等腰三角形
一、选择题
1. ( 2021•广东 ,第9题3分 )一个等腰三角形的两边长分别是3和7 ,那么它的周长为 ( ) A． 1 7
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底 ,故需分： (1 )当等腰三角形的腰为3； (2 )当等
腰三角形的腰为7；两种情况讨论 ,从而得到其周长．
解答： 解：①当等腰三角形的腰为3 ,底为7时 ,3 +3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7 ,底为3时 ,周长为3 +7 +7 =17． 故这个等腰三角形的周长是17． 应选A．
点评： 此题考查的是等腰三角形的性质 ,在解答此题时要注意进行分类讨论．
2. ( 2021•广西玉林市、防城港市 ,第10题3分 )在等腰△ABC中 ,AB =AC ,其周长为20cm ,那么AB边的取值范围是 ( ) A． 1 cm＜AB＜4cm
考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．
分析：设AB =AC =x ,那么BC =20﹣2x ,根据三角形的三边关系即可得出结论． 解答：解：∵在等腰△ABC中 ,AB =AC ,其周长为20cm ,
∴设AB =AC =xcm ,那么BC = (20﹣2x )cm , ∴
,
B． 5cm＜AB＜10cm C． 4cm＜AB＜8cm
D． 4cm＜AB＜10cm
B． 15
C． 13
D． 13或17
解得5cm＜x＜10cm． 应选B．
点评：此题考查的是等腰三角形的性质 ,熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．
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3． (2021·浙江金华 ,第8题4分 )如图 ,将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90° ,得到△A′B′C ,连结AA′ ,假设∠1 =20° ,那么∠B的度数是【 】
A．70° B．65° C．60° D．55° 【答案】B． 【解析】
4. (2021•扬州 ,第7题 ,3分 )如图 ,∠AOB =60° ,点P在边OA上 ,OP =12 ,点M ,N在边OB上 ,PM =PN ,假设MN =2 ,那么OM = ( )
(第1题图 )
A． 3
考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质
分析：过P作PD⊥OB ,交OB于点D ,在直角三角形POD中 ,利用锐角三角函数定义求出
B． 4
C． 5
D． 6
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OD的长 ,再由PM =PN ,利用三线合一得到D为MN中点 ,根据MN求出MD的长 ,由OD﹣MD即可求出OM的长． 解答：解：过P作PD⊥OB ,交OB于点D ,
在Rt△OPD中 ,cos60° =∴OD =6 ,
∵PM =PN ,PD⊥MN ,MN =2 , ∴MD =ND =MN =1 , ∴OM =OD﹣MD =6﹣1 =5． 应选C．
= ,OP =12 ,
点评：此题考查了含30度直角三角形的性质 ,等腰三角形的性质 ,熟练掌握直角三角形的性
质是解此题的关键． 二.填空题
1. ( 2021•广东 ,第16题4分 )如图 ,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′ ,假设∠BAC =90° ,AB =AC =
,那么图中阴影局部的面积等于
﹣1 ．
考点： 旋转的性质．
分析： 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出AD =BC =1 ,AF =FC′
=
AC′ =1 ,进而求出阴影局部的面积．
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解答： 解：∵△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△A′B′C′ ,∠BAC =90° ,AB =AC =
∴BC =2 ,∠C =∠B =∠CAC′ =∠C′ =45° , ∴AD⊥BC ,B′C′⊥AB , ∴AD =BC =1 ,AF =FC′ =
AC′ =1 ,
﹣1 )2 =
,
∴图中阴影局部的面积等于：S△AFC′﹣S△DEC′ =×1×1﹣× (故答案为：
﹣1．
﹣1．
点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识 ,得出AD ,AF ,DC′的
长是解题关键．
2. ( 2021•珠海 ,第10题4分 )如图 ,在等腰Rt△OAA1中 ,∠OAA1 =90° ,OA =1 ,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2 ,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3 ,…那么OA4的长度为 8 ．
考点：等腰直角三角形 专题：规律型．
分析：利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长 ,进而得出答案． 解答：解：∵△OAA1为等腰直角三角形 ,OA =1 ,
