2021年全国中考数学试题分类汇编专题专题08分式方程

2021-11-10 来源：乌哈旅游

专题8 分式方程

一、单选题

1．（2021年重庆中考）若关于x的一元一次不等式组3x22x2的解集为x6，且关于y的分式

a2x5方程

y2a3y82的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（） y11yB．8

C．12

D．15

A．5 【答案】B 【分析】

先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到

5aa56解得a7，再解分式方程得到y=，22根据分式方程的解是正整数，得到a5，且a5是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．【详解】

3x22x2①解：

a2x5②解不等式①得，x6，解不等式②得，x5+a 2不等式组的解集为：x6

5a6 2a7

解分式方程

y2a3y82得 y11yy2a3y82 y1y1y2a(3y8)2(y1)

整理得y=a5， 2a5y10, 则1,

a3,

分式方程的解是正整数，

a50 2a5，且a5是2的倍数，

5a7，且a5是2的倍数，

整数a的值为-1, 1, 3, 5,

11358 故选：B．【点睛】

本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

2．（2021年广东中考）方程A．x6 【答案】D 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：

12的解为（） x3xC．x2

D．x6

B．x2

12 x3x去分母得：x2x6，移项合并得：x6，化系数为“1”得：x6，

检验，当x6时，xx3180， ∴x6是原分式方程的解．故选：D．【点睛】

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．

3．（2021年黑龙江中考）方程A．x5 【答案】A 【分析】

12的解为（） 2x3x1C．x1

D．x2

B．x3

根据分式方程的解法可直接进行排除选项．【详解】解：

12 2x3x13x142x，

解得：x5，

经检验x5是原方程的解，故选A．【点睛】

本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 4．（2021年四川宜宾中考）若关于x的分式方程A．1 【答案】C 【分析】

先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【详解】解：

B．﹣1

xm3有增根，则m的值是（） x2x2D．﹣2

C．2

xm3， x2x2去分母得：x3x2m， ∵关于x的分式方程

xm3有增根，增根为：x=2， x2x2∴2322m，即：m=2，故选C．【点睛】

本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．

5．（2021年内蒙古鄂尔多斯中考）2020年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了满足全体员工的需要，

花1万元购买了一批口罩，随着2021年疫情的缓解，以及各种抗疫物资充足的供应，每包口罩下降10元，电信公司又花6000元购买了一批口罩，购买的数量比2020年购买的数量还多100包，设2020年每包口罩为x元，可列方程为（）

16000100 xx10100006000100 C．xx10A．【答案】C 【分析】

10000100x10000100D．xB．6000 x106000 x10根据题中等量关系“2021年购买的口罩数量比2020年购买的口罩数量多100包”即可列出方程．【详解】

解：设2020年每包口罩x元，则2021年每包口罩（x-10）元．根据题意，得，

600010000100． x10x100006000=100．即： xx10故选：C 【点睛】

本题考查了列分式方程的知识点，寻找已知量和未知量之间的等量关系是列出方程的关键．

6．（2021年山东省淄博中考）甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，则下列方程中正确的是（） A．

101010101010101012 B．0.2 C．12 D．0.2 x1.2x1.2xx1.2xxx1.2x【答案】D 【分析】

根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意得：故选D．【点睛】

本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．

10100.2； x1.2x

7．（2021年广西贺州中考）若关于x的分式方程A．2 【答案】D 【分析】

B．3

m43x2有增根，则m的值为（） x3x3D．5

C．4

根据分式方程有增根可求出x3，方程去分母后将x3代入求解即可. 【详解】解：∵分式方程∴x3，

去分母，得m43x2x3，将x3代入，得m49，解得m5．故选：D．【点睛】

本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键． 8．（2021年广西贺州中考）如M1,2,x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x1，x2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合Nx,1,2，我们说M值是（） A．－1 【答案】C 【分析】

