第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 1.费马引理: 设函数在点的某个邻域内有定义，并且在 ，有 (或)，则. 证明：不妨设，有. 若 ，从而； ，从而 若 又在处可导，有，从而. 注： 1°.费马引理的几何意义:若曲线上某一点的纵坐标不比它左右邻近点的纵坐标小 (或大)，而曲线在这点又有非铅直的切线，则这条切线必定是水平的. 2°.称使函数导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点). 2.罗尔定理:若函数满足下列条件 (1).在闭区间上连续;(2).在开区间内可导;(3). ， 则至少存在一点，使 证明：根据费马引理，只需证明在内取得最大值和最小值即可 由闭区间上连续函数的最值性知：函数在 上一定取得最大值和最小值，这样只有两种情况： (1).若，则为常数，于是，有. 故，有. (2).若，则和中至少有一个不等于，不妨令，从而，因此只能在内取得最大值，即，使，即 ，从而由费马引理知 注： 1°.罗尔定理的几何意义:若闭区间上的连续曲线上每一点都存在非垂直的切 线，且在的两个端点处的函数值相等，则该曲线上至少有一点处的切线是水平的，即 平行于轴 2°.罗尔定理的三个条件只要有一个不满足，都不能保证结论成立，例如： ①．函数在闭区间上不连续； ②．函数在闭区间内不可导； ③．函数有； 它们在各自给定的开区间上不存在水平的切线 3°.罗尔定理的推广形式: 若函数在开区间内可导，且， 则至少存在一点，使 证明提示：设，则在上满足罗尔定理的条件 例1. 证明方程有且仅有一个小于1的正实根. 证明： (1).存在性：设，则在连续，且，，由介值定理知存在，使，即方程有小于1的正根， (2).唯一性：假设另有且,使，所以在以和为端点的区间上满足罗尔定理的条件，于是在和之间至少存在一点，使得. 时，，矛盾,所以假设不真 例2.设是可导函数，证明在的任意两个零点之间必有的零点. 证明：设是的两个零点，且，往证，使得 因为 ，所以只需证 ，使 . 令，则在闭区间上连续，在开区间 则由罗尔定理知，存在一点，使，从而. ，二、拉格朗日中值定理： 若函数满足下列条件 (1).在闭区间上连续; (2).在开区间内可导; 则至少存在一点，使证明：往证 ，作辅助函数显然在闭区间上连续，在开区间 ，由罗尔定理知至少存在一点，使得内可导，且 ,或写成. ，即 注： 1°. 拉格朗日中值定理几何意义：若闭区间上的连续曲线弧除端点外处处具有不垂直于轴的切线，则该曲线弧上至少有一点处的切线平行于过两个端点的直线. 2°. 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，(因为若，则有.)而拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 3°. 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推导：由于，所以 . ，令 ，则，于是有 . 若取与为上任意两个不同点，则在以和为端点的区间内，有 注：函数的微分给出了函数增量的近似公式：，一般说来，以近似代替时所产生的误差只有当时才趋于零；而有限增量公式函数却给出了自变量取得有限增量(不一定很小)时，增量的准确表达式 推论1：设函数在开区间内可导，， 函数在
内是常数 证明：充分性显然 必要性：任取，不妨令，在闭区间 ，使得,即，由和的任意性知在内是常数 推论2：若函数与在开区间内可导，且()，则在内恒有，其中为常数. 例3. . 证明：设，则在上满足拉格朗日中值定理条件，因此应有 ()， 即 . ，故() 三、柯西中值定
