2020年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2
B．1
C．2
D． 21
2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A．3.6×103
B．3.6×104
C．3.6×105
D．36×104
4．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A．（3，0）
B．（1，2）
C．（5，2）
D．（3，4）
5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ） A．3a+2b＝5ab C．（﹣a3b）2＝a6b2
B．a3•a2＝a6
D．a2b3÷a＝b3
6．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．5人，7人
B．5人，11人
C．5人，12人
D．7人，11人
7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，
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以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接
2
1
BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
𝑘𝑥
C．4
𝑥−3𝑥−1
D．6
=1的解，那么实数k的值为（ ）
D．6
8．（3分）（2020•成都）已知x＝2是分式方程+A．3
B．4
C．5
9．（3分）（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
103
10．（3分）（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）（2020•成都）分解因式：x2+3x＝ ．
12．（4分）（2020•成都）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 ．
13．（4分）（2020•成都）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，
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则∠A的度数为 ．
14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值金y两，则可列方程组为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（）2+|2−√3|−√9；
﹣
12
4(𝑥−1)≥𝑥+2，①（2）解不等式组：{2𝑥+1．
＞𝑥−1．②316．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−
1𝑥+2
）÷2，其中x＝3+√2． 𝑥+3𝑥−917．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 人；
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（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
18．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=
𝑚
（x＞0）的图象经𝑥过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径
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画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB=3，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
4
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2020•成都）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 ． 22．（4分）（2020•成都）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m−=0有实数根，则实数m的取值范围是 ．
23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做̂1，𝐴̂̂̂̂̂“正六边形的渐开线”，𝐹𝐴1𝐵1，𝐵1𝐶1，𝐶1𝐷1，𝐷1𝐸1，𝐸1𝐹1，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是 ．
3
2
24．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与双曲线y=𝑥1
4
交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线y=−𝑥交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为10√2时，点A的坐标为 ． 25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD
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边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 ，线段DH长度的最小值为 ．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） y（件）
12 1200
13 1100
14 1000
15 900
16 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求
𝐴𝐵𝐵𝐶
的值．
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28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
𝑆2𝑆1
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（3分）（2020•成都）﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2
B．1
C．2
D． 21
【解答】解：﹣2的绝对值为2． 故选：C．
2．（3分）（2020•成都）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看是一列2个正方形． 故选：D．
3．（3分）（2020•成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为（ ） A．3.6×103
B．3.6×104
C．3.6×105
D．36×104
【解答】解：36000＝3.6×104， 故选：B．
4．（3分）（2020•成都）在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A．（3，0）
B．（1，2）
C．（5，2）
D．（3，4）
【解答】解：将点P（3，2）向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（3，2﹣2），即（3，0），
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故选：A．
5．（3分）（2020•成都）下列计算正确的是（ ） A．3a+2b＝5ab C．（﹣a3b）2＝a6b2