根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素对应分类讨论即可．【详解】

解：∵集合B的元素∴a0， ∴

B．0

C．1

D．2

N．已知集合Am43x2有增根， x3x3b1B,a,1,0,a，集合，若AB，则ba的

aa1b,，a，可得， aa1b0，0， aa5

∴b0，

11时，a1，A1,0,1，B1,1,0，不满足互异性，情况不存在， a1当a时，a1，a1（舍），a1时，A1,0,1，B1,1,0，满足题意， a当

此时，ba=1．故选：Ｃ【点睛】

本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可． 9．（2021年内蒙古呼伦贝尔中考）若关于x的分式方程A．3 【答案】C 【分析】

直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．【详解】解：

B．0

C．1

2xa2无解，则a的值为（） x33xD．0或3

2xa2， x33x8a， 3去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝当

8a3时，方程无解， 3解得a1．故选：C．【点睛】

本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程． 10．（2021年四川成都中考）分式方程A．x2 【答案】A 【分析】

直接通分运算后，再去分母，将分式方程化为整式方程求解．【详解】

2x11的解为（） x33xC．x1

D．x1

B．x2

解：

2x11， x33x2x11， x3x32x11，

x32x1x3，

解得：x2，

检验：当x2时，x32310，

x2是分式方程的解，

故选：A．【点睛】

本题考查了解分式方程，解题的关键是：去分母化为整式方程求解，最后需要对解进行检验． 11．（2021年重庆中考）关于x的分式方程

ax33x11的解为正数，且使关于y的一元一次不等式x22x3y2y1组2有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（） y2aA．5 【答案】B 【分析】

先将分式方程化为整式方程，得到它的解为xB．4

C．3

D．2

6,由它的解为正数，同时结合该分式方程有解即分母a4不为0，得到a40且a43，再由该一元一次不等式组有解，又可以得到a20，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．【详解】解：

ax33x11, x22x两边同时乘以（x2)，

ax3x213x,

a4x6,

由于该分式方程的解为正数，

∴x6，其中a40，a43; a4∴a4，且a1；

3y2y1①∵关于y的元一次不等式组2有解，

y2a②由①得：y0; 由②得：ya2; ∴a20， ∴a2

综上可得：4a2,且a1;

2,0,1； ∴满足条件的所有整数a为：3，∴它们的和为4；故选B．【点睛】

本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，属于较难的计算问题． 12．（2021年湖北恩施中考）分式方程A．x1 【答案】D 【分析】

先去分母，然后再进行求解方程即可．【详解】解：

B．x2

x31的解是（） x1x13C．x D．x2

4x31 x1x1xx13，

∴x2，

经检验：x2是原方程的解；故选D．

【点睛】

本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 13．（2021年湖南怀化中考）定义ab2aA．x1 5B．x2 51，则方程3x42的解为（） b34C．x D．x

55【答案】B 【分析】

根据新定义,变形方程求解即可【详解】 ∵ab2a1, b1124, x2∴3x42变形为23解得x2 ， 52经检验x 是原方程的根，

5故选B 【点睛】

本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键

14．（2021年湖北十堰中考）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

400x400C．xA．4504504001 B．1

x50x50x45045040050 D．5 x1x1x【答案】B 【分析】

设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．根据现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天，列出方程即可．【详解】

解：设现在每天生产x台，则原来可生产（x−50）台．依题意得：

4504001． x50x9

故选：B．【点睛】

此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产400台机器的时间与原计划生产450台机器的时间少1天”这一个条件，列出分式方程是解题关键．

15．（2021年山东临沂中考）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2，根据题意可列方程为（）

1001002 0.5xx31002100C． x31.5xA．【答案】D 【分析】

1002100 0.5x3x1001002 D．x1.5x3B．

根据清扫100m所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．【详解】

解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：故选D．【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．

16．（2021年浙江嘉兴中考）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元（） A．

1001002， x1.5x3403040303040304020 B．20 C．20 D．20 1.5xxx1.5xx1.5x1.5xx【答案】B 【分析】

若设荧光棒的单价为x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解．【详解】

解：设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，由题意可得：

403020 x1.5x故选：B．【点睛】

考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

二、填空题

17．（2021年湖北黄石中考）分式方程【答案】x3 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：

