一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． C．
B． D．
2．（2分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（ ） A．
B．
C．2
D．4
5．（2分）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ） A．
B．π
C．2π
D．4π
6．（2分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（ ） A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
7．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（ ） A． C．
B． D．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1 y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
10．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝ ．
11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为 ．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为 ．
13．（2分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 发芽种子个数 发芽种子频率 100 92 0.92 400 352 0.88 900 818 0.91 1500 1336 0.89 2500 2251 0.90 4000 3601 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 ．
14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形： ．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27~28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．
19．（5分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？ 20．（5分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E． （1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．
22．（5分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
23．（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°． （1）若BE＝3，求CF的长；
（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A． （1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值； （2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是∠DAB的平分线；
（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）． （1）当a＝1时，
①抛物线G的对称轴为x＝ ；
②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 ； （2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．
（1）当△ABD为等边三角形时， ①依题意补全图1； ②PQ的长为 ；
（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；
（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）
28．（7分）系统找不到该试题
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． C．
B． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．
【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率为， 故选：B．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根．
4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（ ） A．
B．
C．2
D．4
【分析】由AD∥BC可得出∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，进而可得出△AOE∽△FOB，再利用相似三角形的性质即可得出△AOE与△BOF的面积之比． 【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF， ∴△AOE∽△FOB， ∴＝（）2＝4． 故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
5．（2分）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（ ） A．
B．π
C．2π
D．4π
【分析】直接利用扇形的面积公式计算． 【解答】解：这个扇形的面积＝＝π． 故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
6．（2分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则
∠C为（ ） A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵AD切⊙O于点D， ∴OD⊥AD， ∴∠ODA＝90°， ∵∠A＝40°，
∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°， 故选：B．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
7．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（ ） A． C．
B． D．
【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，没有正确的选项；
当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，D选项正确， 故选：D．
【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”的坐标为（x，y）， 当x≥0时，则y＝x﹣1，所以，x（x﹣3）＝1， 解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；
当x＜0时，则y＝﹣x﹣3，所以，x（﹣x﹣3）＝1， 解得：x3＝，x4＝．
∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个． 故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x＜0两种情况，找出关于x的一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1 ＞ y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案． 【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝2＞0， ∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小， 又∵2＜3， ∴y1＞y2， 故答案为：＞．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
10．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝ 2019 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2020﹣a﹣b变形为2020﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0， 所以a+b＝1，
所以2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019． 故答案为2019．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为 4 ．
【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝，即＝， 解得：EC＝4； 故答案为：4．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．
12．（2分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为 （3，） ．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3）， ∴点D的坐标为（6×，3×），即（3，）， 故答案为：（3，）．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 13．（2分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 发芽种子个数 发芽种子频率 100 92 0.92 400 352 0.88 900 818 0.91 1500 1336 0.89 2500 2251 0.90 4000 3601 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 0.9 ．
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．
【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， ∴该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形： △CBE，△BDA ．
【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断． 【解答】解：∵＝， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵∠DAE＝∠DBC， ∴∠DAE＝∠ABD， ∵∠ADE＝∠ADB， ∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC， ∴△AED∽△BEC， 故答案为△CBE，△BDA．
【点评】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为 2 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质结合矩形的性质得出矩形BEOM面积为：1，矩形MOFA面积为：3，则矩形BEFA的面积为4，进而得出答案． 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F， 由题意可得，四边形BEFA是矩形， ∵函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），
∴矩形BEOM面积为：1，矩形MOFA面积为：3， 则矩形BEFA的面积为4，
则△ABN的面积为：S矩形BEFA＝2． 故答案为：2．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确得出各矩形面积是解题关键．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ﹣1 ．
【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．
【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0）， ∴OA＝1，OB＝3， ∴OE＝2， ∴ED＝＝， ∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上， ∴线段CD长的最小值为． 故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C，D两点的位置是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27~28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（5分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
18．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．
【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案． 【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵，
