数学建模课程设计

姓名：xxxxxxx 时间：xxxxxxx

问题描述：

现有企业（甲）想在杭州市场上推销某种新产品A，请你用所学知识，根

据下设情形，分别为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。 1、假定杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品； 2、假定杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%； 3、假定杭州市场上还没有产品A或类似的产品，但新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布。

摘要：

在数学建模中，产品营销问题是一类常见的典型问题。对于产品的销售情况 一般都用Logistic模型去描述，所以本实验都用了Logistic销售模型的建模思路。Logistic回归模型，主要是用来对多因素影响的事件进行概率预测，它是普通多元线性回归模型的进一步扩展，Logistic模型是非线性模型。对于题中的三种假定，结合微分方程基本理论对在杭州市场上推销的新产品A进行研究，并为企业（甲）制定一个合理的营销生产策略。

问题1：设定新产品A价格、质量以及销售人员的销售情况等其他影响新产品销售的外在因素是相对稳定，杭州市场对产品的需求量有限，产品的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比三个假设，建立了Logistic销售模型并求解。 得出结论，在销售量达到最大销售量的一半时，产品最为畅销。

问题2：设定类似产品A的销售速度与销售量和剩余需求量的积成正比，新产品A的需求量、类似产品的需求量、剩余需求量之和为总需求量，在假定一和假定二下，不考虑新产品A的使用寿命三个假设，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品，建立了微分方程组销售模型并求解。得出结论，问题2中的微分方程组的驻定解不稳定。

问题3：设定了新产品A服从均值为5（年）的指数寿命分布，其的报废量与新产品A的销售量成正比，新产品A报废后，人们仍愿意进行购买三个假设，参照Logistic销售模型，建立了微分方程销售模型并求解。给出了最大需求量A及销售速度的曲线。

问题分析与解题思路

在杭州市场还没有出现过A产品或类似产品的条件下，A产品刚刚进入市场，人们对A产品不熟悉，A产品的销售速度较慢，但在逐渐的增加，人们对A产品的熟悉度增加，此时A产品的销售速度逐渐增快，当产品销售到一定数量时，人们就会停滞购买，A的销售速度减慢。

在杭州市场上有类似的产品，且市场占有率已达到15%的条件下，不考虑消费者同时拥有新产品A和其类似产品的情况，认为类似产品的市场占有率会影响新产品A的销售，且类似产品的销售模型与新产品A的销售模型相同。

在杭州市场上还没有出现过产品A或类似的产品时，考虑新产品A的寿命是有限的，即新产品A有一个服从均值为5（年）的寿命分布，新产品A的报废会使市场上的剩余销售量增加，所以，有理由认为新产品的销售速度不仅受销售量，剩余量的影响，还受到新产品A的寿命的影响。

解答过程与结果 ：

假设1

设A产品的需求量上限为M，x(t)表示在t时刻A产品的销售数量，则尚未购买的人数大约为M-x(t)，另外，A的销售速度V与销售量x(t)和剩余需求量M-x(t)的积成正比，比例系数为k。得到Logistic销售模型：

对(1)求解得：x=

𝑀1+𝐶𝑒−KMt

(C为任意常数)

取M=1，0x=0.01,k=1 ,用MATLAB求解得 x0=0.01; t=0:10;

x=x0./(x0+(1-x0)*exp(-t)); plot(t,x)

销售数量--时间关系图

v0=0.01; t=0:10;

v=(v0*(1-v0)*exp(-t))./((v0+(1-v0)*exp(-t)).^2); plot(t,v)

销售速度---时间关系图

结论：由上面两图明显可以看到当销售数量达到最大销售数量一半时，销售速度最快，销量最好。想要在杭州推销新产品A，则初期应该小量生产并加广告宣传，当销售量处于最大需求量的20%-80%时，可以进行大批生产销售，超过80%时，则应当考虑转业。

假设2

用)(ty表示时刻t已售出的类似产品B的数量，新产品A的需求量与类似产品B的需求量之和有一个上界M，则尚未购买的人数大约为M-)(tx-)(ty。另外，类似产品B的销售速度

