两种光学薄膜反射系数计算方法的对比

２０１４年１１月　南京晓庄学院学报　ＮＯＶ．２０１４　第６期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＮＡＮＪＩＮＧ　ＸＩＡＯＺＨＵＡＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＮＯ．６　两种光学薄膜反射系数计算方法的对比　张颖颖　，宋　炜　，徐小兵　（１．南京晓庄学院物理与电子工程学院，江苏南京２１１１７１；２．江苏省防汛防旱指挥部办公室，江苏南京２１００２９）　摘要：该文介绍了两种光学薄膜反射系数的计算方法——等效界面法和导纳矩阵法，并比较　了两种方法在多层光学薄膜结构下的反射率和相位差计算结果．发现当计算数值有效位数为１５　时，两种方法的反射率和相位差结果差异分别为ｌ０　量级和ｌ０　ｒａｄ量级，远小于反射率和相位　差的测量分辨率，可以认为两者的结果相同．这说明两个基于相同理论基础的方法，计算结果也是　相同的，并通过实验证实了计算结果的可靠性．　关键词：物理光学；光学薄膜；反射系数；相位差　中图分类号：ｏ４８４．４ｌ　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—７９０２（２０１４）０６—００２１—０４　０　引言　０　Ｍｅｄｉｕｍ　０　ｒｔｌ　Ｍｅｄｉｕｍ　１　光学薄膜的应用始于２０世纪３０年代，现今已　２　Ｍｅｄｉｕｍ　２　成为信息光学、光学工程、光电子学和其他相关领　Ｍｅｄｉｕｍ　３　ｒｇ３　．　域广泛用的光学元件【ｌ　．如眼镜和镜头上的各类　ＭｅｄｉｕｍＮ　增透膜和增反膜、激发表面等离子共振效应的含　ｒｔ，Ⅳ＋ｌ　ＭｅｄｉｕｍＮ＋１　贵金属光学薄膜等等．光学薄膜的反射系数，作为　其重要的光学特性，是光学薄膜设计时常常关注　图１　多层光学薄膜示意图　的对象．光学薄膜反射系数的计算主要有两种方　１．１等效界面法　法——等效界面法　刮和导纳矩阵法　Ｊ，两种方法　该方法将多层膜从底部逐步向上层等效，逐次　都是以电磁场界面的边界连续条件　为基础推导　减少光学薄膜等效层数．入射光束的总反射系数为　ｒ（。得到的，但其计算公式在形式上却大相径庭，本文　．　＋ｌ】可由下列公式迭代计算：　针对由反射系数决定的反射率和相位差，分别用　ｒｊ（１，Ｎ＋１）ｃ　两种方法进行了数值计算和对比，并对实验结果　Ｚ＝０、１、２、…、（ＪＪｖ一１）　＝ｐ，ｓ　（１）　进行了实验验证．　其中　１等效界面法和导纳矩阵法　ｒ一ｐ（１，ｌ＋１）ｃ—：＝‘；ｎ　！ｌ　ｏ！ｓ！　Ｏ！　　ｎ＋篙１＋　／＋ｌｃｏｓＯ　ｚ（ｚ＝—＝’　０、　１、２厶、　、…、　光学薄膜包括含有三种介质的“三明治”结构，　Ⅳ）　（２）　也包括具有更多层的复杂结构，如图１所示．多层光　ｒｓ（１ｒｓ（１ｌ＋１）　一ｎ／ＣＯ　ＳＯｌ　－－ｎ／　＋ｌＣＯＳＯ／＋１（ｚ＝０学薄膜中介质０和介质Ⅳ＋１为半无限大的，介质　，ｌ＋１）：　凡ｆｃ０ｓ　ｆ＋ｎｆ＋１ｃ０ｓ　ｚ＋１　一　、ｌ、２、…、、　、‘－、　、　　１一Ｎ为中间夹层，各界面均为光滑的平行平面．假　Ⅳ）　（３）　设光从介质０入射，下面分别给出了等效界面法和　０ｚ＝ａｒｃｓｉｎ（ｎＯｓｉｎＯｏ／ｎｆ）Ｚ：１、２、３、…、Ｎ　（４）　导纳矩阵法的反射系数计算公式．　＝２，ｒｒｄｌｎｆｃｏｓＯｆ／Ａ　Ｚ＝１、２、３、…、　（５）　收稿日期：２０１４—０９—０１　基金项目：江苏省高校自然科学研究项目（１４ＫＪＢ１４０００８）　作者简介：张颖颖，博士，南京晓庄学院物理与电子工程学院讲师，研究方向：表面等离子体共振技术．　一２１—　ｔＩ　为介质Ｚ的折射率，可以为实数，也可以为复数　（对应金属膜）；ｄ　为介质ｌ对应膜层的厚度；００为　光束在介质０／１界面的入射角；Ａ为人射光波长；ｐ　和ｓ分别对应Ｐ分量和ｓ分量．实际计算过程中，由　下向上逐层进行计算得到ｒ（。．　＋ｌ１．则反射率Ｒ为：　＝ｌ　０（　＋１）Ｉ　＝ｐ，ｓ　（６）　Ｐ光和ｓ光的相位差　为　。　＝ａｒｇ（ｒＪｒ　）　（７）　１．２导纳矩阵法　导纳矩阵法是薄膜光学中常见的计算反射率的　方法，因为该方法中反射率的计算需要每种介质及　整个膜系的导纳，且每层膜的特性由一个２×２的特　征矩阵来表示．入射光束的总反射系数为　。：　０　：　（８）（　）　其中，　＝Ｃｊ／Ｂ￣，　和　由下列矩阵的乘积确定：　【　三　］　Ｌｉ７６２ｓｉｎｔ￣誊Ｈ　ｃ。　ｊ　Ｌ　叼　ｓｉ　ｃ。　