理：若函数与满足下列条件 (1).在闭区间上连续;(2).在开区间内可导;(3). ，; 则至少存在一点 ，显然在闭区间上连续，在开区间 ，由罗尔定理知至少存在一点 作辅助函数 内可导，且 ，即注： 1.柯西中值定理几何意义：若闭区间上的连续曲线弧： 有不垂直于轴的切线，则该曲线弧上至少有一点 f( 与弦F'( 相同，即切线平行于过两个端点的直线 2°. 拉格朗日中值是柯西中值定理的特例，因为若，则，， 思考题：柯西定理的下述证法对吗 由于函数与都满足拉格朗日中值定理的条件，于是 . 两个等式中的未必相同，故上述证法不正确 例4. 设函数在闭区间上连续，在开区间 ，使. ，而. 设，则与在 , ，即 例5. 试证至少存在一点，使. 证法一：用柯西中值定理 ， 令，，则与在上满足柯西中值定理条件, 因此至少存在一点 . ，即 证法二：用罗尔中值定理 ， 令，则在上满足罗尔中值定理条件, ，使，即总结：微分中值定理的应用 (1). 证明恒等式； (2). 证明不等式； ，从而有 (3). 证明有关中值问题的结论. 关键: 利用逆向思维设辅助函数 第二节 洛比达法则 型未定式的洛比达则(仅给出的情形，对于，也有类似的结论.) 定理 1.若函数与
在点的某去心邻域内满足： (1).； (2). 与在均可导，且； (3). (为有限数或)， 则 证明：不妨假设，在邻域内任取一点，则与在以 为端点的区间内满足柯西中值定理的条件，故在和之间至少存在一点，使 ， 从而 . 仍然是型未定式，且与满足定理1的条件，则 推论：若 ,且可以以此类推. 型未定式的洛比达则(仅给出的情形，对于，也有类似的
结论.) 定理 2.若函数与在点的某去心邻域内满足： (1). ； (2). 与在均可导，且； (3). (为有限数或)， 则 证明：， 整理得，故 三、其他未定式： 1. 型：取倒数 型； 2. 型：通分转化成； 3. 型、 型、型：取对数转化成型. 注： 1°.若 因而不存在时，求不能用洛比达法则，可能存在. 不存在，但. 例如： 2°.在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题 例如：，但实际上. 3°.在用洛必达法
则求极限时可结合无穷小量等价代换、重要极限等方法同时使用 例如：
例1. 例2. 例3. 例4. 例5. . 例6. 解： (1). 为正整数的情形. . (2). 不
为正整数的情形: 存在正整数，使当时，有，从 ，由 (1) 知，于是由夹逼准则知. . 例7.
例8. . 例9. 例10.
第四节 函数的单调性与凹凸性 一、函数的单调性 1. 单调函数：设函数在区间上有定义，若，只要 (或)，则称在上是单调增加(或单调减少 统称单调增加与单调减少的函数为单调函数； 称区间为函数的的单调区间. 2.函数单调性的判定法 定理1. 设函数在区间上连续，在区间内可导， (1). ，.在上单调增加. (2). ，.在上单调减少. 证明：只证明(1)的情形 充分性：任取，不妨令，在区间上应用拉格朗日中值定理，得 ，故，即在上单调增加，再由的任意性，有在上单调增加. 必要性：由于在上单调增加，则内可导，故注： 1°.单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点，即不可导点 例如, ， ，又在 ，但 2°.如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性. 例如, ，，但例1.确定函数的单调区间. 解：函数的定义域为，函数的导数为： ， 令，解得，， 于是被分成了三个子区间：、以及， 在内，，故在上单调增加； 在内，，故在上单调减少； 在内，，故在上单调增加. 例2. 证明：当时， . 证明：令，则 当时，故在上单调增加，从而， ，整理得 二、函数的凹凸与曲线的拐点 1.函数的凹凸性：设函数在区间上连续， (1).若对，恒有 ，则称在上是凹函数，或称 在上的图形是(向上)凹的 (2).若对，恒有 ，则称在上是凸函数，或称 在上的图形是(向上)凸的 2.曲线的拐点：若曲线在经过点时改变了凹凸性，则称点是曲线的一个拐点 直接利用定义判断函数的凹凸性比较困难，如果函数在区间内可导，可利用导数的单调性判断函数的凹凸性. 3.