甘肃省兰州市2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理

高二年级数学(理科)

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分共150分，答题时间120分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）

1．已知函数f(x)x，在x0处函数极值的情况是 （ ） A．没有极值 B．有极大值 C．有极小值 D．极值情况不能确定 2( ) A．1＋i C．－1＋i

B．1－i D．－1－i

．

复

数

21i等于

3．设函数f(x)在x0可导，则limf(x0t)f(x03t)（ ）

t0t A．f'(x0) B．2f'(x0) C．4f'(x0) D．不能确定

4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a>0，那么这个演绎推理出( )

A．大前提 B．小前提 C．推理形式 5．观察下列数表规律

2→3 6→7 10→11

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ 0→1 4→5 8→9 12→…

D．没有出错

错

2

在

则数2007的箭头方向是 ( ) A．2007→

↑ C． ↑

B． ↓

2007→ D．→2007

→2007

3

2

2

↓

6．函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1处有极值10，则a，b的值为 ( )

a＝3，A.b＝－3

a＝－1，C.

b＝5

12

a＝－4，或b＝11

a＝－4，

B.

b＝11

D．以上都不对

7．给出下列命题：

①ʃbdx＝ʃadt＝b－a(a，b为常数且a③曲线y＝sinx，x∈[0,2π]与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，

其中正确命题的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 8．用数学归纳法证明不等式

D．3

0

2

ab1111*

＋＋…＋>(n>1，n∈N)的过程中，从n＝k到 n＋1n＋2n＋n2

n＝k＋1时左边需增加的代数式是 ( )

A.C.1

2k＋211＋ 2k＋12k＋2

11B. － 2k＋12k＋2D.1 2k＋1

9．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．

若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A—BCD中，若△BCD的中心为

AGGDM，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则

( )

A．1 B．2 C．3 D．4

AO等于 OM4处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 （ ）10．曲线y1x3x在点1， 33 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2

3931xa＋b2ab11．已知函数f(x)＝()，a，b是正实数，A＝f()，B＝f(ab)，C＝f()，则A、

22a＋bＡ．1

9B( )

、C的大小关系为

A．A≤B≤C B．A≤C≤B

C．B≤C≤A

12．下面为函数( )

π3π

A．(，) 223π5π

C．(，) 22

D．C≤B≤A

y＝xsinx＋cosx的递增区间的是

B．(π，2π) D．(2π，3π)

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．若复数z满足z(1＋i)＝1－i(i是虚数单位)，则其共轭复数z＝________. 14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为”，可猜想关于长方体的相应命题为_________________________________________． 16

15．已知函数f(x)＝x＋bx＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)

3

2

l2

3

①当x＝时函数取得极小值；

2②f(x)有两个极值点； ③c＝6；

④当x＝1时函数取得极大值．

16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．

1

三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18、 19、20、21、22每题12分，共70分。）

11 22111 3431111 477411111 51111115

17．(10分) （1）求曲线y2x在点（1，1）处的切线方程； x21（2）运动曲线方程为St12t2，求t=3时的速度.

t2

18．(12分) 求由曲线yx22与

19．(12分)已知a，b，c>0，且a＋b＋c＝1，求证： 1222

(1)a＋b＋c≥；

3(2)a＋b＋c≤3.

20. (12分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥

y3x，x0，x2所围成的平面图形的面积.

a.

求证：b与c是异面直线．

21．（12分）设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值． （1）求a、b的值；

3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围． （2）若对于任意的x[0，

2n12ann22．(12分)是否存在常数a，b，使等式＋＋…＋＝

1×33×52n12n1bn22

2

2对一切n∈N都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．

*

高二下学期期中数学(理科)试卷参考答案

一、选择题： 题号 答案

二、填空题：

13． i 14． 表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为()

61

15． ① 16．

191三、解答题：

C

B

C

A

D

B

B

B

C

A

A

C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

S32222(x21)2x2x22x2y'|0， 17．（1）y'，x122224(x1)(x1)即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0. 因此曲线y2x在（1，1）处的切线方程为y=1. x21t22t(t1)12t124t34t. （2）S'2'(2t)' 42tttt1226S'|t31211.

92727 18．

y解:由题意知阴影部分的面积是:222S=1(x23x)dx(3xx2)dx01 1332132132(x2xx)|0(xx2x)|13223 1

121212222

19． 解(1)∵a＋≥a，b＋≥b，c＋≥c，

939393111222

∴(a＋)＋(b＋)＋(c＋) 999

012x2222≥a＋b＋c＝. 33331222

∴a＋b＋c≥. 3

13

a＋

2

(2)∵a·≤b＋

21313

13

，

b·≤

1313

，

c＋

2

c·≤

三式相加得

，

abc11

＋＋≤(a＋b＋c)＋＝1，

23332

∴a＋b＋c≤3.

20.(12分) 证明 假设b，c不是异面直线，即b与c共面，设b与c确定的平面为γ，则γ∩α＝b，γ∩β＝c. ∵a∥c，a⊄γ，∴a∥γ.

又∵a⊂α，且α∩γ＝b，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾． 因此b与c不可能共面，故b与c是异面直线． 21．（Ⅰ）f(x)6x6ax3b，

因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有f(1)0，f(2)0．

2即66a3b0，

2412a3b0．解得a3，b4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x9x12x8c，

32f(x)6x218x126(x1)(x2)．

1)时，f(x)0； 当x(0，，2)时，f(x)0； 当x(13)时，f(x)0． 当x(2，所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．

则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c． 因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立， 所以 98cc， 解得 c1或c9，

21)因此c的取值范围为(，(9，)．

22．(12分)解 若存在常数a，b使等式成立， 则将n＝1，n＝2代入上式， 1a＋13＝b＋2，有144a＋23＋15＝2b＋2.得a＝1，b＝4， 12即有＋＋…＋1×33×5对于一切n∈N都成立． 证明如下：

11

(1)当n＝1时，左边＝＝，

1×331＋11

右边＝＝，所以等式成立．

4×1＋23

(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N)时等式成立，即 12＋＋…＋1×33×5当n＝k＋1时， 12＋＋…＋1×33×5

2

2

2

2

*2

*

2

2

n2

n－

n＋n2＋n＝ 4n＋2

k2

k－

k＋k2＋k＝， 4k＋2

k2

k－

2

k＋

＝＋k＋k＋

2

k＋

k2＋k＝＋4k＋2

k＋k＋

k＋

k＋1kk＋1

·(＋) 2k＋122k＋3k＋

k＋

，

k＋12k2＋5k＋2k＋1＝·＝·2k＋1k＋2k＋1

＝

k＋

k＋k＋

4k＋6

＝k＋

＋k＋

k＋＋2

2

也就是说，当n＝k＋1时，等式成立， 综上所述，等式对任何n∈N都成立．

*