11x3 x22x11x3的解是______． x22x去分母得：11x3x2，去括号化简得：2x6，解得：x3，

经检验x3是分式方程的根，故填：x3．【点睛】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．（2021年黑龙江齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程_________．

【答案】m2且m3 【分析】

先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【详解】

解：方程两边同时乘以(x1)得：

3xm2的解为正数，则m的取值范围是x11x3xm2(x1)，

解得：xm2， ∵x为正数，

∴m2＞0，解得m2， ∵x1，

∴m21，即m3，

∴m的取值范围是m2且m3，故答案为：m2且m3．【点睛】

本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m表示出x的值是解题的关键． 19．（2021年北京中考）方程【答案】x3 【分析】

根据分式方程的解法可直接进行求解．【详解】解：

21的解为______________． x3x21 x3x2xx3，

∴x3，

经检验：x3是原方程的解．故答案为：x=3．【点睛】

本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 20．（2021年江苏宿迁中考）方程

2x1的解是_____________． 2x4x2【答案】x1【分析】

113113，x2 22先把两边同时乘以x24，去分母后整理为x2x30，进而即可求得方程的解．【详解】

解：

2x1， 2x4x2两边同时乘以x24，得

2x(x2)x24，

整理得：x2x30

解得：x1113113，x2， 22113113，x2是原方程的解， 22113113，x2． 22经检验，x1故答案为：x1【点睛】

本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键． 21．（2021年湖北荆州中考）若关于x的方程_____________．【答案】m＞-7且m≠-3 【分析】

先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．【详解】

2xmx13的解是正数，则m的取值范围为x22x2xmx1m73，得：x且x≠2， x22x22xmx13的解是正数， ∵关于x的方程

x22xm7m70且2，解得：m＞-7且m≠-3， ∴22解：由

故答案是：m＞-7且m≠-3．【点睛】

本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键． 22．（2021年湖南常德中考）分式方程

11x2的解为__________． xx1x(x1)13

【答案】x3 【分析】

直接利用通分，移项、去分母、求出x后，再检验即可．【详解】解：

11x2 xx1x(x1)2x1x2，

x(x1)x(x1)通分得：

x30，移项得：

xx1x30，

解得：x3，

经检验，x3时，x(x1)60，

x3是分式方程的解，

故答案是：x3．【点睛】

本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验．

23．（2021年湖南衡阳中考）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．【答案】500 【分析】

设原计划每天植树x棵，则实际每天植树125%x，根据工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前3天完成，准确列出关于x的分式方程进行求解即可．【详解】

解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树125%x，

600060003， x1.25xx400，

经检验，x400是原方程的解， ∴实际每天植树4001.25500棵，故答案是：500．【点睛】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，准确列出分式方程． 24．（2021年四川达州中考）若分式方程【答案】 【分析】

直接移项后通分合并同类项，化简、用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值．【详解】解：

2xa2xa4的解为整数，则整数a___________． x1x12xa2xa4， x1x12xa2xa4 x1x1(2xa)(x1)(a2x)(x1)4

(x1)(x1)2 a2xa2xa4若分式方程的解为整数， x1x1整理得：xa为整数，

当a1时，解得：x2，经检验：x10,x10成立；当a2时，解得：x1，经检验：分母为0没有意义，故舍去；综上:a1，故答案是：．【点睛】

本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用a来表示x，再根据解为整数来确定a的值，易错点，容易忽略对根的检验．

25．（2021年四川凉山中考）若关于x的分式方程【答案】m＞-3且m≠-2 【分析】

2xm3的解为正数，则m的取值范围是_________． x11x先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．【详解】

解：方程两边同时乘以x-1得，2x3x1m，解得xm3， ∵x为正数，

∴m+3＞0，解得m＞-3． ∵x≠1，

∴m+3≠1，即m≠-2．

∴m的取值范围是m＞-3且m≠-2．故答案为：m＞-3且m≠-2．【点睛】

本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．

26．（2021年辽宁铁岭中考）为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为________．【答案】

300240 x10x【分析】

设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，利用数量=总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的件数与用240元购买B种奖品的件数相同，即可得出关于x的分式方程．【详解】