B．a3•a2＝a6
D．a2b3÷a＝b3
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a3•a2＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； C、（﹣a3b）2＝a6b2，原计算正确，故此选项符合题意； D、a2b3÷a＝ab3，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C．
6．（3分）（2020•成都）成都是国家历史文化名城，区域内的都江堰、武侯祠、杜甫草堂、金沙遗址、青羊宫都有深厚的文化底蕴．某班同学分小组到以上五个地方进行研学旅行，人数分别为：12，5，11，5，7（单位：人），这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．5人，7人
B．5人，11人
C．5人，12人
D．7人，11人
【解答】解：5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5人；
把这组数据从小到大排列：5，5，7，11，12，最中间的数是7，则中位数是7人． 故选：A．
7．（3分）（2020•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接
21
BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线， ∴BD＝CD，
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∵AC＝6，AD＝2， ∴BD＝CD＝4， 故选：C．
8．（3分）（2020•成都）已知x＝2是分式方程+
𝑥𝑘
𝑥−3𝑥−1
=1的解，那么实数k的值为（ ）
D．6
A．3 B．4
𝑘2
C．5
【解答】解：把x＝2代入分式方程得：−1＝1， 解得：k＝4． 故选：B．
9．（3分）（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．
103
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴
𝐴𝐵𝐵𝐶
=
𝐷𝐸𝐸𝐹
，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4， ∴=
65
𝐷𝐸4
，
∴DE=3， 故选：D．
10．（3分）（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（ ） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
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10
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误； 当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确； 故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上） 11．（4分）（2020•成都）分解因式：x2+3x＝ x（x+3） ． 【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
12．（4分）（2020•成都）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x值的增大而增大，则常数m的取值范围为 m＞ ．
【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2中，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴2m﹣1＞0，解得m＞2． 故答案为：m＞．
13．（4分）（2020•成都）如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝50°，∠B＝55°，则∠A的度数为 30° ．
1
2112
【解答】解：∵OB＝OC，∠B＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣2∠B＝70°， ∵∠AOB＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+50°＝120°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA=
180°−120°
=30°， 2故答案为：30°．
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14．（4分）（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x两，1只羊值5𝑥+2𝑦=10金y两，则可列方程组为 { ．
2𝑥+5𝑦=8【解答】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 5𝑥+2𝑦=10
由题意可得，{，
2𝑥+5𝑦=85𝑥+2𝑦=10
故答案为：{．
2𝑥+5𝑦=8
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上） 15．（12分）（2020•成都）（1）计算：2sin60°+（）2+|2−√3|−√9；
﹣
12
4(𝑥−1)≥𝑥+2，①（2）解不等式组：{2𝑥+1．
＞𝑥−1．②3【解答】解：（1）原式＝2×=√3+4+2−√3−3 ＝3；
4(𝑥−1)≥𝑥+2，①
（2）{2𝑥+1，
＞𝑥−1．②
3√32+4+2−√3−3
由①得，x≥2； 由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：2≤x＜4．
16．（6分）（2020•成都）先化简，再求值：（1−𝑥+3）÷【解答】解：原式=𝑥+3•＝x﹣3， 当x＝3+√2时， 原式=√2．
17．（8分）（2020•成都）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次
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1
𝑥+2
，其中x＝3+√2． 𝑥2−9𝑥+3−1(𝑥−3)(𝑥+3)
𝑥+2
举办的世界综合性运动会．目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 180 人；
（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 126° ；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【解答】解：（1）根据题意得： 54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人； 故答案为：180；
（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°， 故答案为：126°；
（3）列表如下：
甲
甲 一
乙
丙
丁
（乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
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乙 丙 丁
（甲，乙） 一 （丙，乙） （丁，乙）
一
（丁，丙）
一
（甲，丙） （乙，丙）
（甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴P（选中甲、乙）=
21