∴AA1 =OA =1 ,OA1 =
OA =
；
∵△OA1A2为等腰直角三角形 , ∴A1A2 =OA1 =
,OA2 =
OA1 =2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形 , ∴A2A3 =OA2 =2 ,OA3 =
OA2 =2
；
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∵△OA3A4为等腰直角三角形 , ∴A3A4 =OA3 =2故答案为：8．
点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理 ,熟练应用勾股定理得出是解题
关键．
3. ( 2021•广西贺州 ,第17题3分 )如图 ,等腰△ABC中 ,AB =AC ,∠DBC =15° ,AB的垂直平分线MN交AC于点D ,那么∠A的度数是 50° ．
,OA4 =
OA3 =8．
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD =BD ,根据等边对等角可得
∠A =∠ABD ,然后表示出∠ABC ,再根据等腰三角形两底角相等可得∠C =∠ABC ,然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 解答：解：∵MN是AB的垂直平分线 ,
∴AD =BD , ∴∠A =∠ABD , ∵∠DBC =15° , ∴∠ABC =∠A +15° , ∵AB =AC ,
∴∠C =∠ABC =∠A +15° , ∴∠A +∠A +15° +∠A +15° =180° , 解得∠A =50°． 故答案为：50°．
点评：此题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质 ,等腰三角形的性质 ,
熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角 ,然后列出方程是解题的关键．
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4．(2021年天津市 ,第17 题3分)如图 ,在Rt△ABC中 ,D ,E为斜边AB上的两个点 ,且BD =BC ,AE =AC ,那么∠DCE的大小为 45 (度 )．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 设∠DCE =x ,∠ACD =y ,那么∠ACE =x +y ,∠BCE =90°﹣∠ACE =90°﹣x﹣y ,根据等边对等角得出∠ACE =∠AEC =x +y ,∠BDC =∠BCD =∠BCE +∠DCE =90°﹣y．然后在△DCE中 ,利用三角形内角和定理列出方程x + (90°﹣y ) + (x +y ) =180° ,解方程即可求出∠DCE的大小．
解答： 解：设∠DCE =x ,∠ACD =y ,那么∠ACE =x +y ,∠BCE =90°﹣∠ACE =90°﹣x﹣y． ∵AE =AC ,
∴∠ACE =∠AEC =x +y , ∵BD =BC ,
∴∠BDC =∠BCD =∠BCE +∠DCE =90°﹣x﹣y +x =90°﹣y． 在△DCE中 ,∵∠DCE +∠CDE +∠DEC =180° , ∴x + (90°﹣y ) + (x +y ) =180° , 解得x =45° , ∴∠DCE =45°． 故答案为45．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理 ,设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
5． (2021•新疆 ,第12题5分 )如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,∠A =40° ,点D在AC上 ,BD =BC ,那么∠ABD的度数是 ．
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考点： 等腰三角形的性质． 分析： 根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC =∠C ,再求出∠CBD ,然后根据∠ABD =∠ABC﹣∠CBD代入数据计算即可得解． 解答： 解：∵AB =AC ,∠A =40° , ∴∠ABC =∠C = (180°﹣40° ) =70° , ∵BD =BC , ∴∠CBD =180°﹣70°×2 =40° , ∴∠ABD =∠ABC﹣∠CBD =70°﹣40° =30°． 故答案为：30． 点评： 此题考查了等腰三角形两底角相等的性质 ,三角形的内角和定理 ,熟记性质并准确识图是解题的关键．
6． (2021年云南省 ,第13题3分 )如图 ,在等腰△ABC中 ,AB =AC ,∠A =36° ,BD⊥AC于点D ,那么∠CBD = 18° ．
考点： 等腰三角形的性质．
分析： 根据可求得两底角的度数 ,再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数． 解答： 解：∵AB =AC ,∠A =36° ,
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∴∠ABC =∠ACB =72°． ∵BD⊥AC于点D , ∴∠CBD =90°﹣72° =18°． 故答案为：18°．