∴△ABC∽△ADE．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
19．（5分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？ 【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式； （2）由题意可得≤5，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，两地路程为80×6＝480（km）， 故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．
（2）由v＝，得t＝， 又由题知：t≤5， ∴≤5． ∵v＞0 ∴480≤5v． ∴v≥96．
答：返程时的平均速度不能低于96 km/h．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 20．（5分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC， ∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB， ∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°， ∵∠CDO＝90°， ∴∠OCD＝30°， ∴OD＝OC＝1， ∴CD＝＝＝，
∴△OCD的面积＝×OD×CD＝， 同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝， ∴四边形DOEC的面积＝+＝．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．
（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案． 【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2
∵（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1 ∵方程有一个根为负数， ∴m﹣1＜0． ∴m＜1．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
22．（5分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况； （2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；
（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．
（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6， 标号之和为奇数的概率是：， 标号之和为偶数的概率是：， 因为≠， 所以不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°． （1）若BE＝3，求CF的长；
（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．
【分析】（1）证明△BAE∽△ECF，得出＝，即可得出答案；
（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，得出CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，由二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）∵BC＝8，BE＝3， ∴EC＝C＝BC﹣BE＝5， ∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠CEF＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∵CD⊥BC， ∴∠ECF＝90°， ∴△BAE∽△ECF， ∴＝，即＝， 解得：CF＝；
（2）设BE为x，则EC＝8﹣x． 由（1）可得＝， ∴＝，
∴2CF＝x（8﹣x），
∴CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4，即BE＝4时，CF的值最大，CF的最大值为8．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质；证明三角形相似是解题的关键．
24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值； （2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）设A点坐标是（x，x+），由于点A是第一象限内的点，且AB＝AC，可得出x＝x+，解出x的值，代入反比例函数解析式求k值．
（2）由于A点可能在一二三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立|AB|＞|AC|不等式，即|x+|＞|x|，计算求k值取值范围即可． 【解答】解：（1）根据题意作图如下：
设A点坐标是（x，x+），
∵点A是第一象限内的点，且AB＝AC， ∴x＝x+ 解得x＝3 即A（3，3）
∵点A在函数y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝9
（2）因为A（x，x+）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，所以k＝． ①当点A在第一象限时，AB＞AC，即 x+＞x（x＞0），解得0＜x＜3； 代入k＝ 得0＜k＜9．
②当点A在第二象限时，AB＞AC，即 x+＞﹣x（x＜0），解得﹣1＜x＜0；代入k＝ 得﹣1＜k＜0．
③当点A在第三象限时，AB＞AC，即﹣x﹣＞﹣x（x＜0），无解； 综上所述，k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0． 答：k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧妙地解设交点坐标是解题的
第一步，也是关键的一步．另外，本题涉及到了分类讨论这一重要数学思想，考生一定要根据实际情况展开必要的分类讨论，这在初中数学阶段是非常重要的．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E． （1）求证：AC是∠DAB的平分线； （2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵直线MC与⊙O相切于点C， ∴∠OCM＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADM＝90°， ∴∠OCM＝∠ADM， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线； （2）解：连接BC，连接BE交OC于点F， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵AB＝10，AC＝4， ∴BC＝＝＝2， ∵OC∥AD，
∴∠BFO＝∠AEB＝90°，
∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，
∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB， ∴△CFB∽△BCA． ∴＝，即＝， 解得，CF＝2， ∴OF＝OC﹣CF＝3．
∵O为直径AB中点，F为线段BE中点， ∴AE＝2OF＝6．
【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）． （1）当a＝1时，
①抛物线G的对称轴为x＝ 1 ；
②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 m＞2或m＜0 ；
（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．
【分析】（1）把a＝1代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴；
②根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1进而可得m的取值范围；
（2）根据题意先求出点M、A、B的坐标，再结合图象，即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）①抛物线G的对称轴为x＝1， 故答案为1；
②抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2）， 且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0； 故答案为：m＞2或m＜0；
（2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为x＝1，且对称轴与x轴交于点M， ∴点M的坐标为（1，0）． ∵点M与点A关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣1，0）． ∵点M右移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为（4，0）．
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点， 把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣； 把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣； 把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4． 根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个 公共点时可得： ﹣＜a≤﹣或a＝4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．
27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．
（1）当△ABD为等边三角形时， ①依题意补全图1； ②PQ的长为 2 ；
（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；
（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示） 【分析】（1）①根据题意画出图形即可．
②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可． （2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题． （3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题． 【解答】（1）解：①补全图形如图所示．
②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1， ∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°， ∴AD＝＝，
∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°， ∴PA＝AD•tan60°＝2，
∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ， ∴△PDA≌△PDQ（SAS）， ∴PQ＝PA＝2． 故答案为2．
（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．
∵PA⊥AD， ∴∠PAD＝90°．
由题意可知∠ADP＝45°．
∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP， ∴PA＝PD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∵AH⊥PF，PF⊥BQ，
∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90° ∴四边形ACFH是矩形， ∴∠CAH＝90°，AH＝CF， ∵∠ACH＝∠DAP＝90°， ∴∠CAD＝∠PAH，． 又∵∠ACD＝∠AHP＝90°， ∴△ACD≌△AHP（AAS）， ∴AH＝AC＝1，
∴CF＝AH＝1，
∵BD＝，BC＝1，B，Q关于点D对称， ∴CD＝BD﹣BC＝，DQ＝BD＝， ∴DF＝CF﹣CD＝＝DQ， ∴F为DQ中点． ∴PF垂直平分DQ． ∴PQ＝PD．
（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，
∵PD＝PQ，PF⊥DQ， ∴DF＝FQ＝x
∵四边形AHFC是矩形，
∴AH＝CF＝CD+DF＝（x﹣t）+x＝x﹣t， ∵△ACB∽△PAD， ∴＝， ∴＝， ∴PA＝，
∵△PAH∽△DAC， ∴＝， ∴＝， 解得x＝， ∴BD＝．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 28．（7分）系统找不到该试题
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