盐湖区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

盐湖区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．y= B．y=﹣x+ C．y=﹣x|x| D．y=

2． 如图，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，设全集U=R，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A．{3} B．{0，1}

C．{0，1，2}

D．{0，1，2，3}

，那么|﹣4|等于（ ）

C．

=

D．13

3． 已知||=3，||=1，与的夹角为A．2

B．

4． 数列{an}满足a1=，A．

B．

C．

D．

*

﹣1（n∈N），则a10=（ ）

5． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）

（A）150种 （ B ） 180 种 （C） 240 种 （D） 540 种

6． 设函数f（x）=

的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（ ）

A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣ D．a＞﹣

ìïx(1-x),0＃x17． 函数f(x)(xÎR)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)=í，则

sinpx,116161616【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能

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力．

8． 设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（ ） A．{1，2}

B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}

9． 若如图程序执行的结果是10，则输入的x的值是（ ）

A．0 B．10 C．﹣10 D．10或﹣10

10．如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论：① BD//平面CB1D1；② AC1BD；③ AC1平面CB1D1.其中正确结论的个数是（ ）

A． B． C． D． 11．执行如图所示的程序框图，若输入的

分别为0，1，则输出的

（ ）

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A．4 B．16 C．27 D．36 12．点A是椭圆

上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．已知数列

的前项和是

, 则数列的通项

__________

14．分别在区间[0,1]、[1,e]上任意选取一个实数a、b，则随机事件“alnb”的概率为_________.

b15．已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极小值10，则的值为 ▲ ．

a16．（）+14-21log36-log32= . 217．若函数f（x）=logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x﹣1）＜f（2﹣x）的解集是 ．

18．幂函数f(x)（m3m3)x2m22m1在区间0,上是增函数，则m ．

三、解答题

19．（本小题满分14分）

设函数f(x)axbx1cosx，x0,（其中a，bR）.

221，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

20．设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,ca2bsinA．

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（1）求角B的大小；

（2）若a33，c5，求．

21．（1）求与椭圆（2）求与双曲线

22．已知p：﹣x2+2x﹣m＜0对x∈R恒成立；q：x2+mx+1=0有两个正根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．

23．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程． 有相同的渐近线，且焦距为

的双曲线的标准方程．

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24．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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盐湖区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】解：A.B.

时，y=

在定义域内没有单调性，∴该选项错误； ，x=1时，y=0；

∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；

C．y=﹣x|x|的定义域为R，且﹣（﹣x）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；

；

22

∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣0=0；

∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确； D.

∵﹣0+1＞﹣0﹣1；

∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误． 故选：C．

【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．

2． 【答案】C

【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M={x|x≤2}， ∴∁M∩N={0，1，2}， 故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．

3． 【答案】C 【解析】解：||=3，||=1，与的夹角为可得

=||||cos＜，＞=3×1×=，

，

；

即有|﹣4|=

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=

故选：C．

=．

【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

4． 【答案】C

【解析】解：∵∴∴数列∴∴an=1﹣∴a10=

． ﹣

==﹣1， 是等差数列，首项为

=﹣2﹣（n﹣1）=﹣n﹣1， =

．

=﹣2，公差为﹣1．

﹣1（n∈N），

*

故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5． 【答案】A

【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为

C52C323CAA3150种,故选A． 2A235336． 【答案】C

x

【解析】解：当x≥时，f（x）=4﹣3≥2﹣3=﹣1，

当x=时，取得最小值﹣1；

22

当x＜时，f（x）=x﹣2x+a=（x﹣1）+a﹣1，

即有f（x）在（﹣∞，）递减， 则f（x）＞f（）=a﹣，

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由题意可得a﹣≥﹣1， 解得a≥﹣． 故选：C．

【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．

7． 【答案】C

8． 【答案】A

【解析】解：集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B={1，2}． 故选：A．

【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．

9． 【答案】D

【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10 当x≥0，时x=10，解得：x=10 故选：D．

10．【答案】D 【解析】

的值，

考

点：1.线线，线面，面面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的命题，属于中档题型，多项选择题是容易出错的一个题，当考察线面平

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行时，需证明平面外的线与平面内的线平行，则线面平行，一般可构造平行四边形，或是构造三角形的中位线，可证明线线平行，再或是证明面面平行，则线面平行，一般需在选取一点，使直线与直线外一点构成平面证明面面平行，要证明线线垂直，可转化为证明线面垂直，需做辅助线，转化为线面垂直. 11．【答案】D

【解析】【知识点】算法和程序框图

【试题解析】A=0，S=1，k=1，A=1，S=1，否；k=3，A=4，S=4，否；k=5，A=9，S=36，是， 则输出的36。 故答案为：D 12．【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

， ，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．

二、填空题

13．【答案】【解析】 当当

时，时，

，

，所以

两式相减得：令 答案：

14．【答案】

得

e1 eaa【解析】解析： 由alnb得be，如图所有实数对(a,b)表示的区域的面积为e，满足条件“be”的

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11实数对(a,b)表示的区域为图中阴影部分，其面积为

0eadaea|e1，∴随机事件“alnb”的概率为

0e1． e115．【答案】

2考

点：函数极值

【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表检验f′（x）在f′（x）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.

（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f′（x0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 16．【答案】【解析】

试题分析：原式=42log36log3考点：指、对数运算。

17．【答案】 （1，2） ．

【解析】解：∵f（x）=logax（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3）， ∴0＜a＜1，x＞0，

若f（2x﹣1）＜f（2﹣x）， 则

，

33 2216log3613316log3316。

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解得：1＜x＜2， 故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．

18．【答案】 【解析】

【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂数yxR在0,上单调递增，则0，若在0,上单调递减，则0；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1

函数yxR是偶函数，则必为偶数．当是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)1， 211（2分） x1cosx，f(x)sinx，x0,.

222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626第 11 页，共 15 页

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若

110，0，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(0)0)a，10，

222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2422241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 12 页，共 15 页

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20．【答案】（1）B【解析】1111]

6

；（2）b7．

（2）根据余弦定理，得

b2a2c22accosB2725457，

所以b7. 考点：正弦定理与余弦定理． 21．【答案】

【解析】解：（1）由所求椭圆与椭圆设椭圆方程

由（4，3）在椭圆上得则椭圆方程为（2）由双曲线设所求双曲线的方程为

；

有相同的渐近线， ﹣

=1（λ≠0），

，

，

有相同的焦点，

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2

由题意可得c=4|λ|+9|λ|=13，

解得λ=±1． 即有双曲线的方程为

22．【答案】

【解析】解：若p为真，则△=4﹣4m＜0，即m＞1 … 若q为真，则

，即m≤﹣2 …

﹣

=1或

﹣

=1．

∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，则p，q一真一假 若p真q假，则若p假q真，则

，解得：m＞1 … ，解得：m≤﹣2 …

综上所述：m≤﹣2，或m＞1 …

23．【答案】

【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B．

．

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若n=14，当b=1时，，

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

令

，

，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

中的数均为无理数，

，

．

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

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