点评： 此题主要考查等腰三角形的性质 ,解答此题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题 ,此题难度一般．
7. (2021•益阳 ,第13题 ,4分 )如图 ,将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转 ,使边AB与AC重合得△ACD ,BC的中点E的对应点为F ,那么∠EAF的度数是 60° ．
(第1题图 )
考点：旋转的性质；等边三角形的性质．
分析：根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角 ,进而得出∠EAF的度数． 解答：解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转 ,使边AB与AC重合得△ACD ,BC的
中点E的对应点为F ,
∴旋转角为60° ,E ,F是对应点 , 那么∠EAF的度数为：60°． 故答案为：60°．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质 ,得出旋转角的度数是解题关键．
8. (2021•泰州 ,第15题 ,3分 )如图 ,A、B、C、D依次为一直线上4个点 ,BC =2 ,△BCE为等边三角形 ,⊙O过A、D、E3点 ,且∠AOD =120°．设AB =x ,CD =y ,那么y与x的函数关系式为 y = (x＞0 ) ．
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(第2题图 )
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理．
分析：连接AE ,DE ,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ,求得∠AED =120° ,然后求得
△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系 ,从而不难求解． 解答：解：连接AE ,DE ,
∵∠AOD =120° , ∴
为240° ,
∴∠AED =120° , ∵△BCE为等边三角形 , ∴∠BEC =60°； ∴∠AEB +∠CED =60°； 又∵∠EAB +∠AEB =60° , ∴∠EAB =∠CED , ∵∠ABE =∠ECD =120°； ∴
=
,
即 = , ∴y = (x＞0 )．
点评：此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际
运用能力．
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9. (2021•扬州 ,第10题 ,3分 )假设等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm ,那么它的周长为 35 cm．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm ,而没有明确腰、底分别是多少 ,所以
要进行讨论 ,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 解答：解：①14cm为腰 ,7cm为底 ,此时周长为14 +14 +7 =35cm；
②14cm为底 ,7cm为腰 ,那么两边和等于第三边无法构成三角形 ,故舍去． 故其周长是35cm． 故答案为35．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况． 没有明确腰
和底边的题目一定要想到两种情况 ,分类进行讨论 ,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答 ,这点非常重要 ,也是解题的关键．
10. (2021•呼和浩特 ,第13题3分 )等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36 ,那么该等腰三角形的底角的度数为 63°或27° ． 考点：等腰三角形的性质． 专题：分类讨论．
分析：分锐角三角形和钝角三角形两种情况 ,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即
可求出它的底角的度数．
解答：解：在三角形ABC中 ,设AB =AC ,BD⊥AC于D．
①假设是锐角三角形 ,∠A =90°﹣36° =54° , 底角 = (180°﹣54° )÷2 =63°；
②假设三角形是钝角三角形 ,∠BAC =36° +90° =126° , 此时底角 = (180°﹣126° )÷2 =27°．
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所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用 ,此题的关
键是熟练掌握三角形内角和定理．
三.解答题
1. (2021•湘潭 ,第25题 ) △ABC为等边三角形 ,边长为a ,DF⊥AB ,EF⊥AC , (1 )求证：△BDF∽△CEF；
(2 )假设a =4 ,设BF =m ,四边形ADFE面积为S ,求出S与m之间的函数关系 ,并探究当m为何值时S取最|大值；
(3 )A、D、F、E四点共圆 ,tan∠EDF =
,求此圆直径．
