基于APOS理论的二面角概念教学片段设计

基于APOS理论的二面角概念教学片段设计

作者：张婷 贺媛 唐俐

来源：《课程教育研究·学法教法研究》2019年第16期

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

【摘 要】APOS理论是由美国的杜宾斯基致力于帮助学生更好的理解教学而建立的数学概念教学模式[1]。二面角是高中空间几何中极其重要的内容，但也是抽象的、多变的、难理解的。本文在传统教学基础上反思创新，将APOS理论与二面角概念巧妙融合，为二面角的教学提供、可靠、深刻的理论基础。

【关键词】APOS理论;二面角概念;二面角教学 【中图分类号】G427 ;;;;;;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）16-0016-02 一、APOS教学设计要素 1.活动阶段设计。

这一阶段主要是通过一系列“活动”让同学获取对概念的感性认识，活动可以是具体的、外显性的，如操作、实验、推理等等，外在活动一般不可缺少的环节为（1）创设问题情境（2）选择学习活动的教学素材：素材一般来源于生活，这样更加符合学生的认知水平。（3）确定活动的方式：活动方式可以多种多样，比如实验法，教学信息技术等。

内在的活动可以是学习者内部火热理性思维过程，如观察、思辨、猜想、判断等。 2.过程阶段设计。

在活动阶段之后，需对操作对象进行比较，反思等思维操作，分为三个阶段：（1）反思阶段;（2）组织数学语言;（3）形成数学概念。 3.对象活动阶段。

该阶段又可以细化为三个小阶段：（1）概括概念：通过前两个阶段的教学，分析概括出概念。（2）辨析概念：通过一题多变等教学，改变概念的非本质特征，掌握概念特有的回归本质的属性;（3）列举正反例：通过正反例的对比，加深学习者对概念本质的掌握[3]。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

4.图式阶段设计。

本阶段是对概念进行更高级别的加工和整合处理，对概念的认识进一步加强，本阶段抽象概括概念的本质属性。

二、二面角概念片段教学设计 1.核心素养下的教学目标。

知识与技能目标：掌握二面角的概念，能独立作出简单图形的二面角。

过程与方法目标：经历二面角的生成性过程;掌握由二面角转化为平面角的转化方法;利用类比加深二面角的平面角的定义[4]。

情感与态度目标：采用合作探究方法，促进学生合作探究意识培养，让学生体会立体几何美。

重点：二面角的平面角的定义。

难点：二面角的概念以及如何做出已知图形的二面角。 2.基于APOS理论的二面角教学片段。 第一阶段 活动（Action）阶段

老师：如图，同学们你们看这几个图有什么共同的属性？ 学生：都有两个面. 并且两个面之间都有一个夹角。 老师：不错，你们还能想到那些生活中类似的图形。 学生：打开的笔记本，打开的数学课本，屋顶上的太阳能…… （学生积极发言，老师多媒体展示二面角的更多例子）

活动阶段设计意图：从生活案例出发，利用情境教学，从学生认知的常规景象出发，学生在此过程中慢慢抽象出自己头脑中的模型，对二面角有了感性认识，但此时学生还未能理解这类图形的本质属性。

第二阶段：过程（Process）阶段

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

老师：观察这上面给定的图形的共同特点，刚我们说了图形有两个面，两个面有什么关系？

学生：两个面之间有条公共线，两个面之间有夹角。这个角和我们之前学过的平面角相似但又不一样，它不在同一个平面上。

老师：正方形中两个平面之间的公共线叫棱，那么我们这里的图形两个平面之间的公共线叫什么？

学生：也叫棱，因为也是两个面之间的公共线。

老师：不错，太棒了！现在同学们思考下，类比点分直线，如果平面被一条直线分成两部分，每部分称为什么？

学生：依然是个平面，叫射平面。

老师：同学们想法很合理，但是在数学上，我们把每个面叫做半平面。 老师：类比平面角，由两个半平面形成的角叫什么？ 学生：半平面角。

老师：数学上，我们规定它叫二面角。总结下刚才结论得到二面角有两个半平面，有棱。我们下一步是总结二面角的概念。 老师：类比角的定义给二面角下定义。

学生：知道了，类比得到二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所形成的图形叫做二面角，其中这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