解：设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+10）元，

300240， x10x300240故答案为： x10x依题意得：

【点睛】

本题考查了根据实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 27．（2021年四川雅安中考）若关于x的分式方程2【答案】k4且k0 【分析】

根据题意，将分式方程的解x用含k的表达式进行表示，进而令x0，再因分式方程要有意义则x2，进而计算出k的取值范围即可．【详解】

解： 2(2x)1k1

1k1的解是正数，则k的取值范围是______． x22x42xk0 x4k 2根据题意x0且x2

4k02∴

4k22k4∴

k0∴k的取值范围是k4且k0．【点睛】

本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．

28．（2021年山东东营中考）某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程为________．

909030 【答案】

x125%x【分析】

原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为125%x万平方米，根据工作时间=工作总量工作效率，结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可列出关于x的分式方程．【详解】

设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为125%x万平方米，

依据题意：

909030 x125%x909030 故答案为：

x125%x【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

三、解答题

29．（2021年辽宁营口中考）为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本．（1）求这两种图书的单价分别是多少元？

（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？

【答案】（1）“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）最多能购买“科普类”图书33本．【分析】

（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，根据数量＝总价÷单价，结合购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设能购买“科普类”图书m本，根据总价＝单价×数量，列出不等式，即可求解．【详解】

解：（1）设“文学类”图书的单价为x元，则“科普类”图书的单价为1.2x元，依题意，得：

3600270020， 1.2xx18

解得：x＝15，

经检验，x＝15是所列分式方程的解，且符合题意， ∴1.2x＝18．

答：“文学类”图书的单价为15元，则“科普类”图书的单价为18元；（2）设能购买“科普类”图书m本，根据题意得：18m+15(100-m)≤1600，解得：m100， 3∵m为整数，

∴最多能购买“科普类”图书33本．【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．

30．（2021年江苏常州中考）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】

设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，列出分式方程，即可求解．【详解】

解：设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则原来平均每天用水2x吨，由题意得：

20205，解得：x=2， x2x经检验：x=2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】

本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．

31．（2021年内蒙古呼和浩特中考）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，

B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B19

品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？【答案】最多可购进33个B足球【分析】

设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为x12元/个，根据购买A足球数量是B足球数量的1.5倍列出分式方程，求出A足球和B足球的单价，在设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为

50a个，根据购买这两种足球的总费用不超过去年总费用的一半列出不等式解答即可．

【详解】

解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为x12元/个由题意得：

288032400 x2x1296120 xx1296x12120x

∴x48

经检验，x48是原分式方程的解且符合题意 ∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个

设今年购进B足球的个数为a个，则购买A足球的数量为50a个，由题意可得：

1(50a)48(15%)a60(110%)(28802400)

2∴50.45050.4a54a2640

3.6a120

a100 3∴最多可购进33个B足球【点睛】

本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．

32．（2021年吉林长春中考）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的

售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同，求每千克有机大米的售价为多少元？

【答案】每千克有机大米的售价为7元．【分析】

设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据“用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同”，列出分式方程，即可求解．【详解】

解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x-2）元，根据题意得：

420300，解得：x=7， xx2经检验：x=7是方程的解，且符合题意，答：每千克有机大米的售价为7元．【点睛】

本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 33．（2021年广西中考）解分式方程：【答案】x3 【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：

xx1． x13x3xx1 x13x3去分母，得3xx3(x1)，解此方程，得x3，

经检验，x3是原分式方程的根．【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程转化为整式方程，不要忘记检验．

34．（2021年山东威海中考）六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．（1）求第一次每件的进价为多少元？

（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？

【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元．【分析】

（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）根据总利润=总售价-总成本，列出算式，即可求解．【详解】

