连续时间系统的复频域分析

实验目的：1、熟悉MATLAB语言编程方法及常用语句； 2、观察频域和复频域的关系；

3、熟练掌握用MATLAB实现连续系统的零极点分析。

实验内容：1、通过u（t）-u（t-2）的拉氏变换曲面图，观察频域和复频域的关系。

S2−4

2、通过F(S)=3,画出零极点图。 2

S−5S+10S−50

实验原理：

1、用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图 连续时间函数f（t）的拉普拉斯变换定义为：

F(s)=∫f(t)e−stdt

−∞

∞

其中s=σ+jω，若以σ为横坐标，jω为纵坐标，复变量S就构成了一个复平面，称为S平面。

显然，F（S）是复变量S的复函数，为了便于理解和分析F（S）随S的变化规律，可以将F（S）写成：

F(S)=F(S)ejϕ(s)

其中F(S)为复信号F（S）的模，而ϕ(s)为F（S）的相角。

从三维几何空间的角度来看，F(S)和ϕ(s)对应着复平面上的两个曲面，如果画出他们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换F（S）随复变量S的变化。 1、 由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系

若信号f（t）的傅立叶变换存在，则其拉普拉斯变换F（S）与傅立叶变换F(jω)存在如下关系：

F(jω)=F(S)S=jω

即在信号拉普拉斯变换F（S）中令σ=0，就可得到信号的傅立叶变换。从三维几何空间的角度来看，信号f（t）的傅立叶变换F(jω)就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的曲线。我们将在虚轴上进行剖面来直观地观察信号拉普拉斯变换与傅立叶变换的对应关系。 2、 零极点分布

系统函数H（S）的零、极点的分布完全决定了系统的特性。系统函数的零、极点分布具有非常重要的意义。通过对系统函数零、极点的分析，可以分析连续系统的以下几个方面的特性：

z 系统冲激响应h（t）的时域特性； z 判断系统的稳定性；

z 分析系统的频率特性H(jω)（幅频特性和相频特性）。

1

通过系统函数零极点分布来分析系统特性，首先就要求出系统的零极点，然后绘出零极点图。 设连续系统的系统函数为：

H(S)=

B(S)

A(S)

则系统函数的零点和极点位置可以用MATLAB的多项式求根函数roots（）来求，调用函数的命令格式为： p=roots（A）

其中A为待求根的关于S的多项式的系数构成的行向量，返回向量p则是包含该多项式所有根位置的列向量。例如多项式为：

A(S)=S2+3S+4

则MATLAB命令为： A=[1 3 4]； P=roots（A） 运行结果为： P=

-1.5000+1.3229i -1.5000-1.3229i

需要注意的是，系数向量A的元素一定要由多项式的最高幂次开始直到常数项，缺项要补零。例如：

A(S)=S6+3S4+2S2+S−4

应表示为：

A=[1 0 3 0 2 1 -4]

用roots（）函数求得系统函数H（S）的零极点后，就可以用plot命令在复平面上绘制系统函数的零极点图，方法是在零点位置标以符号“O”，而在极点位置标以“X”。 程序：

1、u（t）-u（t-2）的拉氏变换曲面图 a=0:0.1:5; b=-20:0.13:20;

[a b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b;

c=(1-exp(-2*c))./c; c=abs(c); mesh(a,b,c);

S2−4

2、F(S)=3曲面图 2

S−5S+10S−50

a=-6:0.1:6; b=-5:0.1:5;

[a b]=meshgrid(a,b); s=a+i*b;

2

d=s.^2-4;

e=s.^3-5*s.^2+10*s-50; c=d./e; c=abs(c); mesh(a,b,c);

3、F(S)=S2−4

S3−5S2

+10S−50

a=[1 -5 10 -50]; b=[1 0 -4]; p=roots(a); z=roots(b); p=p'; z=z';

x=max(abs([p,z])); x=x+0.1; y=x; hold on

axis([-x,x,-y,y]); plot([-x,x],[0,0]); plot([0,0],[-y,y]);

plot(real(p),imag(p),'x'); plot(real(z),imag(z),'o'); grid off

3

零极点图