老师根据学生归纳进行补充说明，准确给出二面角的定义，为进一步讓学生完整的、系统的、深刻的理解二面角，将角与二面角进行对比。 过程阶段设计意图：

在教学过程中启发学生思辨、讨论。引导学生用联系的、发展的眼光看待事物，引导学生以“旧知”类比“新知”，得出二面角的定义，凸现了“降维，化归”的数学思想方法。 第三阶段：对象（Object）阶段

老师：观察图2几个二面角，大家有什么发现？

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

学生：二面角的大小不一样。

老师：不错，下面思考我们怎么去求解二面角的大小？

学生：平面角可以用量角器去度量，那么二面角也可以用量角器去度量。

老师：通过上图3我们发现，二面角是不能用量角器去度量的，前几节我们已经学了空间两个重要的角：异面直接所形成的角和直线与平面所形成的角，类比这两个角，思考怎样解决二面角？

学生：那么应该运用转化的手段，把空间二面角转化成平面角进行求解。 老师：类比平面角的顶点和边，如何确定二面角的顶点和两边？ 学生：顶点放在公共边上，两边分别在两组二面角的两个平面内。 老师：请同学画出这个图4中二面角的平面角。（学生自主完成）

学生：发现这样可以画好多角，且每个角的大小不同，所以二面角是不能用这些角去度量的。

老师：对，所有我们需要对条件进行限制来缩短二面角的范围。 学生：作与棱垂直的线。

观察发现，图5这样的二面角的平面角是等角的，但也有无数个，确定方法为以棱上任意一点为端点，在兩个平面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所形成的角叫做二面角的平面角。

对象阶段教学设计意图：

通过思考，讨论，类比，将二面角求法转化为平面角，让学生充分体会到了转化的思想，掌握找二面角的方法，渗透学生分析问题能力的培养。 第四阶段：图式阶段

老师：总结下二面角的平面角的基本特征。 学生：1.顶点在棱上 2.两边分别在两个半平面内。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

3.两边都与二面角的棱垂直。

老师：类比直线与直线夹角范围一样，同学们讨论下二面角的取值范围。 学生：二面角的范围0°到180°。

例：正方体A1B1C1D1-ABCD中，画出二面角面C1-BD-C的平面角。 （学生自发讨论，但没有明确的解题思路） 老师：现在公共棱是哪一条？

学生：棱是BD，所以需要做两个半平面C1BD和CBD都关于棱垂直的垂线。现在重点是找出棱上那个点O。以O为垂足往两个半平面上做垂线，则二面角的平面角就是两条垂线的夹角。

老师：大家发现C1B和C1D有何关系？CD和CB有何关系？

学生：相等，找BD的中点O，连接CO和C1O，由特殊三角形的性质，∠C1OC即为所求二面角的平面角。

老师：很好，自己好好体会如何在空间几何图形中找二面角的方法。

图式阶段设计意图：通过变式训练，加强学生对二面角的知识理解，老师通过例1和例2的训练，让学生加深巩固二面角的基本性质和基本概念，学生在学习了整个APOS理论教学之后，头脑中已有对二面角的图式，能抓住概念的内涵，整个过程生动传神的让学生掌握系统的、理论性，严密的几何知识体系。 三、教学反思

将APOS理论与二面角概念教学结合起来，教学过程中注重概念的生成性和过程性。二面角是学生接触的新的概念，通过在“平面几何”与“立体几何”之间架起一条思维通道。通过具体事例引入，为学生构建知识的归纳、概括过程，使教学过程与学生认知事物的一般过程相吻合，在教学过程中给学生逐步渗透降维、化归、类比的数学思想。 参考文献

[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.