解：（1）设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，

3000300010，解得：x=50，根据题意得：x120%x经检验：x=50是方程的解，且符合题意，答：第一次每件的进价为50元；

30003000（2）， 50120%507060001700（元）

答：两次的总利润为1700元．【点睛】

本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．

35．（2021年山东济宁中考）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【分析】

（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】

解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：

900400100 ， xx5整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），

经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际， ∴x-5=15-5=10（元），

答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；

（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：

22w=（15-a）（100+20a）=-20a+200a+1500=-20（a-5）+2000，

∵a=-20，

当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【点睛】

本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．

36．（2021年广东中考）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；

（2）设猪肉粽每盒售价x元(50x65),y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．

【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2）y2x2280x8000(50x65)，最大利润为1750元【分析】

（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价a10元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；

（2）根据题意当x50时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售[1002(x50)]盒，列出

二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．【详解】

解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价a10元．则

80006000 aa10解得：a40，经检验a40是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．（2）由题意得，当x50时，每天可售100盒．

当猪肉粽每盒售x元时，每天可售[1002(x50)]盒．每盒的利润为(x40) ∴y(x40)[1002(x50)]，

2x2280x8000

配方得：y2(x70)21800 当x65时，y取最大值为1750元．

∴y2x2280x8000(50x65)，最大利润为1750元．

答：y关于x的函数解析式为y2x2280x8000(50x65)，且最大利润为1750元．【点睛】

本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．

37．（2021年内蒙古中考）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．（1）求小刚跑步的平均速度；

（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析【分析】

（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；

（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即

可．【详解】

解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，根据题意，得

180018004.5， 1.6xx解这个方程，得x150，经检验，x150是所列方程的根，所以小刚跑步的平均速度为150米/分．

（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为

180012（分）， 150骑自行车所用时间为124.57.5（分），在家取作业本和取自行车共用了3分，

所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要127.5322.5（分）．因为22.520，

所以小刚不能在上课前赶回学校．【点睛】

本题考查路程问题的分式方程，解题关键是明确题意，列出分式方程求解．

38．（2021年江苏无锡中考）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；

（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？

【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【分析】

（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为整数，m为整数，即可得到答案．

854m854m件，根据4≤m≤10，且为33

【详解】

解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，由题意得：

600127560025，解得：x=15， 4x3x经检验：x=15是方程的解，且符合题意， ∴15×4=60（元），15×3=45（元），

答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；

（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为∵4≤m≤10，且

127560m854m件，

453854m为整数，m为整数， 3∴m=4，7，10，

答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【点睛】

本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．

39．（2021年山东泰安中考）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．

（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？

（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？【答案】（1）30人；（2）39天【分析】

（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面y天完成的工作量＝760列出关于y的方程，求解即可．【详解】

解：（1）设当前参加生产的工人有x人，

依题意得：

1615，

8(x10)10x解得：x30，

经检验，x30是原方程的解，且符合题意．答：当前参加生产的工人有30人．

（2）每人每小时的数量为168400.05（万剂）．设还需要生产y天才能完成任务，

依题意得：41540100.05y760，解得：y35，35439（天）答：该厂共需要39天才能完成任务．【点睛】

本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键． 40．（2021年云南中考）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：今天用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等．今天每间A客房的租金比每间B客房的租金多40元．请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．

【答案】租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【分析】

设租用的B种客房每间客房的租金为x元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等列出方程，解之即可．【详解】

解：设租用的B种客房每间客房的租金为x元，则A种客房每间客房的租金为x+40元，由题意可得：

20001600，

x40x5x4x160,

解得：x160，

经检验：x160是原方程的解， 160+40=200元，

∴租用的A种客房每间客房的租金为200元，B种客房每间客房的租金为160元．【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．

41．（2021年江苏扬州中考）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【答案】40万【分析】

设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【详解】

解：设原先每天生产x万剂疫苗， 2402200.5由题意可得：，

x120%x解得：x=40，

经检验：x=40是原方程的解， ∴原先每天生产40万剂疫苗．【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性． 42．（2021年江苏南京中考）解方程【答案】x3 【分析】

先将方程两边同时乘以x1x1，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】解：

2x1． x1x12x1， x1x128

2x1x1x1xx1，

2x2x21x2x， x3，

检验：将x3代入x1x1中得，x1x10， ∴x3是该分式方程的解．【点睛】

本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等． 43．（2021年山东聊城中考）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

【答案】（1）A 种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元；（2）购买A 种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250元【分析】

（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方程并检验；（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤（6000－t），w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000，w随t的增大而减小，所以根据t的范围可以求得w的最小值．【详解】

解：（1）设A 种花弃每盆x元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元．根据题意，得

1，求购买A种花卉313600900． xx0.5解这个方程，得x＝1.

