应力状态强度理论
1.图示单元体，试求 (1) 指定斜截而丄的应力；
(2) 主应力大小及主平而位置，并将主平而标在单元体上。
F
max bmin
81.98 -121.98
a = 81.98 MPa, MPa = -121.98 MPa 40 2.某点应力状态如图示。试求该点的主应力。 解：取合适坐标轴令6=25 MPa, rx =-129.9 MPa 120\" Cc -- ----- sin 2a + T cos 2a = 0 得 = -125 MPa 2 - rr/ = ----- sin + rv cos2a =-32.7 MPa £ X -50 ± 加 +(—129.9)2 = _50 ±150 MPa -200 100 6=100 MPa, (r2 = 0 , 6=-200 MPa 3.—点处两个互成45°平面上的应力如图所示, 其屮<7未知，求该点主应力。 解：b、=150 MPa,「=—120 MPa y x 由 r = ----------- sin 2Q +「cos 2a = —~~— = -80 45 2 2 得 6 =-10 MPa 150 MPa cr cr + cr 所以 max= __ ± 2 214.22 MPa 一 74.22 6=214.22 MPa, cr2 = 0, 外力偶矩M“=0・192 kN-mo求靠圆筒内壁任一点处的主应力。 解・・r常九严停 32 a=^- = 5Q MPa x 4t 100.7 49.35 MPa 6=100.7 MPa, 6=49.35 MPa, (r3 = -4 MPa 5.受力体某点平面JL的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使6 TOO MPa, TX =20 MPa •I (7 + CT (7—(7 1 °°-t£ 4-2 2 a100 ~ cos 120° - 20sin 120° 40 crv = 43.1 MPa 106.33 MPa 36.77 (7] = 106.33MPa, cr2 = 36.77 MPa, a3 =0 6. 某点的应力状态如图示，求该点的主应力及最大切应力。 解: 詈±后吋=5±47吩_；：6丽 所以=52.2MPa, cr2 =10MPa, = 47.2 MPa 150 kN 7. 图示工字形截面梁AB ,截面的惯性 矩 /_= 72.56x10\" m 1 2 3 4 ,求固定端截面 翼缘 / ------ 0.75 m 140 和腹板交界处点。的主应力和主方向。 <7, =2.03 MPa, cr2 = 0, 6= —3&2 MPa =77.05° 解 ： 6=0，f 6 —+a 2 F (6Z = 45°) 2hh 1 . ( _2宥 1 , -2x8.8 : —arctan( ------ —) = — arctan -------- 2 2 36.17 人 r 8. 图示矩形截面拉杆受轴向拉力F,若截面 尺寸方、力和材料的弹性模量E,泊 松比1/均已知，试求杆表面45。方向线段4B的改变量£〃=? 所以门（去 AL AH 2Eb 9. 一・边长为50 mm的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应.力r = 80 MPa,并 己知材料的弹性模量E = 72 GPa,泊松比v = 0.34 □试求对角线AC的仲长量。 解：=80 MPa, %r=-80MPa ^^ =(80+034x80)=148xl0_3 - LAC = 5A/2 AL/1C = 5V2 x 1.48x10 3 = 0.00105 mm 10. 一变形体A四周和底边均与刚性边界光滑接触，JL边受均布压力\"）。已知材 az , £, =6=0 y \"扣「心5）20,得到…严答 1川iinm © A X J=寸勺-佔+罚=- X怨）］一卡（1 -芒） 11・设地层由石灰岩组成，其密度/? = 2.5x10’ kg/m3,泊松比v = 0.2。计算离 7/〃/〃///〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃〃〃地面200m深处的地压应力。 解：o-v = -2.5 x 10 x 9.8 x 200 = -4.9 MPa b, 心=乞=0 3 /〃〃/ 、 a > 200 m 务=¥【6 —0.2x(—4.9 + s)] = 0 E 得至lj 4 12. 一体积为10x10x10 mn?的立方铝块，将其放入宽为10 mm的刚性槽屮。 己知铝的泊松比\" = 0.33,求铝块的三个主应力。 角军： b? = - & — = —60 MPa, 6=0 3 0.01x0.01 由 &二丄(6+0.33x60) = 0 得 6=-19.8MPa E 13. 直径为D的实心圆轴，受外力偶收作用如图。测得轴表而点A与轴线成45。 方向的线应变为s 试导出用M*、D、£表示的切变弹性模量G的表达式。 解：°\\4亍=厂'°；5。= 一厂 £ =丄(1 + v)r ,所以厂=2GE 16叽 4? E 7lD3 ，所以G = 8叽 TTD'E 14. 直径d = 100 mm的圆轴，受轴向拉力F和力偶矩作用。材料的弹性模量 £ = 200 GPa,泊松比v = 0.3o现测得圆轴表而的轴向线应变£0 = 500xl0'6, 45° 方向的线应变％ =400x10“，求F和M,。 解：F = £^0 • A = 785 kN 设力偶矩引起的切应力为r + % £-45 = (cr J [(50 + r)xl0 -0.3x(50-r)xl0] ? 200x10 = 400x10“ T = 34.6 MPa, 16M 71X(0.1)3 Me =6.8 kN • m 15. 直径d = 100 mm的实心钢球，受静水压力p = 42 MPa作用。求直径和体积 的 缩减量。设钢球的弹性模量E = 210 GPa,泊松比1/ = 0.3。 