函数单调性的习题及答案

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 A．y=2x＋1

C．y=

B．y=3x2＋1 D．y=2x2＋x＋1

〔 〕

2 x

2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，

则f(1)等于 〔 〕 A．－7 B．1 C．17 D．25 9．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是

A．(,0],(,1]

C．[0,),(,1]

〔 〕

B．(,0],[1,) D[0,),[1,)

10．已知函数fxx22a1x2在区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是〔 〕

A．a≤3

B．a≥－3

C．a≤5

D．a≥3

10．已知函数fxx22a1x2的单调递减区间,4上是减函数，则实数a的取值范围是〔 〕 A．a≤3 B．a≥－3 C．a≤5

二、填空题：

13．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．

D．a≥3

14．函数y=x－21x＋2的值域为__ ___． 15、设yfx是R上的减函数，则yfx3的单调递减区间为 .

16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__ ． 三、解答题：

17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f( 〔1〕求f(1)的值．

〔2〕假设f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(

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x) = f(x)－f(y) y1) ＜2 ． x

18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是

减函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f(x)=1x2在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f(x)=x21－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．

21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值

范围．

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x22xa22．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

x1〔1〕当a=时，求函数f(x)的最小值；

2〔2〕假设对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题： CDBBD ADCCA BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.3,， ,

21三、解答题：17.解析：①在等式中令xy0，则f(1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则f(36)f(36)f(6),f(36)2f(6)2. 6故原不等式为：f(x3)f()f(36),即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

1xx3011533故不等式等价于：00x.

2x0x(x3)3618.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋

x2232

)＋x2］．

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∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋

x2232

)＋x2＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

42∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．

f(x1)－f(x2)=1x1－1x2=

22(1x1)(1x2)1x11x22222=

(x2x1)(x2x1)1x11x222

∵x2－x1＞0，1x11x2＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)． 当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．

故f(x)=1x2在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=1x2在区间［0，1］上是减函数．

20.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)=x11－x21－a(x1－x2)=

2222x1x22222－a(x1－x2)

x11x21=(x1－x2)(

x1x2x11x2122－a)

(1)当a≥1时，∵

x1x2x11x2122＜1，

又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中

2a，满足f(x1)=f(x2)=1 1a2x1x2x11x2122＜1利用了x11＞|x1|≥x1;x21＞x2；

22③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的表达．

21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

1m32m12123121∴212m2,即m 解得m，∴m的取值范围是(－,)

22323m112m22m3学习文档 仅供参考

22.解析： (1)当a=

11时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞) 22xxx2111x1=(x2－x1)＋1=(x2－x1)(1－) 2x22x12x1x22x1x21＞0，则f(x2)＞f(x1) 2x1x2设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋

∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－

可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=

7． 2x22xa(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立

x设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．

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