经检验知，x＝1是原分式方程的根，并符合题意．此时x＋0.5＝1＋0.5＝1.5（元）．

所以，A种花弃每盆1元，B种花卉每盆1.5元．

（2）设购买A种花卉∶t盆，购买这批花卉的总费用为w元，则t≤解得∶t≤1500.

由题意，得w＝t＋1.5（6000－t）＝－0.5t＋9000.

1（6000－t）， 3因为w是t的一次函数，k＝－0.5＜0，w随t的增大而减小，所以当t＝1500 盆时，w最小．

w＝－0.5×1500＋9000＝8250（元）．

所以，购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用为8250元．【点睛】

本题主要考查了分式方程解决实际问题和一次函数求最值，根据等量关系列出方程和函数关系式及取值范围是解题关键．

44．（2021年江苏南通中考）（1）化简求值：(2x1)2(x6)(x2)，其中x3；（2）解方程

230． x3x【答案】（1）原式=4；（2）x9．【分析】

（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为5x211，再将已知条件代入即可；

（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】

解：（1）(2x1)2(x6)(x2) =4x24x1x24x12 =5x211

当x3时，原式=5x211=5(3)2114；

230， x3x去分母得：2x3(x3)0，

（2）

解得：x9，

经检验，x9是原方程的解．则原方程的解为：x9．【点睛】

本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程

要检验．

45．（2021年江苏泰州中考）（1）分解因式：x﹣9x；（2）解方程：

2x5+1＝． x22x【答案】（1）x（x+3）（x-3）；（2）x=-1 【分析】

（1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．【详解】

解：（1）原式=x（x-9）=x（x+3）（x-3），（2）等式两边同时乘以（x-2）得2x+x-2=-5，移项合并同类项得3x=-3，系数化为1得x=-1

检验：当x=-1时，x-20， ∴x=-1是原分式方程的解．【点睛】

本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验． 46．（2021年辽宁丹东中考）为落实“乡村振兴计划”的工作要求，某区政府计划对乡镇道路进行改造，安排甲、乙两个工程队完成，已知乙队比甲队每天少改造20米，甲队改造400米的道路与乙队改造300米的道路所用时间相同，求甲、乙两个工程队每天改造的道路长度分别是多少米？

【答案】甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．【分析】

根据题意列出方程求解即可．【详解】

解：设甲工程队每天改造的道路长度是x米，列方程得：

400300， xx20解得：x=80． 80-20=60．

答：甲工程队每天改造的道路长度是80米，乙工程队每天改造的道路长度是60米．

【点睛】

此题考查了分式方程应用题的解法，解题的关键是根据题意找到等量关系并列出方程．

47．（2021年江苏徐州中考）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50 【分析】

该商品打折卖出x件，找到等量关系即可．【详解】

解：该商品打折卖出x件

4008400 x10x2解得x=8

经检验：x8是原方程的解，且符合题意 ∴商品打折前每件

400=50元 8答：该商品打折前每件50元．【点睛】

此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键． 48．（2021年广西贵港中考）（1）计算：8(2)0(1)20212cos45；（2）解分式方程：

x331． x22x【答案】（1）2；（2）x1 【分析】

（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，然后再计算；（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】