=． 12618．（8分）（2020•成都）成都“339”电视塔作为成都市地标性建筑之一，现已成为外地游客到成都旅游打卡的网红地．如图，为测量电视塔观景台A处的高度，某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项D处测得塔A处的仰角为45°，塔底部B处的俯角为22°．已知建筑物的高CD约为61米，请计算观景台的高AB的值．
（结果精确到1米；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意可得四边形DCBE是矩形，
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∴DE＝BC，BE＝DC＝61， 在Rt△ADE中， ∵∠ADE＝45°， ∴AE＝DE， ∴AE＝DE＝BC，
在Rt△BDE中，∠BDE＝22°， ∴DE=𝑡𝑎𝑛22°≈0.40≈152.5，
∴AB＝AE+BE＝DE+CD＝152.5+61≈214（米）． 答：观景台的高AB的值约为214米．
19．（10分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=
𝑚
（x＞0）的图象经𝑥𝐵𝐸
61
过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点． （1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=𝑥； （2）∵直线y＝kx+b过点A， ∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点， ∴B（−𝑘，0），C（0，b），
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𝑚
（x＞0）的图象经过点A（3，4）， 𝑥12
𝑏
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍， ∴×4×|−|＝2××|−|×|b|，
21
𝑏𝑘12𝑏𝑘∴b＝±2， 当b＝2时，k=， 当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=x+2，y＝2x﹣2．
20．（10分）（2020•成都）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB=，求⊙O的半径；
（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．
4
32323
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°， ∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD， ∴△ACO≌△ADO（SSS），
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∴∠ADO＝∠ACO＝90°， 又∵OC是半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）∵tanB=3=𝐵𝐶， ∴设AC＝4x，BC＝3x， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴16x2+9x2＝100， ∴x＝2， ∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10， ∴BD＝2， ∵OB2＝OD2+BD2， ∴（6﹣OC）2＝OC2+4， ∴OC=3， 故⊙O的半径为；
38
8
4
𝐴𝐶
（3）连接OD，DE，
由（1）可知：△ACO≌△ADO，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD， 又∵CO＝DO，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE（SAS）， ∴∠OCE＝∠OED， ∵OC＝OE＝OD，
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∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE， ∵点F是AB中点，∠ACB＝90°， ∴CF＝BF＝AF， ∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 21．（4分）（2020•成都）已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 ． 【解答】解：∵a＝7﹣3b， ∴a+3b＝7， ∴a2+6ab+9b2 ＝（a+3b）2 ＝72 ＝49， 故答案为：49．
22．（4分）（2020•成都）关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m−2=0有实数根，则实数m的取值范围是 m≤2 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+m−2=0有实数根， ∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（m−）＝16﹣8m+12≥0， 解得：m≤2， 故答案为：m≤．
23．（4分）（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做̂1，𝐴̂̂̂̂̂“正六边形的渐开线”，𝐹𝐴1𝐵1，𝐵1𝐶1，𝐶1𝐷1，𝐷1𝐸1，𝐸1𝐹1，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲
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3
7
3
3
27
72
线FA1B1C1D1E1F1的长度是 7π ．
̂1的长=【解答】解：𝐹𝐴=3， 18060⋅𝜋⋅22𝜋̂𝐴=， 1𝐵1的长=
180360⋅𝜋⋅33𝜋̂𝐵1𝐶1的长=180=3， 60⋅𝜋⋅44𝜋̂𝐶=， 1𝐷1的长=
180360⋅𝜋⋅55𝜋̂𝐷1𝐸1的长=180=3， 60⋅𝜋⋅66𝜋̂𝐸=， 1𝐹1的长=
180360⋅𝜋⋅1
𝜋
∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度=故答案为7π．
𝜋2𝜋6𝜋21𝜋
++⋯+==7π， 333324．（4分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝mx（m＞0）与双曲线y=𝑥1
𝑥4
交于A，C两点（点A在第一象限），直线y＝nx（n＜0）与双曲线y=−交于B，D两点．当这两条直线互相垂直，且四边形ABCD的周长为10√2时，点A的坐标为 （√2，2√2）或（2√2，√2） ．
22𝑥=±𝑚4√【解答】解：联立y＝mx（m＞0）与y=𝑥并解得：{，故点A的坐标为（，√𝑚𝑦=±2√𝑚2√𝑚），
1−1联立y＝nx（n＜0）与y=−𝑥同理可得：点D（√𝑛，−√−𝑛），
∵这两条直线互相垂直，则mn＝﹣1，故点D（√𝑚，−𝑚），则点B（−√𝑚，），
√√𝑚则AD2＝（−√𝑚）2+（2√𝑚+𝑚）2=𝑚+5m，
√√𝑚第19页（共27页）QQ群学习1131649375
11215
同理可得：AB2=
1
5
+5m＝AD2， 𝑚25
5
则AB=4×10√2，即AB2=2=𝑚+5m， 解得：m＝2或，
21
故点A的坐标为（√2，2√2）或（2√2，√2）， 故答案为：（√2，2√2）或（2√2，√2）．
25．（4分）（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH⊥PQ于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为 3√2 ，线段DH长度的最小值为 √13−√2 ．
【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O作ON⊥CD于N．
