．角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角 考点： 对顶角、邻补角． 分析： 本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．由此逐一判断． 解答： 解：A、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误； B、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误； C、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误； D、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确． 故选D． 点评： 要根据对顶角的定义来判断，这是需要熟记的内容． 2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（ ）

A．3个 C． 1个 D． 0个 考点： 垂线；余角和补角． 分析： 由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个． 解答： 解：∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOE=∠DOF=90°， 即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1， ∴∠1=∠AOF， ∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°． ∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个． 故选A． 点评： 本题解决的关键是由已知联想到可以转化为求∠1和∠AOF的余角． B． 2个 4

3．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（ ） 10cm 4cm A．B． C． 10cm或4cm D． 至少4cm 考点： 点到直线的距离． 专题： 计算题． 分析： 应结合题意，分类画图．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可得线段AB的长度至少为4cm． 解答： 解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3=4cm，其它情况下大于4cm，故选D． 点评： 此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 4．如图，P为直线l外一点，A、B、C在l上，且PB⊥l，有下列说法：①PA，PB，PC三条线段中，PB最短；②线段PB的长叫做点P到直线l的距离；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段AC的长是点A到PC的距离．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 点到直线的距离；垂线段最短． 分析： 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知①对，根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”可知②，③对，④不对． 解答： 解：①PB为垂线段，长度最短，正确； ②线段PB的长叫做点P到直线l的距离，是定义，正确； ③线段AB的长是点A到PB的距离，符合点到直线距离的定义，正确； ④线段AC的长是点A到PC的距离，不符合点到直线距离的定义，错误． 故选C． 点评： 此题主要考查了垂线的两条性质：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．②从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 5．两条相交直线所成的角中（ ） A．必有一个钝角 B． 必有一个锐角 必有一个不是钝角 C．D． 必有两个锐角 考点： 角的计算；相交线． 分析： 本题涉及相交线知识考点，要注意垂直是相交的一种特殊情形． 解答： 解：当两条直线互相垂直时所成的角都是直角，所以A、B、D都不对． 5

若都是钝角，则圆周角超过360°， 故选C． 点评： 本题的关键是注意垂直相交，可以用排除法解决． 6．在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ） A．7个 B． 6个 C． 5个 D． 4个 考点： 相交线． 专题： 分类讨论． 分析： 在平面上画出4条直线，当这4条直线经过同一个点时，有1个交点；当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；当4条直线不经过同一点时，有6个交点．故可得出答案． 解答： 解：如图所示： ①当4条直线经过同一个点时， 有1个交点； ②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时， 有4个交点； ③当4条直线不经过同一点时， 有6个交点． 综上所述，4条直线相交最多有6个交点． 故选B． 点评： 此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验能力． 7．如图两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（ ）

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A．5个部分 B． 6个部分 C． 7个部分 D． 8个部分 考点： 相交线． 分析： 从图中看出，EF把它所在的位置左边分成3部分，而右边分成4部分，因为AB，CD为两条非平行的直线，所以还有一个封闭的部分，因此共有7部分． 解答： 解：因为直线是向两方无限延伸的所以应是7部分； 故选C． 点评： 本题主要考查一条直线可以把平面分成两部分的特点，但是3条直线就可以有一个封闭部分． 8．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（ ） m=n m+n=10 A．B． m＞n C． m＜n D． 考点： 对顶角、邻补角． 分析： 三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n． 解答： 解：因为三条直线两两相交与是否交于同一点无关，所以m=n，故选A． 点评： 直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关． 9．（2009•贺州）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（ ） 60° 120° A．B． C． 60°或90° D． 60°或120° 考点： 垂线． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 此题可分两种情况，即OC，OD在AB的一边时和在AB的两边，分别求解． 解答： 解：①当OC、OD在AB的一旁时， ∵OC⊥OD，∠COD=90°，∠AOC=30°， ∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=60°； ②当OC、OD在AB的两旁时， ∵OC⊥OD，∠AOC=30°， ∴∠AOD=60°， ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=120°． 故选D． 7

点评： 此题主要考查了直角、平角的定义，注意分两种情况分析． 10．（2005•南通）用3根火柴棒最多能拼出（ ） A．4个直角 B． 8个直角 C． 12个直角 D． 16个直角 考点： 垂线． 专题： 操作型． 分析： 当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时，可拼出“三线十二角”，十二个角都是直角． 解答： 解：如图所示，当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时， 可构成12个直角． 故选C． 点评： 注意：本题容易忽略空间中的情况，是易错题．本题锻炼了学生思维的严密性和动手操作能力． 11．已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC的度数为（ ） 30° 150° 90° A．B． C． 30°或150° D． 考点： 垂线． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解． 解答： 解：∵OA⊥OC， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOB：∠AOC=2：3， ∴∠AOB=60°． 因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外． ①当在∠AOC内时，∠BOC=90°﹣60°=30°； ②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°． 故选C． 8