解：（1）原式2211222112 2 22；

（2）整理，得：

x331， x2x2方程两边同时乘以(x2)，得：x3x23，解得：x1，

检验：当x1时，x20，

x1是原分式方程的解．

【点睛】

本题考查零指数幂，特殊角三角函数，解分式方程，掌握实数混合运算的运算顺序和计算法则，理解解分式方程的步骤是解关键．

49．（2021年浙江中考）解分式方程：【答案】x4 【分析】

先将分式方程化成整式方程，然后求解，最后检验即可．【详解】解：

2x11． x32x11 x32x1x3．

x4．

经检验，x4是原方程的解．【点睛】

本题主要考查了分式方程的解法，将将分式方程化成整式方程是解题的关键，检验是解答本题的易错点． 50．（2021年江苏连云港中考）解方程：【答案】无解【分析】

将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】

解：去分母得：x12x1421． x1x14x21

整理得2x2，解得x1，经检验，x1是分式方程的增根，

故此方程无解．【点睛】

本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．

51．（2021年四川自贡中考）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？【答案】A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件【分析】

设A型机平均每小时运送x件，根据A型机比B型机平均每小时多运送20件，得出B型机平均每小时运送（x-20）件，再根据A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，列出方程解之即可．【详解】

解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，根据题意得：

700500 xx20解这个方程得：x=70．

经检验x=70是方程的解，∴x-20=50．

∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 52．（2021年山西中考）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．

5倍，因此到达太原机场的时3

【答案】25分钟【分析】

设走路线一到达太原机场需要x分钟，用含x的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的

5倍列等式计算即可． 3【详解】

解：设走路线一到达太原机场需要x分钟．根据题意，得52530．

3xx7解得：x25．

经检验，x25是原方程的解．

答：走路线一到达太原机场需要25分钟．【点睛】

本题主要考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键，注意分式方程需要验根． 53．（2021年湖南中考）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；

（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资．．．．．金且购买A奖品的资金不少于．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？

【答案】（1）A，B奖品的单价分别是40元，15元；（2）购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．【分析】

（1）设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，根据“购买B奖品的数量是A奖品的3倍”，列出分式方程，即可求解；

（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，列出一元一次不等式组，即可求解．【详解】

（1）解：设B奖品的单价为x元，则A奖品的单价为(x+25)元，由题意得：

80017008003，解得：x=15， x25x经检验：x=15是方程的解，且符合题意， 15+25=40，

答：A，B奖品的单价分别是40元，15元；（2）设购买A奖品a件，则购买B奖品(100-a)件，由题意得：400.8a150.8(100a)1700，解得：22.5≤a≤25，

400.8a720∵a取正整数， ∴a=23，24，25，

答：购买A奖品23件，B奖品77件；购买A奖品24件，B奖品76件；购买A奖品25件，B奖品75件．【点睛】

本题主要考查分式方程以及一元一次不等式组的实际应用，找准数量关系，列出方程和不等式组，是解题的关键．

54．（2021年上海中考）现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．

（1）求三月份共生产了多少部手机?

（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．

【答案】（1）36万部；（2）100MB/秒【分析】

（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；（2）设5G手机的下载速度为xMB/秒，则4G下载速度为x95MB/秒，根据下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒列方程求解．【详解】

（1）3月份的百分比=130%25%45% 三月份共生产的手机数=8045%=36（万部）答：三月份共生产了36万部手机．

（2）设5G手机的下载速度为xMB/秒，则4G下载速度为x95MB/秒，由题意可知：

10001000190 x95x解得：x100

检验：当x100时，xx950 ∴x100是原分式方程的解．

答：5G手机的下载速度为100MB/秒．【点睛】

本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．

55．（2021年浙江温州中考）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克原料配料表甲食材乙食材规格每包食材含量 1千克 0.25千克每千克含铁 50毫克 10毫克每包单价 45元 12元 A包装 B包装（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少

包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？

【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】

（1）设乙食材每千克进价为a元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；

（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；

②设A为m包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m的函数关系式，再根据A的数量不低于B的数量，可以得到m的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】

解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得

80201，解得a20． 2aa经检验，a20是所列方程的根，且符合题意．

2a40（元）．

答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克．

40x20y18000x400由题意得，解得

50x10y42xyy100答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克． ②设A为m包，则B为记总利润为W元，则

500m20004m包．

0.25W45m1220004m1800020003m4000．

A的数量不低于B的数量，

m20004m，m400．

k30，W随m的增大而减小。

当m400时，W的最大值为2800元．

答：当A为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的应用、分式方程、二元一次方程的应用，解答本题时要明确题意、弄清表格数据的意义及各种量之间关系，利用方程的求未知量和一次函数的性质解答，注意分式方程要检验． 56．（2021年湖北武汉中考）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少