𝑑𝑦𝑑𝑡

与销售量y(t)和剩余需求量M-x(t)-y(t)的积成正比，比例系数为p，由题意知，t=0时刻，.即可得假定二下的如下微分方程销售模型：

（2） 上述为二阶非线性微分方程组令kM(1-𝑥+𝑦𝑀

𝑥+𝑦𝑀

)x=0,且pM(1-)y=0,得微分方程组(2)

的驻定解为：(0,0) ,(0,M),(M,0), (𝑥𝑖,𝑦𝑖)且 𝑥𝑖+𝑦𝑖=M。

t=0:0.01;

[X,Y]=dsolve('Dx=x*(1-x-y)’,’Dy=y*(1-x-y)','x(0)=0.01','y(0)=0.15',‘t’) subplot(1,2,1) subplot(1,2,2)

运算结果：

X =1/(84*exp(-t)+16)

Y=(-84/(84*exp(-t)+16)^2*exp(-t)+1/(84*exp(-t)+16)-1/(84*exp(-t)+16)^2)*(84*exp(-t)+16) 结论：由于所有的驻定解均为不稳定的，即初值的微小误差会导致巨大损失。因此，这样的特解不宜作为设计的依据。所以，在此不给出企业（甲）在杭州市场上推销新产品A的营销生产策略。

假设3

用z(t)表示时刻t报废的新产品A的数量，新产品A的需求量有一个上界M，则尚未购买的人数大约为M-x(t)-z(t).另外，新产品A的报废量与新产品A的已销售量成正比，比例系数为K,z(t)=Kx.由假设，新产品A服从均值为5（年）的指数分布，故设使用寿命函数为f(t)= λ𝑒−λt ,由于E（t）=

1λ

=5, 由此可求得λ=0.2,则f(t)=0.2𝑒−0.2t，即单位时间内报废的新产品A

，即k=1-𝑒−0.2t。考虑此时新产品A的销售速度

𝑑𝑦𝑑𝑡

的数量为1-𝑒−0.2t

仍旧与销售量x(t)

和剩余需求量M-x(t)-z(t)的积成正比，比例系数为q，可得假定三下的如下微分方程销售模

型：

令w=𝑥−1,得:

𝑑𝑤𝑑𝑡

𝑑𝑤𝑑𝑡

=𝑥−2𝑑𝑥,代入（2）式，得到：𝑑𝑡𝑑𝑤𝑑𝑡

𝑑𝑤𝑑𝑡

=-qMw+q(1-K), 将

k=1-𝑒−0.2t代入

=-qMw+q(1-K)得：=-qMw+q𝑒−0.2t，这是一阶线性微分方程，运用常数变易

𝑞𝑞𝑀−0.2

法，求得它的通解为：w=C𝑒−qMt+即（1）的通解为：

𝑒−0.2t,

代入初值x(0)=𝑥0，得： x=

𝑞𝑀−0.2

[(𝑞𝑀−0.2)𝑥0−𝑞]𝑒−qMt+𝑞𝑒−0.2t取M=1，q=1, 𝑥0=0.1 用MATLAB求得如下结果 x0=0.1; t=0:10;

x=0.8./((0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t));

plot(t,x)

令A=

𝑞𝑀−0.2𝑞−𝑞(1−𝑒−0.2t）

，A代表了包含了新产品A会报废的因素下市场的需求量，A是

k=1-𝑒−0.2t的函数。

x0=0.1; t=0:10; q=1;

x=((0.64*x0+0.8)*exp(-t)+0.16*exp(-0.2*t))./(((0.8*x0-1)*exp(-t)+exp(-0.2*t)).^2);

结论：如图能看出A产品在寿命初期销售量大，但随着寿命的增加，销售速度逐渐减慢

参考文献：

《竞争环境下的新产品市场扩散模型》曾勇二 唐小我 《新产品开发的质量与价格竞争策略研究》徐爱东 龙 勇 《营销生产策略的制定》