函数的凹凸性的判定 定理2. 设函数在区间内可导， (1).若导函数在内单调增加，则在区间上为凹函数. (2).若导函数在内单调减少，则在区间上为凸函数. 证明：只证(1)的情形证明 ，则，在和上分别应用拉格 ,不妨令,记 朗日中值定理，存在，，使得 ， ， 于是有，即在区间上为凹函数 由定理2直接得到如下的定理. 定理3. 设函数在区间内二阶可导， (1).若，，则在上为凹函数. (2).若，，则在上为凸函数. 注：拐点的判别法如下 若函数在点连续，或不存在，但在点两侧异号，则点是曲线的一个拐点. 例3. 判断曲线的凹凸性. 解：由于y' 1 ，，故曲线在上是凸的. x 例4. 判断曲线的凹凸性 解：由于，，当时，，故曲线在上是凹的；当时，，故曲线在上是凸的. 例5. 求曲线的凹凸区间及拐点. 解：函数的定义域为 ; 令，解得， 和 2 将区间分成三部分、0,，. 3 在内，，故该曲线在内是凹的； 在
0, 2
内，，故该曲线在0,3
2 内是凸的； 3 在内，，
故该曲线在内是凹的， 故点和是该曲线的两个拐点 例6.求曲线的拐点 解：函数在内有定义，当时，，.当时， y''都不存在. 将分成两个区间：； 在内，，故该曲线在时凹的； 在内，，故该曲线在时凸的； 于是点是该曲线的一个拐点. 思考题： 设在上，，
则，，或的大小顺序是 ( B ). A．； B. ； C. ； D．. 提示： 单调增加 ；. 第五节 函数的极值与最值 一、函数的极值及其求法 1. 函数极值的定义: 设函数在内有定义，点，若存在 ，对，若，则称是的极大值点，称 的极大值.若，则称是的极小值点，称是的极小值 极大值点与极小值点统称为极值点. 注： 1°.函数的极值是函数的局部性质 2°.可导函数的极值点一定是其驻点(费马引理)，但反之未必， 例如：对函数，是其驻点，但不是其极值点，因为是单调增加的. 3°.连续函数的
极值点还可能在不可导点处取得，但反之未必，即连续函数的不可导点也不一定都是极值点， 例如：对函数，是其不可导点，但在取得极小值 例如：对函数，是其不可导点，但在的任何邻域内，函数既有正值又有负值 可能极值点：称函数的驻点及不可导点为函数的可能极值点. 2.函数极值的判别方法 定理1(第一判别法)：设函数在点的某邻域内连续，在内可导， (1).若时，，而时，，则在点 大值 (2).若时，，而时，，则在点 小值 (3).若时，的符号保持不变，则在点处没有极值 证明：(1). 时，.在内单调增加，故， 时，.在内单调减少，故，因此在点处取得极大值.类似可证(2)、(3). 注：求函数极值的步骤. (1).求出 (2).求出的所有驻点及不可导点； (3).考察在每个驻点的左右两侧是否变号，判定它们是否为极值点，若是极值点，判断出是极大值点还是极小值点. (4).求出的极值 例1. 求函数的极值 解：(1).当时，. (2).令，得驻点，是的不可导点 (3).在内，；在内，，故不可导点是 大值点.又在内，，故驻点是的一个极小值点 (4).极大值为；极小值为 我们还可以利用二阶导数在驻点处的符号判定驻点是否为极值点 定理2(第二判别法)：设函数在点处具有二阶导数且，， (1).若时，则在点处取得极大值. (2).若，则在点处取得极小值. 证明： (1).由于，按二阶导数的定义有 局部保号性，当在 ，但 .由此可见，在此邻域内，当时，；当时，，于是由 第一判别法知在点处取得极大值 注：若在驻点处，则用第二判别法无法判定是否为极值点，此时或者借助于更高阶的导数，或者用第一判别法判定驻点是否为极值点. 定理3 (判别法的推广) 设函数在点具有直到阶导数，且 ，， (1).若为偶数，则为极值点，且当时，是的极小值点；当时，是的极大值点. (2).若为奇数，则不是极值点 ，当充分证明：利用在点的泰勒公式得 接近时, 上式左端正负号由右端第一项确定, 故结论正确. 例2. 求函数的极值. 解： (1).求导
数：,
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