100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品

每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．【答案】（1）每盒产品的成本为30元．（2）w10x21400x33000；（3）当a70时，每天的最大

2利润为16000元；当60a70时，每天的最大利润为10a1400a33000元．

【分析】

（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元．然后再根据“用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg”列分式方程求解即可；

（2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可；

（3）先确定w10x21400x33000的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可．【详解】

解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元．依题意，得

900900100． m1.5m解得，m3，1.5m4.5．经检验，m3是原方程的根．

∴每盒产品的成本为：4.5243930（元）．答：每盒产品的成本为30元．（2）wx3050010x60

10x21400x33000；

（3）∵抛物线w10x21400x33000的对称轴为w=70，开口向下

∴当a70时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；

2当60a70时，每天的最大利润为10a1400a33000元．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键．

57．（2021年陕西中考）解方程：

x1321． x1x11【答案】x

2【分析】

按照解分式方程的方法和步骤求解即可．【详解】

解：去分母（两边都乘以x1x1），得，

(x1)23x21．

去括号，得，

x22x13x21，

移项，得，

x22xx2113．

合并同类项，得，

2x1．

系数化为1，得，

1x．

21检验：把x代入x1x10．

21∴x是原方程的根．

2【点睛】

本题考查了分式方程的解法，熟知分式方程的解法步骤是解题的关键，尤其注意解分式方程必须检验． 58．（2021年四川广安中考）国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：

水果单价进价（元/千克）售价（元/千克）甲乙 x 20 x4 25 已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．（1）求x的值；

（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元【分析】

（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，列出y关于m的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．【详解】

解：（1）由题意可知：

12001500， xx4解得：x=16，

经检验：x=16是原方程的解；

（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，由题意可知：

y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，

∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍， ∴m≥3（100-m），

解得：m≥75，即75≤m＜100，

在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小， ∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，

∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．【点睛】

本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式． 59．（2021年湖南岳阳中考）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．

【答案】妈妈开车的平均速度是48km/h．【分析】

设妈妈开车的平均速度为xkm/h，根据小明行驶的时间比妈妈多用1小时列出方程，求解并检验可得结论．【详解】

解：设妈妈开车的平均速度为xkm/h，则小明的速度为

xkm/h，根据题意得， 416161xx 4解得，x48

经检验，x48是原方程的根，答：妈妈开车的平均速度是48km/h．【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，找出等量关系“小明用时-1=妈妈用时”是解答此题的关键．

60．（2021年江西中考）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．（1）求这种商品的单价；

（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是______元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是______元/件．

（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同______加油更合算（填“金额”或“油量”）．【答案】（1）这种商品的单价为60元/件；（2）48,50；（3）金额【分析】

（1）根据题意设这种商品的单价为x元/件，通过甲乙之间购买的商品数量间的数量关系列分式方程进行求解即可；

（2）利用两次购买总价÷两次购买总数量=平均单价，列式分别求出甲乙两次购买的平均单价即可；（3）对比（2）中的计算数据总结即可得解．【详解】

（1）设这种商品的单价为x元/件，

3000240010，解得x60，经检验x60是原分式方程的解， xx则这种商品的单价为60元/件；

（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为602040元/件， ∵甲两次购买总价为240024800元，购买总数量为∴甲两次购买这种商品的平均单价是∵乙两次购买总价为3000+24002400100件， 6040480048元/件； 10030003000405000元，购买总数量为2100件， 6060500050元/件； ∴乙两次购买这种商品的平均单价是

100故答案为：48,50；（3）∵4850，

∴按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算， ∴建议按相同金额加油更合算，故答案为：金额．【点睛】

本题主要考查了分式方程的实际应用，通过题目找准数量关系，利用总价÷数量=单价的基本等量关系式进行求解是解决本题的关键．

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2021年全国中考数学试题分类汇编专题专题08分式方程