ｊ　１川】　即介质１一Ⅳ所形成膜层的性质可用特征矩阵　Ｉ　ｃｏ　ｚ　ｓｉｎ６ｆ　Ｉ　ｌ＝１、２、…、ⅣＪ＝ｐ，ｓ　ＬｉＴ／／ｌｓｉｎ８ｆ　ｃｏｓ８ｆ　Ｊ　来表示，其中　＝ｎＩ／ｃｏｓ０ｆ　（１＝０、１、２、…、Ⅳ＋１）　（１１）　ｚ＝ＩｔｌＣＯＳ０ｆ（Ｚ＝０、１、２、…、Ⅳ＋１）　（１２）　其余各量与公式（２）～（５）中意义相同．则反射率　Ｒ为：　Ｒ　＝Ｉ　ｒ　Ｊ＝ｐ，ｓ　（１３）　Ｐ光和ｓ光的相位差　仍由式（７）计算．　２计算结果对比　２．１　“三明治”结构结果对比　我们采用激发表面等离子体共振（ＳＰＲ）常用的　Ｋｒｅｔｓｃｈｍａｎｎ结构　，即由玻璃（折射率为１．８）、金属　（介电常数为一１８＋０．７ｉ）和空气（折射率为１）组成　的“三明治”结构，利用ＭＡＴＬＡＢ编程分别实现了两　一２２一　种方法Ｐ光反射率的计算，数据为双精度型，有效位　数为１５位．计算结果如图２所示，两种反射率曲线完　全重合，表明反射率值没有明显差异计算表明两种　反射率的差值大部分介于（一１～１）×１０　之间，但　最大误差仍小于８　Ｘ１０　，远小于目前仪器水平对反　射率测量的分辨率０．００１［９，１０］，完全可以忽略．　图２两种方法反射率曲线计算结果对比　２．２　多层光学薄膜结果对比　为了进一步验证两者计算结果没有差异，我们　又对多层光学薄膜的反射率进行了计算，采用了一　种耦合等离子体一波导共振（Ｃｏｕｌｐｌｅｄ　Ｐｌａｓｍｏｎ－　Ｗａｖｅｇｕｉｄｅ　Ｒｅｓｏｎａｎｃｅ，ＣＰＷＲ）结构，如图３所示，包　括棱镜（　）、金膜（Ｉｔ　ｄ　）、波导层（Ｉｔ　、ｄ　）、传感层　（Ｉｔ　、ｄ　）和样品（Ｉｔ　）共５种介质．参数设置如下：人　射光波长Ａ＝６３２．８　ｎｍ，棱镜折射率／７，。＝１．７７９，金　膜折射率ｎ　＝０．２１０＋３．６３０ｉ，金膜的厚度ｄ　为　４８　ｎｍ，波导层的折射率　＝１．４５７，厚度为５５０　ｎｍ，　传感层折射率　＝１．３５，厚度ｄ　＝５０　ｎｍ，样品折射　率　＝１．３３．分别用两种方法计算了Ｐ光和ｓ光的　反射率曲线和差值，数据有效位数仍为１５位，结果　如图４所示．四组反射率曲线两两重合，反射率差值　仍在１０　量级，可以认为多层光学薄膜结构条件下　两种方法在反射率计算上结果仍是相同的，不管是　Ｐ光还是ｓ光．我们还计算了其它更多层的结构，结　果也是相同的，在此不再一一列举．　图３　ＣＰＷＲ结构示意图　图４　ＣＰＷＲ结构反射率曲线计算结果对比　２．３相位差计算结果对比　ＳＰＲ相位型传感器利用Ｐ光和ｓ光的相位差　来实现样品的检测　Ｊ，具有较高的灵敏度和检测　分辨率，目前应用非常广泛．在该类传感器的结构　优化中，需要利用Ｐ光和ｓ光的反射系数计算它们　的相位差，也会用到上述两种方法．因此我们也对　比了两种方法相位差的计算结果，仍采用２．１节　所述“三明治”ＳＰＲ结构，数据有效位数为１５位．　相位差曲线如图５所示，两种相位差曲线完全重　合，表明相位差值没有明显差异．计算表明两相位　差最大差值小于９　Ｘ　１０　ｒａｄ，远小于目前仪器水　平对相位差测量的分辨率２×１０一ｒａｄ［９－１ｏ　３，完全　可以忽略．由此我们认为两种方法的相位差计算　结果也没有差别．　图５　ｐ光和ｓ光相位差曲线计算结果对比　３分析与实验验证　对比两种方法在双精度型数据（有效位数为１５　位）条件下的反射率和相位差计算结果，其差值均　远小于实际测量分辨率，因此我们可以认为两种方　法的计算结果相同．因为两种方法的理论基础是相　同的，都是基于电磁场界面的边界连续条件，所以计　算结果理应相同．　我们实验测量了“三明治”ＳＰＲ结构（由棱镜、　金膜和样品组成）的相位差曲线，实验方法在前期　文章…　中已有叙述，在此不再重复．以去离子水为　样品进行了实验，实验结果如图６所示．反射率和相　位差测量结果与结构：棱镜折射率‰＝１．５１４１、金　膜折射率ｎ　＝０．３４５＋３．６６０ｉ、金膜厚度ｄ　＝　５１．５　ｎｍ，水折射率ｒ／，　＝１．３３２５的理论计算结果吻　合，由此说明这两种方法计算所得的反射率和相位　差曲线也是可靠的．　Ｉｎｃｉｄｅｎｔ　ａｎｇｌｅ　Ｉ　ｄｅｇｒｅｅ　（ａ）　Ｉｎｃｉｄｅｎｔ　ａｎｇｌｅ　Ｉ　ｅｄｇｒｅｅ　（ｂ）　图６实验与理论曲线（ａ）反射率（ｂ）相位差　４结论　当计算数值有效位数为ｌ５时，基于相同理论　基础的两种方法——等效界面法和导纳矩阵法，　虽然在数学形式上相差很大，但在计算多层光学　薄膜的反射系数时结果相同．不管是对Ｐ光还是ｓ　光，不管是反射率曲线还是相位差曲线，两种方法　的结果差都小于可测量的分辨率，因此可以认为　两者的计算结果是相同的．通过实验进一步验证　了上述结论的正确性．该研究结果对多层光学薄　膜光学特性分析及ＳＰＲ传感器设计优化有重要的　指导意义．　一２３—　参考文献：　［１］范正修．光学薄膜及其进展［Ｊ］．光学学报，２０１１，９．　