(第1题图 ) 考点： 相似形综合题；二次函数的最|值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 分析： (1 )只需找到两组对应角相等即可． (2 )四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和 ,借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长 ,进而可以用含m的代数式表示S ,然后通过配方 ,转化为二次函数的最|值问题 ,就可以解决问题． (3 )易知AF就是圆的直径 ,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中 ,知道tan∠EAF、∠C、AC ,通过解直角三角形就可求出AF长． 解答： 解： (1 )∵DF⊥AB ,EF⊥AC , ∴∠BDF =∠CEF =90°． 公众号：惟微小筑
∵△ABC为等边三角形 , ∴∠B =∠C =60°． ∵∠BDF =∠CEF ,∠B =∠C , ∴△BDF∽△CEF． (2 )∵∠BDF =90° ,∠B =60° , ∴sin60° =∵BF =m , ∴DF =∵AB =4 , ∴AD =4﹣． ∴S△ADF =AD•DF =× (4﹣ )× =﹣m2 +m m． m ,BD =． = ,cos60° = =． 同理：S△AEF =AE•EF =× (4﹣ =﹣m2 +2 )×． (4﹣m ) ∴S =S△ADF +S△AEF =﹣ =﹣ =﹣∵﹣m2 +m +2 (m2﹣4m﹣8 ) (m﹣2 )2 +3＜0 ,0＜2＜4 , ． ．其中0＜m＜4． ∴当m =2时 ,S取最|大值 ,最|大值为3∴S与m之间的函数关系为： S═﹣ (m﹣2 )2 +3 (其中0＜m＜4 )． ． 当m =2时 ,S取到最|大值 ,最|大值为3 公众号：惟微小筑
(3 )如图2 , ∵A、D、F、E四点共圆 , ∴∠EDF =∠EAF． ∵∠ADF =∠AEF =90° , ∴AF是此圆的直径． ∵tan∠EDF =∴tan∠EAF =∴ =． , ． ∵∠C =60° , ∴ =tan60° =． x ,EA =2x． 设EC =x ,那么EF =∵AC =a , ∴2x +x =A． ∴x =． ∴EF = ,AE =． ∵∠AEF =90° , ∴AF =∴此圆直径长为 =． ． 点评： 此题考查了相似三角形的判定、二次函数的最|值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识 ,综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到适宜的位置是解决最|后一小题的关键． 公众号：惟微小筑
2. (2021•益阳 ,第20题 ,10分 )如图 ,直线y =﹣3x +3与x轴、y轴分别交于点A、B ,抛物线y =a (x﹣2 )2 +k经过点A、B ,并与X轴交于另一点C ,其顶点为P． (1 )求a ,k的值；
(2 )抛物线的对称轴上有一点Q ,使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形 ,求Q点的坐标； (3 )在抛物线及其对称轴上分别取点M、N ,使以A ,C ,M ,N为顶点的四边形为正方形 ,求此正方形的边长．
(第2题图 )
考点：二次函数综合题．
分析： (1 )先求出直线y =﹣3x +3与x轴交点A ,与y轴交点B的坐标 ,再将A、B两点坐标
代入y =a (x﹣2 )2 +k ,得到关于a ,k的二元一次方程组 ,解方程组即可求解； (2 )设Q点的坐标为 (2 ,m ) ,对称轴x =2交x轴于点F ,过点B作BE垂直于直线x =2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中 ,用勾股定理分别表示出AQ2 =AF2 +QF2 =1 +m2 ,BQ2 =BE2 +EQ2 =4 + (3﹣m )2 ,由AQ =BQ ,得到方程1 +m2 =4 + (3﹣m )2 ,解方程求出m =2 ,即可求得Q点的坐标；
(3 )当点N在对称轴上时 ,由NC与AC不垂直 ,得出AC为正方形的对角线 ,根据抛物线的对称性及正方形的性质 ,得到M点与顶点P (2 ,﹣1 )重合 ,N点为点P关于x轴的对称点 ,此时 ,MF =NF =AF =CF =1 ,且AC⊥MN ,那么四边形AMCN为正方形 ,在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长． 解答：解： (1 )∵直线y =﹣3x +3与x轴、y轴分别交于点A、B ,
∴A (1 ,0 ) ,B (0 ,3 )．
又∵抛物线抛物线y =a (x﹣2 )2 +k经过点A (1 ,0 ) ,B (0 ,3 ) , ∴
,解得
,
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故a ,k的值分别为1 ,﹣1；
(2 )设Q点的坐标为 (2 ,m ) ,对称轴x =2交x轴于点F ,过点B作BE垂直于直线x =2于点E．
在Rt△AQF中 ,AQ2 =AF2 +QF2 =1 +m2 , 在Rt△BQE中 ,BQ2 =BE2 +EQ2 =4 + (3﹣m )2 , ∵AQ =BQ ,
∴1 +m2 =4 + (3﹣m )2 , ∴m =2 ,
∴Q点的坐标为 (2 ,2 )；
(3 )当点N在对称轴上时 ,NC与AC不垂直 ,所以AC应为正方形的对角线． 又∵对称轴x =2是AC的中垂线 ,