点评： 此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形． 12．如图，直角的个数为（ ）

4 A． 6 B． 8 C． 10 D． 考点： 垂线． 分析： 四对对顶角都是直角，就是8个，再加上两个，共10个，应从四个顶点处，分别记数． 解答： 解：左下角和右上角的两条互相垂直的直线，就有8个直角，加上右下角和左上角的两个直角，共10个，故选D． 点评： 本题的关键是思维细密，找全不可遗漏． 13．如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）

A．2条 B． 3条 C． 4条 D． 5条 考点： 点到直线的距离． 分析： 本题图形中共有6条线段，即：AC、BC、CD、AD、BD、AB，其中线段AB的两个端点处没有垂足，不能表示点到直线的距离，其它都可以． 解答： 解：表示点C到直线AB的距离的线段为CD； 表示点B到直线AC的距离的线段为BC； 表示点A到直线BC的距离的线段为AC； 表示点A到直线DC的距离的线段为AD； 表示点B到直线DC的距离的线段为BD． 故选D． 点评： 利用点到直线的距离的概念求解． 9

14．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（ ）个．

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 点到直线的距离． 专题： 新定义． 分析： 到l1距离为2的直线有2条，到l2距离为3的直线有2条，这4条直线有4个交点，这4个交点就是“距离坐标”是（2，1）的点． 解答： 解：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1，l2的距离分别是2，1的点，即距离坐标是（2，1）的点，因而共有4个． 故选D． 点评： 本题用到的知识点为：到一条已知直线距离为定值的直线有两条． 二．填空题（共6小题） 15．（2004•宿迁）一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成 8 块． 考点： 相交线． 专题： 规律型． 3分析： 一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成2=8块． 解答： 解：长方体橡皮可以想象为立体图形，第一次最多切2块，第二次在第一次的基础上增加2倍，第三次在第二次的基础上又增加2倍，故最多能被分成8块． 点评： 本题考查了学生的空间想象能力，分清如何分得到的块数最多是解决本题的关键． 16．如图：A、O、B在同一直线上，AB⊥OE，OC⊥OD，则图中互余的角共有 4 对．

考点： 垂线． 分析： 互余的角满足条件是两个角之和等于90°，结合图形找出符合条件的角． 解答： 解：由已知条件得，∠AOE=∠BOE=∠DOC=90°， ∴∠BOD+∠DOE=90°，∠DOE+∠COE=90°，∠COE+∠AOC=90°， ∴∠DOE=∠AOC， ∴∠BOD+∠AOC=90°， ∴互余的角共有四对． 点评： 相邻的三对比较好找，第四对要利用同角的余角相等求出，注意不要遗漏． 10

17．如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOD，FO⊥OD于O，∠1=40°，则∠2= 50 度，∠4= 65 度．

考点： 垂线． 专题： 计算题． 分析： 根据垂直和角平分线的定义，以及对顶角相等、邻补角的性质求解即可． 解答： 解：∵FO⊥OD于O，∠1=40°， ∴∠BOD=50°， 根据对顶角相等，得∠2=50°， ∴∠AOD=130°， 又OE平分∠AOD， ∴∠4=65°． 点评： 解答此题要理解垂直的概念以及角平分线的概念，运用对顶角相等、邻补角互补的性质． 18．图中有 12 对对顶角．

考点： 对顶角、邻补角． 专题： 几何图形问题． 分析： 根据图形，先找出单个的角组成的对顶角是4对，再找出两个角组成一个角而组成的对顶角是4对，三个角组成一个角组成的对顶角是4对，最后加在一起即可． 解答： 解：如图，单个角组成的对顶角有4对， 两个角看做一个角组成的对顶角有4对， 三个角看做一个角组成的对顶角有4对， 所以对顶角共有4×3=12对． 故应填12． 点评： 本题是规律探寻题，按顺序找出各自情况的对顶角的对数是正确解题的关键． 19．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是 60°或120° ．

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考点： 垂线． 专题： 分类讨论． 分析： 先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD与∠AOC=30°，计算∠BOD的度数． 解答： 解：当OC、OD在直线AB同侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC=30°； ∴∠BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=180°﹣90°﹣30°=60°； 当OC、OD在直线AB异侧时，如图： ∵OC⊥OD，∠AOC=30°； ∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣（∠DOC﹣∠AOC）=180°﹣（90°﹣30°）=120°． 点评： 解答此类问题时，要注意对不同的情况进行讨论，避免出现漏解． 20．已知直线AB⊥CD于点O，且AO=5cm，BO=3cm，则线段AB的长为 2cm或8cm ． 考点： 垂线． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 考虑点O在线段AB内、外两种情况进行解答． 解答： 解：当点O在线段AB内时，AB=AO+BO=5cm+3cm=8cm， 当点O在线段AB外时，AB=AO﹣BO=5cm﹣3cm=2cm． 点评： 一定要考虑点O与线段AB的位置关系，防止产生漏解．

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