［２］王乐，吴弼卿，李晓艳等．光学薄膜对ＬＥＤ出光效率影响　［７］Ｍ．玻恩，Ｅ沃耳夫．光学原理［Ｍ］．科学出版社，１９７８．　［８］张江涛，顾铮先，邓传鲁等．表面等离子共振效应中传统　近似理论与薄膜光学理论［Ｊ］．光子学报，２０１０．　［９］Ｊ．Ｈｏｍｏｌａ，Ｓ．Ｙｅｅ，Ｇ．Ｇａｕｇｌｉｔｚ．Ｓｕｒｆａｃｅ　ｐｌａｓｍｏｎ　ｒｅｓｏ—　ｎａｎｃｅ　ｓｅｎｓｏｒｓ：ｒｅｖｉｅｗ［Ｊ］．Ｓｅｎｓｏｒｓ　ａｎｄ　Ａｃｔｕａｔｏｒｓ　Ｂ．１９９９，　５４（１）：３—１５．　的研究进展［Ｊ］．材料科学与工程，２０１１，８．　［３］卢维强，王华清，肖畅等．光学薄膜及其应用［Ｊ］．现代显　示，２００７，３．　［４］Ｋｏｃｈｅｒｇｉｎ　Ｖ　Ｅ，Ｂｅｌｏｇｌ　ａｚｏｖ　Ａ　Ａ，Ｖａｌｅｉｋｏ　Ｍ　Ｖ，ｅｔ　ａ１．　Ｐｈａｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ａ　ｓｕｒｆａｃｅ—ｐｌａｓｍｏｎ　ｒｅｓｏｎａｎｃｅ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　［１０］Ｔ．１ｗａｔａ，Ｓ．Ｍａｅｄａ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａｎ　ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ—ｂａｓｅｄ　ｓｕｒｆａｃｅ—ｐｌａｓｍｏｎ　ｒｅｓｏｎａｎｃｅ　ｓｅｎｓｏｒ　ｂｙ　ｍｅａｎｓ　ｏｆ　ｅｌｌｉｐｓｏｍｅｔｒｙ　ｖｉｅｗ　ｐｏｉｎｔ　ｏｆ　ｓｅｎｓｏｒ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｑｕａｎｔｕｍ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，　１９９８．２８：４４４—４４８．　［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，２００７，４６（９）：１５７５—１５８２．　［１　１］Ｚｈａｎｇ　Ｙｉｎｇｙｉｎｇ，Ｌａｉ　Ｊｉａｎｃｈｅｎｇ，Ｙｉｎ　Ｃｈｅｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｄｅｔｅｒ・　ｍｉｎａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｒｅｆｒａｃｔｉｖｅ　ｉｎｄｅｘ　ｏｆ　ａ　ｔｕｒｂｉｄ　ｌｉｑ・　［５］余兴龙，闫子波，王鼎新．基于相位检测ＳＰＲ生物传感　器的数值模拟．清华大学学报［Ｊ］．２００３，２．　［６］（英）ＨＥＡＴＨＥＲ　Ｍ　ＬＩＤＤＥＬ著．多层膜设计中的计算　机辅助技术［Ｍ］．唐晋发，顾培夫译．杭州：浙江大学　出版社，１９８４．　ｕｉｄ　ｗｉｔｈ　ｓｕｒｆａｃｅ　Ｐｌａｓｍｏｎ　ｒｅｓｏｎａｎｃｅ　ｐｈａｓｅ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ［Ｊ］．　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｐｔｉｃｓ，２００９，４８（７）：１２６２—１２６７．　（责任编辑：王海军）　Ｔｈｅ　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ＴＷＯ　Ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　Ｃｏｅｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｏｆ　Ｏｐｔｉｃａｌ　Ｆｉｌｍｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｙｉｎｇ－ｙｉｎｇ　，ＳＯＮＧ　Ｗｅｉ　，ＸＵ　Ｘｉａｏ—ｂｉｎｇ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｘｉａｏｚｈｕａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１　１　１７１，Ｊｉａｎｇｓｕ；　（２．