∴M点与顶点P (2 ,﹣1 )重合 ,N点为点P关于x轴的对称点 ,其坐标为 (2 ,1 )． 此时 ,MF =NF =AF =CF =1 ,且AC⊥MN , ∴四边形AMCN为正方形． 在Rt△AFN中 ,AN =
=
,即正方形的边长为
．
点评：此题是二次函数的综合题型 ,其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法 ,等腰三
角形的性质 ,勾股定理 ,二次函数的性质 ,正方形的判定与性质 ,综合性较强 ,难度适中．
3. (2021•株洲 ,第23题 ,8分 )如图 ,PQ为圆O的直径 ,点B在线段PQ的延长线上 ,OQ =QB =1 ,动点A在圆O的上半圆运动 (含P、Q两点 ) ,以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
(1 )当线段AB所在的直线与圆O相切时 ,求△ABC的面积 (图1 )；
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(2 )设∠AOB =α ,当线段AB、与圆O只有一个公共点 (即A点 )时 ,求α的范围 (图2 ,直接写出答案 )；
(3 )当线段AB与圆O有两个公共点A、M时 ,如果AO⊥PM于点N ,求CM的长度 (图3 )．
(第3题图 )
考点：圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；
特殊角的三角函数值．
分析： (1 )连接OA ,如以下图1 ,根据条件可求出AB ,然后AC的高BH ,求出BH就可以求出
△ABC的面积．
(2 )如以下图2 ,首|先考虑临界位置：当点A与点Q重合时 ,线段AB与圆O只有一个公共点 ,此时α =0°；当线段AB所在的直线与圆O相切时 ,线段AB与圆O只有一个公共点 ,此时α =60°．从而定出α的范围．
(3 )设AO与PM的交点为D ,连接MQ ,如以下图3 ,易证AO∥MQ ,从而得到△PDO∽△PMQ ,△BMQ∽△BAO ,又PO =OQ =BQ ,从而可以求出MQ、OD ,进而求出PD、DM、AM、CM的值．
解答：解： (1 )连接OA ,过点B作BH⊥AC ,垂足为H ,如图1所示．
∵AB与⊙O相切于点A , ∴OA⊥AB． ∴∠OAB =90°． ∵OQ =QB =1 , ∴OA =1． ∴AB = =
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=．
∵△ABC是等边三角形 , ∴AC =AB =∵sin∠HAB =
,∠CAB =60°． ,
∴HB =AB•sin∠HAB = =．
∴S△ABC =AC•BH =× =
× ．
．
×
∴△ABC的面积为
(2 )①当点A与点Q重合时 ,
线段AB与圆O只有一个公共点 ,此时α =0°； ②当线段A1B所在的直线与圆O相切时 ,如图2所示 , 线段A1B与圆O只有一个公共点 , 此时OA1⊥BA1 ,OA1 =1 ,OB =2 , ∴cos∠A1OB =∴∠A1OB =60°．
∴当线段AB与圆O只有一个公共点 (即A点 )时 , α的范围为：0°≤α≤60°． (3 )连接MQ ,如图3所示． ∵PQ是⊙O的直径 , ∴∠PMQ =90°． ∵OA⊥PM , ∴∠PDO =90°． ∴∠PDO =∠PMQ． ∴△PDO∽△PMQ．
=．
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∴ = =
∵PO =OQ =PQ． ∴PD =PM ,OD =MQ． 同理：MQ =AO ,BM =AB． ∵AO =1 , ∴MQ =． ∴OD =．
∵∠PDO =90° ,PO =1 ,OD = , ∴PD =∴PM =∴DM =
． ． ．
∵∠ADM =90° ,AD =A0﹣OD = , ∴AM = = =
．
∵△ABC是等边三角形 , ∴AC =AB =BC ,∠CAB =60°． ∵BM =AB , ∴AM =BM． ∴CM⊥AB． ∵AM =∴BM =∴AC =∴CM = =
, ,AB =．
．
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=．
．
∴CM的长度为
点评：此题考查了等边三角形的性质、 相似三角形的性质与判定、直线与圆相切、勾股定理、
特殊三角函数值等知识 ,考查了用临界值法求角的取值范围 ,综合性较强．
4. (2021•泰州 ,第23题 ,10分 )如图 ,BD是△ABC的角平分线 ,点E ,F分别在BC、AB上 ,且DE∥AB ,EF∥AC． (1 )求证：BE =AF；
(2 )假设∠ABC =60° ,BD =6 ,求四边形ADEF的面积．
(第4题图 )
考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角
的直角三角形
分析： (1 )由DE∥AB ,EF∥AC ,可证得四边形ADEF是平行四边形 ,∠ABD =∠BDE ,又由
BD是△ABC的角平分线 ,易得△BDE是等腰三角形 ,即可证得结论；
(2 )首|先过点D作DG⊥AB于点G ,过点E作EH⊥BD于点H ,易求得DG与DE的长 ,继而求得答案．
解答： (1 )证明：∵DE∥AB ,EF∥AC ,
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∴四边形ADEF是平行四边形 ,∠ABD =∠BDE , ∴AF =DE ,
