复数专题复习

【基础知识回顾】

一、复数的概念及运算：

1、复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数。 （1）虚数单位i；

（2）实部：a，虚部：b；

（3）复数的分类(zabi)实数(b0)有理数无理数a,bR； 虚数(b0)纯虚数(a0)非纯虚数(a0)（4）相等的复数：

a＋bi＝c＋di⇔________(a，b，c，d∈R)．

(5)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔_____ __(a，b，c，d∈R)． 即 a＋bi的共轭复数是 。 (6)复数的模：

向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，

即 |z|＝|a＋bi|＝____ __. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi

复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i (a，b，c，d∈R)， 则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_____ __ ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_____ ____ ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝_________ ___ ④除法：z1a＋biaz＝＋di＝＋bic－dic＋dic－di＝__ ______

2c (2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1， (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

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4.复数的共轭及模的性质：

（1）zRzz；z是纯虚数zz，反之不成立； （2）z与z关于x轴对称，z=z.

＊

（3）复数共轭运算性质：z1z2z1z2,z1z2z1z2,（4）复数模的运算性质：

z1z1. z2z2z12z1n z1z2z1zz,(z20),znz； zzz。

z2z25、 重要结论

（1） 对复数z 、z1、z2和自然数m、n，有 zzz12mnmn，(zm)nzmn，(z1z2)nz1z2

34nn(2) ii，i1，ii，i1； i4n11，i4n21，i4n3i，i4n1.

1i1ii，i. 1i1i(3) (1i)2i，

2(4)设13i22nn123n3nn20 ，，，10，，2二、复数中的方程问题：

1、实系数一元二次方程的根的情况：

22对方程axbxc0（其中a,b,cR且a0），令b4ac，

当0时，方程有两个不相等的实数根。 当=0时，方程有两个相等的实根； 当0时，方程有两个共轭虚根：x12、复系数一元二次方程根的情况： 对方程axbxc0,x2bibi,x2。

22b的平方根；

2a3、一元二次方程的根与系数的关系：

- 2 -

若方程ax2bxc0（其中a,b,cR且a0）的两个根为xxx1x2b1、2，则a xc1x2a

【热身练习】

1．(2015·全国卷Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( ) A．－2－i B．－2＋i C、2－i D．2＋i

2．(2016·郑州质量预测)设i是虚数单位，若复数m＋10

3＋i(m∈R)是纯虚数，则m的值为( A、－3 B．－1 C．1 D．3

3．(习题改)如果实数x,y满足(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则x＝____，y＝_____. 4．(习题改)ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i， －i,2＋i，则点D对应的复数为________．

5．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．

【典例剖析】

考点一 复数的有关概念

【例1】1．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且2＋ai

1＋i

＝3＋i，则a＝( )

A．－4 B．－3 C．3 D、4 2．(2016·九江模拟)设复数z＝2－i

1＋i

，则z的共轭复数为( )

A.12－32i B、12＋3

2

i C．1－3i D．1＋3i

3.【2015高考广东，理2】若复数zi32i ( i是虚数单位 )，则z（ ） A．32i B．32i C．23i D、23i 【变式突破】

1．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－z)·z|＝( ) A、10 B．2 C.2 D．1 2．(2014·天津高考)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i

＝( )

A、1－i B．－1＋i C.17311725

25＋25 i D．－7＋7

i )

- 3 -

3．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________． 考点二 复数的几何意义

1－i【例2】1．(2016·长春质检)复数的共轭复数对应的点位于( )

2－i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5i

2．(2015·郑州质量预测)在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应

1＋2i的复数为( )

A．1＋2i B．1－2i C、－2＋i D．2＋i 【变式突破】

1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C， 若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．

2.(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数2i

1－i在复平面内所对应的点位于( )

A．第一象限 B、第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．计算：(1)－1＋i2＋ii3； (2)1＋2i2＋31－i

2＋i

；

考点三 复数的代数运算 【例3】

．(2015·湖南高考)已知1－i2

1z

＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )

A．1＋i B．1－ i C．－1＋i D、－1－i 2．(2016·吉林实验中学)设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2

z

＋z2＝( )

A、1＋i B．1－ i C．－1－i D．－1＋i 3. (1)1－i1＋i1＋i1－i； (2)1－3i

2＋23＋i2.