∵四边形ABCD是矩形，DF＝CF，AE＝EB， ∴四边形ADFE是矩形， ∴EF＝AD＝3， ∵FQ∥PE， ∴△MFQ∽△MEP， ∴
𝑀𝐹𝑀𝐸
=
𝐹𝑄𝑃𝐸
，
∵PE＝2FQ， ∴EM＝2MF， ∴EM＝2，FM＝1，
当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM=√𝐴𝐸2+𝑀𝐸2=√22+22=2√2，MQ=√𝐹𝑄2+𝑀𝐹2=√12+12=√2，
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∴PQ＝3√2，
∵MF∥ON∥BC，MO＝OB，
∴FN＝CN＝1，DN＝DF+FN＝3，ON=2(𝐹𝑀+𝐵𝐶)=2， ∴OD=√𝐷𝑁2+𝑂𝑁2=√32+22=√13， ∵BH⊥PQ， ∴∠BHM＝90°， ∵OM＝OB， ∴OH=BM=
121
×√22+22=√2， 21
∵DH≥OD﹣OH， ∴DH≥√13−√2，
∴DH的最小值为√13−√2， 故答案为3√2，√13−√2．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） y（件）
12 1200
13 1100
14 1000
15 900
16 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润． 【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
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∴设y＝kx+b，
1200=12𝑘+𝑏
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：{，
1100=13𝑘+𝑏𝑘=−100
解得：{，
𝑏=2400
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400； （2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元． 27．（10分）（2020•成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求
𝐴𝐵𝐵𝐶
的值．
【解答】解：（1）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC， ∵BC＝2AB， ∴BF＝2AB， ∴∠AFB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形，
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∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°， ∴∠CBE=2∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴
𝐴𝐹𝐷𝐸
1
=
𝐴𝐵𝐷𝐹
，
∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3，
∴DF=√𝐸𝐹2−𝐷𝐸2=√32−22=√5， ∴AF=
10=2√5， √5∴BC＝AD＝AF+DF＝2√5+√5=3√5． （3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD， ∴NF=2AD=2BC，
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11
∵BC＝BF， ∴NF=2BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°， ∴△NFG∽△BFA， ∴
𝑁𝐺𝐴𝐵
1
=
𝐹𝐺𝐹𝐴
=
𝑁𝐹𝐵𝐹
=，
2
1
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝NG＝x， 设FG＝y，则AF＝2y， ∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y=3x．
∴BF＝BG+GF＝2x+x=∴
𝐴𝐵𝐵𝐶
4335
10x． 34
=
𝐴𝐵𝐵𝐹
=
2𝑥
10𝑥3=．
28．（12分）（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
𝑆2𝑆1
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）． ∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=2（x+1）（x﹣4），即y=2x2−2x﹣2．
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
1
1
3
1
2
∴AK∥DG， ∴△AKE∽△DFE， ∴∴
𝐷𝐹𝐴𝐾𝑆1𝑆2
==
𝐷𝐸
𝐴𝐸𝑆△𝐵𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐸
， =
𝐷𝐸𝐴𝐸
=
𝐷𝐹𝐴𝐾
，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
1
4𝑘+𝑏=0𝑘=∴{，解得{2， 𝑏=−2𝑏=−2
∴直线BC的解析式为y=2x﹣2，
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1
∵A（﹣1，0）， ∴y=−−2=−， ∴AK=2，
设D（m，𝑚2−m﹣2），则F（m，m﹣2），
2
2
2
1
3
1
51
252∴DF=𝑚−2−𝑚2+m+2=−𝑚2+2m．
𝑆1𝑆2
−𝑚2+2𝑚
521212123212∴=
=−𝑚2+m=−5(𝑚−2)2+5．
5
5
45
14
14
∴当m＝2时，有最大值，最大值是．
𝑆2
6+2√413+√41（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．
9955
68
34
𝑆1
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y=x， 设P（a，），
2𝑎
1
2①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC=√5，AB＝5，BC＝2√5，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°， ∵△PQB∽△CAB，∴
𝑃𝑄𝑃𝐵
=
𝐴𝐶𝐵𝐶
=，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
2
1
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠PBN＝90°，
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∴∠MQP＝∠PBN，∴△QPM∽△PBN， ∴
𝑄𝑀𝑃𝑁
=
𝑃𝑀𝐵𝑁
=
𝑃𝑄𝑃𝐵12=，
2
121
∴QM=，PM=（a﹣4）=a﹣2， ∴MN＝a﹣2，BN﹣QM＝a﹣4−4=4a﹣4， ∴Q（a，a﹣2），
43
𝑎
3
𝑎
4将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×(𝑎)2−
2
4
1332
×a﹣2＝a﹣2，
4
3
解得a＝0（舍去）或a=9． ∴P（
689
68
，349
）．
②当点P在直线BQ左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为（a，2）．此时点P的坐标为（
45
6+2√413+√41，）． 55
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