基于Matlab的控制系统稳定性分析 一． 课程设计的目的 Matlab技术课程设计是利用Matlab应用软件的基础知识和基本程序设计方法，解决先修专业课程中数字信号处理的实际应用问题。 从而加深对理论知识的掌握，并把所学的知识系统、高效的贯穿到实践中来，避免理论与实践的脱离。同时提高独立编程水平，并在实践中不断完善理论基础，有助于培养综合能力。 二．设计方案论证 基于Matlab建立线性时不变系统的数学模型，Matlab已将LTI系统的各种模型封装成统一的LTI对象 。再通过Matlab用时域分析法、频域分析法和根轨迹分析法分析并比较系统的稳定性和快速性。 1. 时域分析法是分析线性定常控制系统的一种基本而直接的方法。其要点是：首先建立系统的微分方程式或传递函数；其次选择典型的输入信号，求系统输出随时间而变化的关系，即求系统输出的时间响应；最后根据这种时间响应确定系统的性能指标，包括暂态指标与稳态指标，看这些指标是否符合要求。 对于一个稳定的线性定常控制系统，其输入信号的时域响应由暂态响应和稳态响应两部分组成。哲态响应描述系统的动态性能，而稳态响应则反映系统的稳态精度。时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点t并可以提供系统时间域响应的全部信息。时域分析是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观和准确的优点。它是根据控制系统输入与输出之间的时域表达式，分析系统的稳定性、 沈 阳 大 学
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瞬态过程和稳态误差。控制系统最常用的分析方法有两种：一是当输入信号为单位阶跃时，求出系统的响应；二是当输入信号为单位冲激函数时，求出系统的响应。 在初始条件为零时，一般利用传递函数进行研究，由传递函数研究系统的特性，可以简便快速地得到系统的各种时域性能指标。 2. 所谓根轨迹，就是指当开环系统的某一参数变化时，其相应的闭环特征方程的根在[s]平面上移动的轨迹。根轨迹法是用图解方法表示特征方程的根与变化参数的全部数值关系的方法。上述变化参数通常取开环增益，采用开环传递函数中的任何其他变量也是可以的在控制系统分析中，为了避开直接求解高阶多项式的根时遇到的困难，在实践中提出了一种图解求根法，即根轨迹法。所谓根轨迹是指当系统的某一个(或几个)参数从－∞到＋∞时，闭环特征方程的根在复平面上描绘的一些曲线。应用这些曲线，可以根据某个参数确定相应的特征根。在根轨迹法中，一般取系统的开环放大倍数K作为可变参数，利用它来反映出开环系统零极点与闭环系统极点(特征根)之间的关系。 根轨迹可以分析系统参数和结构已定的系统的时域响应特性，以及参数变化对时域响应特性的影响，而且还可以根据对时域响应特性的要求确定可变参数及调整开环系统零极点的位置，并改变它们的个数，也就是说根轨迹法可用于解决线性系统的分析与综合问题。 3. 频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种经典方法。 频率分析法主要包括三种方法：Bode图(幅频/相频特性曲线)； Nyquist曲线；Nichols图。采用这些方法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于诸如防止结构谐振，抑制噪声、改善系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确的看出其物理实质和解决途径。在频率响应分析法中，把控制系统中的各变量看成一些信号。一个控制系统的控制过程就是信号在各环节间依次传递的过程，而每个信号又是由一些不同频率的正弦信号合成的。这些不同频率的正弦信号的振幅和相角在传递过程中，依一定的函数关系变化，于是就产生了形式多样的运动。因此，频率响应分析法(即频域法)是通过研究系统对正弦输人信号的稳态响应，来分析系统的性能。可应用于开环系统、闭 沈 阳 大 学
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环系统及各环节的性能分析中。运用奈奎斯特稳定判据，通过作图方法，可以根据系统开环频率特性分析闭环系统的稳定性，而不必求解出系统的特征根，从而避免了直接求解微分方程的困难。频率法主要应用于单输人一单输出的线性定常系统的分析研究中，在多输人 多输出的线性定常系统中也有应用。但在非线性系统中只有某些局部而典型的应用，它不能对非线性系统进行全面的分析。从根本上说它不可能成为研究和设计非线性控制系统的得力工具，这正是它主要的局限性。 4.设计步骤 1）根据系统微分方程写出系统传递函数建立LTI模型。 2）编写源程序。 3）用MATLAB对系统分别进行时域，根轨迹，频域分析。 3)从分析结果中判断系统稳定性和快速性。 三、结果与分析 dy(t)3y(t)3x(t)1. LTI系统dt：I系统 1）源程序：>> t=-2:0.01:5; ft=(t>=0); plot(t-2,ft) s1=tf(3,[1,3,0]) sys=feedback(s1,1); t=0:0.01:30; step(sys,t) 沈 阳 大 学