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【变式突破】

3＋i

1．已知复数z＝ 是z的共轭复数，则z·z＝________.

1－3i2

21i2．已知i是虚数单位，________.

1i1i复数课后巩固提升

1．(2016·西安质检)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i.若z＝，则z＝( ) 44

A.＋i B.－I C．i D、－i

55

12．若复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则的虚部为( )

z＋a2222

A、－ B．－ i C. D.i

5555

1＋2i2 015

3．复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )

1－i2 015 A．第一象限 B．第二象限 C、第三象限 D．第四象限

66z1z2

4．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA，OB，则|z1＋z2|＝( )

A、2 B．3 C．22 D．33

2i5．(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋„＋z2 015＝( )

1－i A．1＋i B．1－i C．i D、0 6．(2016·芜湖一模)已知i是虚数单位，若z1＝a＋ A.33z1i，z2＝a－i，若为纯虚数，则实数a＝( ) 22z2

3333

B．－ C、或－ D．0 2222

7．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )

A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2

2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D、若|z1|＝|z2|，则z1＝z22

13138．(2016·刑台摸底考试)已知复数z1＝－＋i，z2＝－－i，则下列命题中错误的是( )

2222

33

A．z21＝z2 B．|z1|＝|z2| C、z1－z2＝1 D．z1，z2互为共轭复数

13i9．复数|1＋2i|＋1i＝________.

2 - 5 -

10．(2015·重庆高考)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. 11．已知复数z1＝cos 15°＋i sin 15°和复数z2＝cos 45°＋i sin 45°，则z1·z2＝________.

a＋3i12．(2016·浙江摸底)已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．

i13．(2015·唐山统考)若复数z满足z＝i(2＋z)(i为虚数单位)，则z＝________. 1＋ai14．已知a∈R，若为实数，则a＝________.

2－i

y

15．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝3，则 的最大值为________．

x

附.复数三年高考汇编

1．(2014·浙江高考)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( ) A、充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 1＋z2．(2015·全国卷Ⅰ)设复数z满足＝i，则|z|＝( )

1－z A、1 B.2 C.3 D．2

3．(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．2

4.【2015高考新课标2，理2】若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a（ ） A．1 B、0 C．1 D．2 5.【2015高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数i32( ) i （A）- i （B）-3i （C）. i （D）3i 7.【2015高考北京，理1】复数i2i（ ） A、12i B．12i

C．12i

D．12i

8.【2015高考湖北，理1】 i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．． A、i B．i C．1 D．1 9.【2015高考山东，理2】若复数z满足

zi，其中i为虚数为单位，则z=（ ） 1i

（A）.1i （B）1i （C）1i （D）1i

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10.【2015高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数

2i在复平面内所对应的点位于（ ） 1i （A）第一象限 （B）.第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

1i11.【2015高考湖南，理1】已知

z2，则复数z=（ ） 1i（i为虚数单位）

A. 1i B.1i C.1i D..1i 12.【2015高考上海，理15】设虚数”的（ ）

A.充分非必要条件 B、必要非充分条件 C．充要条件 D既非充分又非必要条件 13.（2016年山东高考）若复数z满足2zz32i, 其中i为虚数单位，则z = （A）1+2i （B）.12i

（C）12i

（D）12i

z1，z2C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1z2是

14.（2016年全国II高考）已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

（A）.(31)， （B）(1，3) （C）(1,+) （D）(-，3) 15.（2016年全国I高考）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则 （A）1 （B）.2 （C）3 （D）2 16.（2016年全国III高考）若z12i，则

xyi=

4i zz1 (A)1 (B) -1 (C). i (D)-i

17．(2014·江苏高考)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．

z＋118．(2014·上海高考)若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·z＝________ z

19.（2016年北京高考）设aR，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则

a_______________.

20.（2016年天津高考）已知a,bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则

a的值为_______. b21.(2016江苏省高考)复数z(12i)(3i), 其中i为虚数单位，则z的实部是________________ 22.【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________.

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23.【2015高考天津，理9】i是虚数单位，若复数12iai 是纯虚数，则实数a的值为 .

24.【2015江苏高考，3】设复数z满足z234i（i是虚数单位），则z的模为_______. 25.【2015高考上海，理2】若复数z满足3zz1i，其中i为虚数单位，则z ．

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