九年级数学综合测试试题
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．方程x2﹣5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．1，5，6
B．1，﹣5，6
C．1，﹣5，﹣6
D．﹣1，5，6
2．“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数”这个事件是（ ） A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．确定事件
3．下列关于抛物线y＝（x+2）2+6的说法，正确的是（ ） A．抛物线开口向下
B．抛物线的顶点坐标为（2，6） C．抛物线的对称轴是直线x＝6 D．抛物线经过点（0，10） 4．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝2A．30°
B．40°
，∠C＝90°，则∠A的度数为（ ）
C．45°
D．60°
5．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度（ ）
A．保持不变 C．先变大，再变小
B．逐渐变小 D．逐渐变大
x2+
6．已知抛物线y＝x2+2mx+m﹣7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则关于x的方程（m+1）x+m2+5＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无实数根
7．如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，下列条件：
①∠ACD＝∠B；②∠ADC＝∠ACB；③AC2＝AD•AB；④AB•CD＝AC•BC． 其中能判定△ACD∽△ABC的共有（ ）
1
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ） A．x＜﹣4或x＞2
B．﹣4＜x＜2
C．x＜0或x＞2
D．0＜x＜2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是 ． 10．两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为 ．
11．一个不透明的袋子中装有12个小球，其中5个红球、7个绿球，这些小球除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ． 12．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为 ．
13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 ．
14．如图，已知AB＝12，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°．M、N分别是对角线AC、BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为 （．结果留根号）
2
三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（6分）解方程：x2+2x﹣1＝0．
16．（6分）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会． （1）抽取一名同学，恰好是甲的概率为 ； （2）抽取两名同学，求甲在其中的概率． 17．（6分）已知函数y＝a|x﹣2|﹣
x+b（a、b为常数），当x＝4时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，
y＝0，请对该函数及其图象进行如下探究： （1）a＝ ，b＝ ．
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）已知函数y＝式a|x﹣2|﹣
x+b≤
x2﹣x2﹣
x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等x的解．
18．（7分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．
（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售
3
价．
19．（7分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．
[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]
20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为一腰画一个等腰锐角三角形ABP； （2）在图②中以线段CD为底画一个等腰直角三角形CDM； （3）在图③中画等腰钝角三角形EFN．
21．（8分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，sinB＝＝AC，联结CD． （1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求
的值．
，延长边BA至点D，使AD
4
22．（9分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）． （1）求抛物线函数解析式； （2）求函数的顶点坐标．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E． （1）求证：△OBC≌△ABD．
（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．
（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？
24．（12分）已知抛物线y＝
x2﹣2x与x轴交于点O、A两点，顶点为B．
（1）直接写出：A点坐标 ，B点坐标 ，△ABO的形状是 ； （2）如图，直线y＝x+m（m＜0）交抛物线于E、F（E在F右边），交对称轴于M，交y轴于N．若EM﹣FN＝MN，求m的值；
（3）在（2）的条件下，y轴上有一动点P，当∠EPF最大时，请直接写出此时P点坐标 ．
5
6
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1． C．2． C．3． D．4． C．5． A．6． D．7． C．8． B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．k＜﹣10． 4：9 11．
． ．
12．（x﹣3）（x﹣2）＝20． 13． 14． 3
． ；
三．解答题（共10小题，满分78分） 15．解：方程变形得：x2+2x＝1， 配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， 开方得：x+1＝±解得：x1＝﹣1+
， ，x2＝﹣1﹣
．
16．解：（1）随机抽取1名学生，可能出现的结果有4种，即甲、乙、丙、丁，并且它们出现的可能性相等．
恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种， 所以抽取一名同学，恰好是甲的概率为故答案为：
．
，
（2）随机抽取2名学生，可能出现的结果有6种，即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，并且它们出现的可能性相等．
恰好抽取2名甲在其中的结果有3种，即甲乙、甲丙、甲丁， 故抽取两名同学，甲在其中的概率为
＝
．
x+b中，
17．解：（1）把x＝4，y＝﹣4和x＝﹣2，y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣
7
得：，解得：，
故答案为：﹣，7；
（x﹣2）﹣
x+7；当x＜2时，函数y＝﹣
（2﹣x）﹣
（2）当x≥2时，函数y＝﹣x+7，
y与x的部分对应值如下表：
根据表格数据，绘制如下函数图象：
（3）从图象看，两个函数的交点横坐标为：﹣1和3， ∴不等式a|x﹣2|﹣
x+b≤
x2﹣
x的解是：x≤﹣1或x≥3．
×1+8＝
18．解：（1）由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：14，则此时，平均每周的销售利润是：（22﹣15）×14＝98（万元）； （2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得： （25﹣x﹣15）（8+2x）＝90， 解得x1＝1，x2＝5，