Ｏｆｆｉｃｅ　ｏｆ　Ｆｌｏｏｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　ａｎｄ　Ｄｒｏｕｇｈｔ　Ｒｅｌｉｅｆ　Ｈｅａｄｑｕａｒｔｅｒｓ　ｏｆ　Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００２９，Ｊｉａｎｇｓｕ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｗｏ　ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｄｍｉｔｔａｎｃｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｅｔｈｏｄ，ａｒｅ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ　ｔｏ　ｃａ１．　ｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｃｏｅｍｃｉｅｎｔ　ｏｆ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｆｉｌｍｓ．ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｈａｓｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｃａｌ　ｆｉｌｍｓ　ｗｉｔｈ　ｍａｎｙ　ｌａｙｅｒｓ　ａｒｅ　ｃｏｍｐａｒｅｄ．Ｉｔ　ｉｓ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｄｉｇｉｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｖａｌｕｅ　ｉｓ　１５．ｔｈｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｍｅｔｈｏｄｓ’ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｈａｓｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ａｒｅ　１０一。　ｏｒｄｅｒ　ａｎｄ　１０一　ｒａｄ　ｏｒ．　ｄｅｒ　ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｆａｒ　ｌｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅｉｒ　ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｅｉｒ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ　ａｓ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ．　Ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｆｌｅｃｔｉｖｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｃａｎ　ａｌｓｏ　ｂｅ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｗｈｉｌｅ　ｔｈｅ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ　ｄｉｇｉｔ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｖａｌｕｅ　ｉｓ　ｇｒｅａｔｅｒ　ｔｈａｎ　５，ｗｈａｔｅｖｅｒ　ｆｏｒ　ｐ－ｌｉｇｈｔ　ａｎｄ　ｓ－ｌｉｇｈｔ．Ｔｈｉｓ　ｉｎｄｉｃａｔｅｓ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｈａｖｅ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔ．Ｉｎ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，ｔｈｅ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｓ　ｃｏｎｆｉｒｍｅｄ　ｂｙ　ａｎ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｏｐｔｉｃｓ；ｏｐｔｉｃ　ｆｉｌｍｓ；ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔ；ｐｈａｓｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｆ一２４—