∵BD是△ABC的角平分线 , ∴∠ABD =∠DBE , ∴∠DBE =∠BDE , ∴BE =DE , ∴BE =AF；
(2 )解：过点D作DG⊥AB于点G ,过点E作EH⊥BD于点H , ∵∠ABC =60° ,BD是∠ABC的平分线 , ∴∠ABD =∠EBD =30° , ∴DG =BD =×6 =3 , ∵BE =DE ,
∴BH =DH =BD =3 , ∴BE =∴DE =BE =2
=2 ,
．
,
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG =6
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知
识．此题难度适中 ,注意掌握辅助线的作法 ,注意掌握数形结合思想的应用． 5. (2021•泰州 ,第26题 ,14分 )平面直角坐标系xOy中 ,点A、B分别在函数y1 = (x＞0 )与y2 =﹣ (x＜0 )的图象上 ,A、B的横坐标分别为 a、B．
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(第5题图 )
(1 )假设AB∥x轴 ,求△OAB的面积；
(2 )假设△OAB是以AB为底边的等腰三角形 ,且a +b≠0 ,求ab的值；
(3 )作边长为3的正方形ACDE ,使AC∥x轴 ,点D在点A的左上方 ,那么 ,对大于或等于4的任意实数a ,CD边与函数y1 = (x＞0 )的图象都有交点 ,请说明理由． 考点：反比例函数综合题．
分析： (1 )如图1 ,AB交y轴于P ,由于AB∥x轴 ,根据k的几何意义得到S△OAC =2 ,S△OBC =2 ,
所以S△OAB =S△OAC +S△OBC =4；
(2 )根据分别函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣ ,根据两点间的距离公式得到OA2 =a2 + ( )2 ,OB2 =b2 + (﹣ )2 ,那么利用等腰三角形的性质得到a2 + ( )2 =b2 + (﹣ )2 ,变形得到 (a +b ) (a﹣b ) (1﹣0 ,b＜0 ,所以1﹣
=0 ,易得ab =﹣4；
) =0 ,由于a +b≠0 ,a＞
(3 )由于a≥4 ,AC =3 ,那么可判断直线CD在y轴的右侧 ,直线CD与函数y1 = (x＞0 )的图象一定有交点 ,设直线CD与函数y1 = (x＞0 )的图象交点为F ,由于A点坐标为 (a , ) ,正方形ACDE的边长为3 ,那么得到C点坐标为 (a﹣3 , ) ,F点的坐标为 (a﹣3 ,﹣ ) =
) ,所以FC =
﹣ ,然后比拟FC与3的大小 ,由于3﹣FC =3﹣ ( ,而a≥4 ,所以3﹣FC≥0 ,于是可判断点F在线段DC上．
解答：解： (1 )如图1 ,AB交y轴于P ,
∵AB∥x轴 ,
∴S△OAC =×|4| =2 ,S△OBC =×|﹣4| =2 ,
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∴S△OAB =S△OAC +S△OBC =4； (2 )∵A、B的横坐标分别为a、b , ∴A、B的纵坐标分别为、﹣ , ∴OA2 =a2 + ( )2 ,OB2 =b2 + (﹣ )2 , ∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形 , ∴OA =OB ,
∴a2 + ( )2 =b2 + (﹣ )2 , ∴a2﹣b2 + ( )2﹣ ( )2 =0 ,
∴a2﹣b2 +
∴ (a +b ) (a﹣b ) (1﹣∵a +b≠0 ,a＞0 ,b＜0 , ∴1﹣
=0 ,
=0 , ) =0 ,
∴ab =﹣4； (3 )∵a≥4 , 而AC =3 ,
∴直线CD在y轴的右侧 ,直线CD与函数y1 = (x＞0 )的图象一定有交点 , 设直线CD与函数y1 = (x＞0 )的图象交点为F ,如图2 , ∵A点坐标为 (a , ) ,正方形ACDE的边长为3 , ∴C点坐标为 (a﹣3 , ) , ∴F点的坐标为 (a﹣3 ,∴FC =
﹣ ,
﹣ ) =
,
) ,
∵3﹣FC =3﹣ (而a≥4 ,
∴3﹣FC≥0 ,即FC≤3 ,
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∵CD =3 ,
∴点F在线段DC上 ,
即对大于或等于4的任意实数a ,CD边与函数y1 = (x＞0 )的图象都有交点．
点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数
比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比拟大小． 6. (2021•扬州 ,第28题 ,12分 )矩形ABCD的一条边AD =8 ,将矩形ABCD折叠 ,使得顶点B落在CD边上的P点处．
(第6题图 )
(1 )如图1 ,折痕与边BC交于点O ,连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA；
②假设△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,求边AB的长； (2 )假设图1中的点P恰好是CD边的中点 ,求∠OAB的度数； (3 )如图2 ,
,擦去折痕AO、线段OP ,连结BP．动点M在线段AP上