当x＝1时，销售数量为8+2×1＝10（辆）； 当x＝5时，销售数量为8+2×5＝18（辆），
8
为了尽快减少库存，则x＝5，此时每辆汽车的售价为25﹣5＝20（万元）， 答：每辆汽车的售价为20万元．
19．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°， ∴BD＝AD＝80（米）， 在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米）， ∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米）， 答：该建筑物的高度BC约为237米．
20．解：（1）如图①中，△ABP或△ABP′即为所求作． （2）如图②中，△CDM或△CDM′即为所求作． （3）如图③中，△EFN即为所求作．
21．解：（1）过点C作CG⊥AB，垂足为G， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACG＝∠B， 在△ABC中，sinB＝∴sin∠ACG＝∴AG＝
＝
，设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x， ＝sinB， x， x＝
x， ＝
；
x，CG＝
∴DG＝DA+AG＝3x+
在Rt△DCG中，tan∠D＝
（2）过点C作CH∥DB，交BF的延长线于点H，则有△CHF∽△DBF， 又有E是AC的中点，可证△CHE≌△ABE， ∴HC＝AB＝5x， 由△CHF∽△DBF得：
＝
＝
＝
．
9
22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）， ∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣3）， 即所求函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
23．解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形， ∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC， ∴∠OBC＝∠ABC， 在△OBC和△ABD中， ∵
，
∴△OBC≌△ABD（SAS）；
（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下： ∵△AOB是等边三角形， ∴∠BOA＝∠OAB＝60°， ∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°； （3）∵△OBC≌△ABD， ∴∠BOC＝∠BAD＝60°， 又∵∠OAB＝60°，
∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰， ∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，
10
∴AE＝2， ∴AC＝AE＝2， ∴OC＝1+2＝3，
∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形． 24．解：（1）∵y＝∴B（2，﹣2）， 令y＝0，得到∴A（4，0）， ∴OB＝AB＝2
，OA＝4，
x2﹣2x＝0，解得x＝0或4， x2﹣2x＝
（x﹣2）2﹣2，
∴OB2+AB2＝OA2， ∴∠OBA＝90°， ∴△OAB是直角三角形．
故答案为：（4，0），（2，﹣2），直角三角形．
（2）如图1中，设M（2，yM），N（0，yN），E（x1，y1），F（x2，y2），
过F作FP⊥y轴于P，设直线EF交x轴于T， ∵N（0，m），T（﹣m，0）， ∴ON＝OT＝﹣m， ∴∠ONT＝45°， ∴NF＝
x2，
，EM＝
（x1﹣2）＝
x1﹣2
，
同理，MN＝2
∵EM﹣FN＝MN， ∴
x1﹣2
﹣
x2＝2
，
∴x1﹣x2＝4，
11
设直线EF的解析式为y＝x﹣m， 由
得
x2﹣3x+m＝0，
∴x1+x2＝﹣＝﹣＝6，x1x2＝＝2m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16， ∴62﹣4×2m＝16，解得m＝（3）由（2）可得E（5，
．
），设P（0，t）．
），F（1，﹣
当经过点E，点F的圆与y轴相切于点P时，∠EPF的值最大， 作线段EF的垂直平分线GH，设圆心为T， ∵直线GH的解析式为y＝﹣x+∴可以假设T（a，﹣a+∵TE＝PT， ∴a2＝（5﹣a）2+（解得a＝6﹣∴T（6﹣∴P（0，
，﹣或6+
﹣）． ﹣
）． +a﹣
）2， ），
，
（舍弃）， ），
故答案为：（0，
12
九年级数学综合测试试题
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．计算sin30°的值等于（ ） A．
B．
C．
D．
2．下列语句中描述的事件必然发生的是（ ） A．15个人中至少有两个人同月出生 B．一位同学在打篮球，投篮一次就投中 C．在1，2，3，4中任取两个数，它们的和大于7 D．掷一枚硬币，正面朝上
3．已知点P的坐标是（﹣6，5），则P点关于原点的对称点的坐标是（ ） A．（﹣6，﹣5）
B．（6，5）
C．（6，﹣5）
D．（5，﹣6）
4．如图所示的几何体的从左面看到的图形为（ ）
A． B． C． D．
5．有6张扑克牌面数字分别是3，4，5，7，8，10从中随机抽取一张点数为偶数的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
6．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ） A．
B．
C．
D．
7．方程2x2﹣8x﹣1＝0的解的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根
B．没有实数根 D．有一个实数根
13
8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠ABO＝30°，若点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ）
A．y＝
B．y＝﹣
C．y＝
D．y＝
9．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
10．已知点A（1，a），B（m，n）（m＞1）均在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝
的图象经过点A，过点B作BD⊥x轴于D，交反比例函数y＝
的图象于点C，连
接AC，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＝2时，AC⊥OB
B．当AB＝2OA时，BC＝2CD
C．存在一个m，使得S△BOD＝3S△OCD D．四边形AODC的面积固定不变
11．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（ ）
14
A．17.5m
B．17m
C．16.5m
D．18m
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线上则a的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13．一元二次方程x2﹣7x＝0的较大根为 ． 14．反比例函数y＝
的图象如图所示，给出以下结论：
①常数k的取值范围是 ；
②在每一个象限内，y随x的增大而 ；
③若点A（﹣1，a）和A′（1，b）都在该函数的图象上，则a与b的关系是 ； ④若点B（﹣2，h）、C（﹣1，m）、D（3，n）在该函数的图象上，则h、m、n的大小关系是 （用“＜”号连接）．
15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值是 ．
15
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 ．
17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OB的中点，过C作CD⊥OB交交弦AB于E．若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
于D，