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s1=tf(3,[1,3,0]) figure(2),rlocus(s1) rlocfind(s1); s1=tf(3,[1,3,0]) sb=feedback(s1,1); figure(3),bode(s1,'--',sb,'.-') damp(sb) [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(s1) 其中：Gm为增益裕度、Pm为相位裕度和相应的穿越频率wcg,wcp。 3）图形： 沈 阳 大 学
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I系统单位阶跃响应 沈 阳 大 学
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I系统根轨迹作图 沈 阳 大 学
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I系统波德图 d2y(t)dy(t)d2x(t)34y(t)5x(t)22dtdt2. LTI系统dt：II系统 1）源程序：>> t=-2:0.01:5; ft=(t>=0); plot(t-2,ft) s1=tf([1,0,5,0], [3,4,1,0]) sys=feedback(s1,1); t=0:0.01:30; 沈 阳 大 学
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step(sys,t) s1=tf([1,0,5,0], [3,4,1,0]) figure(2),rlocus(s1) rlocfind(s1); s1=tf([1,0,5,0], [3,4,1,0]) sb=feedback(s1,1); figure(3),bode(s1,'--',sb,'.-') damp(sb) [Gm,Pm,wcg,wcp]=margin(s1) 其中：Gm为增益裕度、Pm为相位裕度和相应的穿越频率wcg,wcp。 3）图形： 沈 阳 大 学
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II系统单位阶跃响应 II系统根轨迹作图 沈 阳 大 学
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II系统波德图 3.两系统分析： 1） 从时域分析：I系统比II系统稳定性和快速性好。 2） 从根轨迹分析：I系统是在（-3，0）条件下稳定，II系统是完全稳定系统。 3） 从频域分析：I系统比II系统的增益裕度Gm和相位裕度Pm大。 四、设计体会 通过此次课程设计培养我们综合运用所学知识,发现,提出,分析和解决实际问题,锻炼实 沈 阳 大 学
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践能力的重要环节,是对我们实际工作能力的具体训练和考察过程.随着科学技术发展的日新月异，作为电子专业的大学来说掌握Matlab软件的应用是十分重要的。 回顾起此次课程设计，至今我仍感慨颇多，的确，从找资料，设计到定稿，从理论到实践，在整整一星期的日子里，可以说得是苦多于甜，但是可以学到很多很多的的东西，同时不仅可以巩固以前所学过的知识，而且学到了很多在书本上所没有学到过的知识。通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固。通过这次课程设计之后，一定把以前所学过的知识重新温故。 这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很多问题，最后在老师的辛勤指导下，终于迎刃而解。同时，在老师的身上我也学得到很多实用的知识，在这次课程设计中也为我今后的学习和工作打下了坚实的基础。 五、参考文献 [1] 谢克明. 自动控制原理探索[J] 重庆技术学报, 2007.08 [2] 吴大正. MATLAB的应用[J] 西南交通大学, 2007.06 [3] 黄中霖.基于MATLAB对控制系统分析[J] 上海大学, 2007.04 [4] 陈小林. 自动控制原理[M] 电子工业出版社 2005.07 [5] 陈怀琛. MATLAB及在电子信息课程中的应用（第三版）[M] 电子工业出版社 2006.04 沈 阳 大 学
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[6] 魏克新. MATLAB语言与自动控制系统设计[M] 机械工业出版社 2004.3 [7] 李涛.MATLAB基础与应用[M] 北京航空航天大学出版社 2007.07 沈 阳 大 学
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