(点M与点P、A不重合 ) ,动点N在线段AB的延长线上 ,且BN =PM ,连结MN交PB于点F ,作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中 ,线段EF的长度是否发生变化 ?假设变化 ,说明理由；假设不变 ,求出线段EF的长度．
考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩公众号：惟微小筑
形的性质；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；动点型；探究型． 分析： (1 )只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似 ,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系 ,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长 ,从而求出AB长． (2 )由DP =DC =AB =AP及∠D =90° ,利用三角函数即可求出∠DAP的度数 ,进而求出∠OAB的度数． (3 )由边相等常常联想到全等 ,但BN与PM所在的三角形并不全等 ,且这两条线段的位置很不协调 ,可通过作平行线构造全等 ,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半 ,只需求出PB长就可以求出EF长． 解答： 解： (1 )如图1 , ①∵四边形ABCD是矩形 ,∴AD =BC ,DC =AB ,∠DAB =∠B =∠C =∠D =90°． 由折叠可得：AP =AB ,PO =BO ,∠PAO =∠BAO．∠APO =∠B． ∴∠APO =90°． ∴∠APD =90°﹣∠CPO =∠POC． ∵∠D =∠C ,∠APD =∠POC． ∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4 , ∴ = = = =． ∴PD =2OC ,PA =2OP ,DA =2CP． ∵AD =8 ,∴CP =4 ,BC =8． 设OP =x ,那么OB =x ,CO =8﹣x． 在Rt△PCO中 , ∵∠C =90° ,CP =4 ,OP =x ,CO =8﹣x , ∴x2 = (8﹣x )2 +42． 解得：x =5． ∴AB =AP =2OP =10． ∴边AB的长为10． 公众号：惟微小筑
(2 )如图1 , ∵P是CD边的中点 , ∴DP =DC． ∵DC =AB ,AB =AP , ∴DP =AP． ∵∠D =90° , ∴sin∠DAP = =． ∴∠DAP =30°． ∵∠DAB =90° ,∠PAO =∠BAO ,∠DAP =30° , ∴∠OAB =30°． ∴∠OAB的度数为30°． (3 )作MQ∥AN ,交PB于点Q ,如图2． ∵AP =AB ,MQ∥AN , ∴∠APB =∠ABP ,∠ABP =∠MQP． ∴∠APB =∠MQP． ∴MP =MQ． ∵MP =MQ ,ME⊥PQ , ∴PE =EQ =PQ． ∵BN =PM ,MP =MQ , ∴BN =QM． ∵MQ∥AN , ∴∠QMF =∠BNF． 在△MFQ和△NFB中 , ． ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF =BF． ∴QF =QB． 公众号：惟微小筑
∴EF =EQ +QF =PQ +QB =PB． 由 (1 )中的结论可得： PC =4 ,BC =8 ,∠C =90°． ∴PB =∴EF =PB =2 =4． ． ． ∴在 (1 )的条件下 ,当点M、N在移动过程中 ,线段EF的长度不变 ,长度为2 点评： 此题是一道运动变化类的题目 ,考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识 ,综合性比拟强 ,而添加适当的辅助线是解决最|后一个问题的关键．
7． (2021•温州 ,第20题10分 )如图 ,在等边三角形ABC中 ,点D ,E分别在边BC ,AC上 ,DE∥AB ,过点E作EF⊥DE ,交BC的延长线于点F． (1 )求∠F的度数； (2 )假设CD =2 ,求DF的长．
考点：等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
分析： (1 )根据平行线的性质可得∠EDC =∠B =60 ,根据三角形内角和定理即可求解；
(2 )易证△EDC是等边三角形 ,再根据直角三角形的性质即可求解． 解答：解： (1 )∵△ABC是等边三角形 ,
∴∠B =60° ,
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∵DE∥AB ,
∴∠EDC =∠B =60° , ∵EF⊥DE , ∴∠DEF =90° ,
∴∠F =90°﹣∠EDC =30°； (2 )∵∠ACB =60° ,∠EDC =60° , ∴△EDC是等边三角形． ∴ED =DC =2 ,
∵∠DEF =90° ,∠F =30° , ∴DF =2DE =4．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质 ,以及直角三角形的性质 ,30度的锐角所对的直
角边等于斜边的一半．
8. (2021年广东汕尾 ,第19题7分 )如图 ,在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,分别以点A、C为圆心 ,大于AC长为半径画弧 ,两弧相交于点M、N ,连接MN ,与AC、BC分别交于点D、E ,连接AE．