18．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣x2+
x+
，则该运动员此次掷铅球的成绩是 m．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（7分）求值：sin245°+3tan30°tan60°﹣2cos60°
20．（8分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y
16
与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
21．（8分）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）
22．（10分）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/
千克）
55
60
65
70
17
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？ （3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当AB＝AC时，若CE＝4，EF＝6，求⊙O的半径．
24．（11分）如图，点O是等边△ABC内一点，将CO绕点C顺时针旋转60°得到CD，连接OD，AO，AD，
（1）求证：△BCO≌△ACD．
（2）若∠BOC＝150°，OB＝8，OC＝6，求△AOD的面积．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB． （1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
18
19
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1． B．2． A．3． C．4． D．5． D．6． C．7． A．8． C．9． B．10． C．11． A．12． A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 13． 7．
14． k＞﹣1；减小；a+b＝0；m＜h＜n． 15． 16． 3． 17． 18． 10．
三．解答题（共7小题，满分66分） 19．解：原式＝（＝＝2
+3﹣1 ．
）2+3×
×
﹣2×
+
﹣1． ．
20．解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）， 代入（8，6）得6＝8k1， ∴k1＝
，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝代入（8，6）得 6＝
，
（k2＞0），
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为系式为：
（x
＞8），
（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关
20
∴；
（2）把y＝3代入把y＝3代入∵16﹣4＝12，
，得：x＝4， ，得：x＝16，
所以这次消毒是有效的． 21．解：如图作AH⊥CN于H．
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5﹣2.5＝8（m）， ∴AH＝BH＝8（m）， 在Rt△AHC中，tan65°＝∴CH＝8×2.1≈16.8（m）， ∴BC＝CH﹣BH＝16.8﹣8≈9（m）．
22．解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：
．
，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+180． （2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+180）＝600， 整理得：x2﹣140x+4800＝0，
21
解得x1＝60，x2＝80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w元，则： w＝（x﹣50）（﹣2x+180） ＝﹣2（x﹣70）2+800， ∵﹣2＜0，
∴当x＝70时，w最大值＝800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元． 23．解：（1）如图，连接BD， ∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径， ∴∠BCD＝90°， ∴∠DEC+∠CDE＝90°， ∵∠DEC＝∠BAC， ∴∠BAC+∠CDE＝90°， ∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE＝90°， ∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE， ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线；
（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°， ∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ADB＝∠ACB， ∴∠F＝∠EDF， ∴DE＝EF＝6，
∵CE＝4，∠BCD＝90°， ∴∠DCE＝90°，
22
∴CD＝＝2，
∵∠BDE＝90°，CD⊥BE， ∴△CDE∽△CBD， ∴
＝
，
＝3
， ．
∴BD＝∴⊙O的半径＝
24．（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60°， ∵CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴∠ACB＝∠OCD， ∴∠BCO＝∠ACD， 在△BCO和△ACD中，
，
∴△BCO≌△ACD（SAS）． （2）解：∵△BCO≌△ACD，
∴BO＝AD＝8，∠BOC＝∠ADC＝150°， ∵CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴OD＝OB＝6，∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°， ∴S△ADO＝
•AD•DO＝24．
23
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0）， ∴OB＝3， ∵OC＝OB， ∴OC＝3， ∴c＝3， ∴解得：
， ，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）， ∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a， ∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝＝＝﹣＝﹣
（a+3）（﹣a2﹣2a+3）+•a2﹣（a+
a ）2+
，
．
BF•EF+
（OC+EF）•OF﹣
•OB•OC
（﹣a2﹣2a+6）（﹣a）﹣•
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上， ∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上， ①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M， ∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°， ∴∠NA′P＝∠NPA，
24
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS）， ∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2， ∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3， 解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合， ∵∠AP2A2＝90°， ∴MP2＝MA＝2， ∴P2（﹣1，﹣2）．
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
25
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