解：因为 6 = cr? = 6 = —q = —42 MPa 所以&= +6 +6)= _U_2XO3)X3X42 = _0.24X]0-3 3 「 210xl0 E 1 1 斫=—[CT. - \"(6 + 6)] = ------- —v = -8x 10-> E ・- 210x10’ 得 =0 =-0.24x10* xfjxlOO'=-1.257x10-2 mm3 6 Ad = £\\d = -8x10\"\" x 100 = -8x 10~3 mm 16. 边长a = 100mm的立方体,已知弹性模量E = 200 GPa,泊松比“ = 0.3。如 将 立方体沉入100 m深的水屮，求其体积变化。 解：因为 =勺=內=-pgh = -1 MPa e =上土(6 + 6 + 6)= \"二°1(-3) = -6xl0~ X 5 6 7 E 2 3 丿 200 X103 1 AV=6V = --6X10_6X0.1X0」x0.1 = —6 mm3 B P A 17.图示拉杆,F , b , h及材料的弹性常数E、 均为已知。试求线段AB的正应变和转角。 仞 F F Prr • b — , b “ 一 CT 。一 bh 4? & 2bh I p 所以 F — Fv 又因为=厶，亠 % bhE 〉 bhE z F vF . F(1 + v) 18.图示曲拐ABC在水平面内，悬臂端C处作用 铅垂集屮力F o在上表面E处，沿与母线成45。方 向贴一应变片，已测得线应变6“，求载荷F值。 已知长度人宀 直径d及材料的常数E. vo 、 32FI \\6Fa 解：应力状态如图示, cr = --- - , r = ------- - 7ld 3 7U1' <7 (7 f = 一 + J， b 半。= ------- T 45 4? 2 2 所以备。二万(勺5。_\"・*) 所以\"16/(1 7)+临(1 +叭 19. 三个弹性常数之间的关系:G = E/[2(l + i/)]适用于 (A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段； (C)各向同性材料应力在比例极限范围内；(D)任何材料在弹性变形范囤内。 答：C 20. —实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态。 (A)单向拉伸应力状态； (C)三向等值拉伸应力状态； 答：C (B)二向拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。 21. 混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板而上涂有润滑剂， 则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。 (A)最大压应力；(B)最大切应力；(C)最大伸长线应变；(D)存在横向拉应力。 答：C 22. 已知单元体的主应力为㈢，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为 常数。 证: =臼- ；3 + ? -f「 cos 2(Q + 90。) 得证。 兀+ = 6 + s =常数 3 23. 受内压的薄壁圆筒，已旬内压为”，平均直 径为D ,壁厚为弹性常数为E、Vo试确定圆 筒薄壁上 任一点的主应力、主应变及第三、第四 强度理论的相当应力。 解：6二巫,6=世，6=0 13 2t - 4t ° =丄(6 -vcrj = -(—-V—) = -^-(2-y) E ' ・ E 2t 4t 4fE pD、 PD i尹 4tE 6 -心+心]冷[0\"竽“弓泸 —[(cr, ~(r2) +(CT2 -cr3) +(cr3 -Cj)] = 2 2 2 24. 图示正方形截面棱柱体，弹性常数E、1/均为已知。试比较在下列两种情况 '〃//〃/ 下的相当应力CD。 W////Z (a) 棱柱体自由受压； (b) 棱柱体在刚性方模内受压。 角军：(a) b] = ”2 = 0 , cr, = -a 〉〃 V//////// (a) 力 7/ '//〃〃〃〃〃/〃/〃》 (b)6 = b] — 6 = b ( 7 cy 1 H Illi 川 所以 v(y (1-v) 工+ b = ILz^ (1一“) (l-v) 25.图示重VV = 1800 N的信号牌，受最大水平风力 F = 4Q0 N,立柱直径d = 60 mm。试用第三强度理论计 算立柱 危险点处的相当应力。 . W M 解： T - 9.43 MPa crr3 = 5 一q = + ” = A/CT2 +4r2 = 104.4 MPa 26.纯剪切状态的单元体如图，则其第三强度理论相半应力 为 _______________ O 答：63=2。 27.图示单元体所示的应力状态按第四强度理论，其相 当应力c口为： (A)3b/2； (C)V7cr/2； 答：C (B)a/2； (D)V5 态,有 crr3 / af.4 = ________________ 答：2/V3 /\\20 29.按第三强度理论计算图示单元体的相当应 力6・3 = ------------------ ° 30 MPa 50 MPa 答：60 MPa 30.图示单元体，第三、四强度理论的相当应力分别为 (J r3 = -------------------------------- ， 22 +3r 2 31.图示为承受气体压力p的封闭薄壁圆筒，平均直径为D,壁厚为f,气体压 强p均为已知，用第三强度理论校核筒壁强度 的相当应力为6 = ___________ 答: 32.铸铁轴向受压时，沿图示斜而破坏，试用莫尔强度理论解释 该破坏而与竖直线夹角（P应大于45。还是小于45° ? 证：利用莫尔理论作极限莫尔圆、包络线和应力圆与单元体间 的对应关系来解释。单元体上的O - O面对应于应力圆上的点 O,以此为基准面及基准点。根据莫尔理论由极限莫尔圆得到 的包络线与单向受压极限莫尔圆 的交点G （即破坏点）可以观出 OG圆弧对应的圆心角 2©＜兀 /2。由点面对应关系而知 这吋在单元体上的破裂面与竖直 线间的夹角© ＜兀/4。 33.试用强度理论证明铸铁在单向压缩时的强度条件为＜7＜[＜r-]o 证：6=0, cr3 = ~(y 所以 6 启 [b ] 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容