(1 )求∠ADE； (直接写出结果 )
(2 )当AB =3 ,AC =5时 ,求△ABE的周长．
分析： (1 )根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线 ,由此可得出结论； (2 )先根据勾股定理求出BC的长 ,再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 解： (1 )∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线 ,∴∠ADE =90°； (2 )∵在Rt△ABC中 ,∠B =90° ,AB =3 ,AC =5 ,∴BC =∵MN是线段AC的垂直平分线 ,∴AE =CE ,
∴△ABE的周长 =AB + (AE +BE ) =AB +BC =3 +4 =7．
=4 ,
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点评：此题考查的是作图﹣根本作图 ,熟知垂直平分线上任意一点 ,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
9. (2021•襄阳 ,第21题6分 )如图 ,在△ABC中 ,点D ,E分别在边AC ,AB上 ,BD与CE交于点O ,给出以下三个条件：①∠EBO =∠DCO；②BE =CD；③OB =OC．
(1 )上述三个条件中 ,由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形 ? (用序号写出所有成立的情形 )
(2 )请选择 (1 )中的一种情形 ,写出证明过程．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 专题： 开放型． 分析： (1 )由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形 , (2 )先求出∠ABC =∠ACB ,即可证明△ABC是等腰三角形． 解答： 解： (1 )①②；①③． (2 )选①③证明如下 , ∵OB =OC , ∴∠OBC =∠OCB , ∵∠EBO =∠DCO , 又∵∠ABC =∠EBO +∠OBC ,∠ACB =∠DCO +∠OCB , ∴∠ABC =∠ACB , ∴△ABC是等腰三角形． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定 ,解题的关键是找出相等的角求∠ABC =∠ACB．
10. (2021•滨州 ,第24题10分 )如图 ,正方形ABCD ,把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处 ,连接AC′ ,BC′ ,CC′ ,写出图中所有的等腰三角形 ,并写出推理过程．
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考点： 分析： 正方形的性质；等腰三角形的判定；旋转的性质 利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形 ,再利用全等三角形的判定与性质判断得出． 解答： 解；图中的等腰三角形有：△DCC′ ,△DC′A ,△C′AB ,△C′BC , 理由：∵四边形ABCD是正方形 , ∴AB =AD =DC ,∠BAD =∠ADC =90° , ∴DC =DC′ =DA , ∴△DCC′ ,△DC′A为等腰三角形 , ∵∠C′DC =30° ,∠ADC =90° , ∴∠ADC′ =60° , ∴△AC′D为等边三角形 , ∵∠C′AB =90°﹣60° =30° , ∴∠CDC′ =∠C′AB , 在△DCC′和△AC′B中 , ∴△DCC′≌△AC′B (SAS ) , ∴CC′ =C′B , ∴△BCC′为等腰三角形． 点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知公众号：惟微小筑
识 ,得出△AC′D为等边三角形是解题关键． 11. (2021•菏泽 ,第16题6分 ) (1 )在△ABC中 ,AD平分∠BAC ,BD⊥AD ,垂足为D ,过D作DE∥AC ,交AB于E ,假设AB =5 ,求线段DE的长．
考点： 分析： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． (1 )求出∠CAD =∠BAD =∠EDA ,推出AE =DE ,求出∠ABD =∠EDB ,推出BE =DE ,求出AE =BE ,根据直角三角形斜边上中线性质求出即可． 解答： 解： (1 )∵AD平分∠BAC , ∴∠BAD =∠CAD , ∵DE∥AC , ∴∠CAD =∠ADE , ∴∠BAD =∠ADE , ∴AE =DE , ∵AD⊥DB , , ∴∠ADB =90° ,∠ADE +∠BDE =∠ADB =90° , ∴∠EAD +∠ABD =90°∴∠ABD =∠BDE , ∴DE =BE , ∵AB =5 , ∴DE =BE =AE = ． 点评： 此题考查了平行线的性质 ,等腰三角形的性质和判定 ,直角三角形斜边上中线性质的应用 ,关键是求出DE =BE =AE．
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