天津市南开区2017-2018学年度八年级下学期期末考试数学试卷-含答案

天津市南开区2017-2018学年度下学期期末考试八年级数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,试卷满分100分.考试时间100分钟。

第Ⅰ卷(选择题共36分)

注意事项:

答第Ⅰ卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号,用蓝、黑色墨水的钢笔或圆珠笔填写在“答题卡”上；用2B铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置粘贴考试用条形码.

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) (1)方程x22x的解是

(A)x2 (B)x2 (C)x0 (D)x2或x0 【专题】计算题．

【分析】方程移项后，分解因式利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程x2=2x， 移项得：x2-2x=0，

分解因式得：x（x-2）=0， 可得x=0或x-2=0， 解得：x1=0，x2=2． 故选：D．

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． (2)下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x与方差s2:

根据表中数据要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择 (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

【分析】根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．

【解答】解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5， ∴S

甲

2

=S

乙

2

＜S

丙

2

＜S

丁

2

，

∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔， ∵甲的平均数是561，乙的平均数是560， ∴成绩好的应是甲，

∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A．

【点评】本题考查了方差和平均数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． (3)用配方法解关于x的方程x24x20,此方程可变形为

(A)x26 (B)x26 (C)x22 (D)x22

2222【专题】压轴题．

【分析】根据配方法的方法，先把常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后将等号左边配成完全平方式，利用直接开平方法就可以求解了． 【解答】解：移项，得x2-4x=-2 在等号两边加上4，得x2-4x+4=-2+4 ∴（x-2）2=2． 故C答案正确． 故选：C．

【点评】本题是一道一元二次方程解答题，考查了解一元二次方程的基本方法--配方法的运用，解答过程注意解答一元二次方程配方法的步骤．

(4)点(1,m)为直线y2x1上一点,则OA的长度为

(A)1 (B)3 (C)2 (D)5 【专题】探究型．

【分析】根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得OA的长． 【解答】解：∵点A（1，m）为直线y=2x-1上一点， ∴m=2×1-1， 解得，m=1，

∴点A的坐标为（1，1），

故选：C．

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和勾股定理解答．

(5)已知一次函数ykx3,且y随x的增大而减小,那么它的图象经过 (A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限 (C)第一、三、四象限 (D)第二、三、四象限 【专题】函数及其图象．

【分析】先根据一次函数的性质判断出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．

【解答】解：∵一次函数y=kx+3，y随x的增大而减小， ∴k＜0，

∵b=3＞0，

∴此函数的图象经过一、二、四象限． 故选：B．

【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限是解答此题的关键．

(6)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是 (A)当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 (B)当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形 (C)当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形 (D)当AC=BD时,四边形ABCD是正方形. 【专题】多边形与平行四边形．

【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．

【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故本选项错误；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故本选项错误；

C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故本选项错误；

D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故本选项正确；

综上所述，符合题意是D选项； 故选：D．

【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

(7)如图,数轴上点A表示的数是-1,原点O是线段AB的中点,∠BAC=30，∠ABC=90°,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交数轴于点D,则点D表示的数是 (A)

23234343 (C) (D)1 (B)1

3333

【分析】首先求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数即可求得AC的长，则AD=AC即可求得，然后求得OD即可．

【解答】解：∵点A表示-1，O是AB的中点， ∴OA=OB=1，

∴AB=2，

故选：D．

【点评】本题考查了三角函数，在直角三角形中利用三角函数求得AC的长是关键．

(8)已知,如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,OE∥CD交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为

(A)6cm (B) 4cm (C)3cm (D)2cm

【分析】由菱形ABCD中，OE∥DC，可得OE是△BCD的中位线，又由AD=6cm，根据菱形的性质，可得CD=6cm，再利用三角形中位线的性质，即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=AD=6cm，OB=OD， ∵OE∥DC，

∴BE：CE=BO：DO， ∴BE=CE，

即OE是△BCD的中位线，

故选：C．

【点评】此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得OE是△BCD的中位线是解此题的关键．

(9)如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于点M，若CM=5，则CE2CF2等于

(A)75 (B)100 (C)120 (D)125

【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．

【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴△EFC为直角三角形，

又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF， ∴CM=EM=MF=5，EF=10，

由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100． 故选：B．

【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．

(10)某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么符合题意的方程是

(A)501x182 (B)50501x501x182

22(C)50501x5012x182 (D)5012x182 【专题】增长率问题；压轴题．

【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．

【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 故选：B．

【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

(11)如图,在R△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,动点P从点B出发,沿B→C→A运动,如图(1)所示,设S△DPBy,点P运动的路程为x,若y与x之间的函数图象如图(2)所示,则a的值为

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

【分析】根据已知条件和图象可以得到BC、AC的长度，当x=4时，点P与点C重合，此时△DPC的面积等于△ABC面积的一半，从而可以求出y的最大值，即为a的值．

【解答】解：根据题意可得，BC=4，AC=7-4=3，当x=4时，点P与点C重合， ∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，

即a的值为3， 故选：A．

(12)在平面直角坐标系中,已知点A(O,1),B(1,2),点P在x轴上运动,当点P到A、B两点的距离之差的绝对值最大时,该点记为点P1,当点P到A、B两点的距离之和最小时,该点记为点P2,以P1P2为边长的正方形的面积为 (A)1 (B)

416 (C) (D)5 39【专题】一次函数及其应用．

【分析】由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，|PA-PB|＜AB，又因为A（0，1），B（1，2）两点都在x轴同侧，则当A、B、P三点共线时，|PA-PB|=AB，即|PA-PB|≤AB，所以当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可得到点P1的坐标；点A关于x轴的对称点为A'，求得直线A'B的解析式，令y=0，即可得到点P2的坐标，进而得到以P1P2为边长的正方形的面积．

【解答】解：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上． 设直线AB的解析式为y=kx+b，

∴y=x+1，

令y=0，则0=x+1， 解得x=-1．

∴点P1的坐标是（-1，0）．

∵点A关于x轴的对称点A'的坐标为（0，-1）， 设直线A'B的解析式为y=k'x+b'， ∵A'（0，-1），B（1，2）， ∴

故选：C．

【点评】本题考查了最短距离问题，待定系数法求一次函数的解析式及x轴上点的坐标特征．根据三角形两边之差小于第三边得出当点P在直线AB上时，P点到A、B两点距离之差的绝对值最大，是解题的关键．

第Ⅱ卷(非选择题共64分)

(二)填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横线上) (13)已知,正比例函数经过点(-1,2),该函数解析式为________________. 【专题】函数及其图象．

【分析】把点（-1，2）代入正比例函数的解析式y=kx，即可求出未知数的值从而求得其解析式； 【解答】解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵图象经过点（-1，2）， ∴2=-k，

此函数的解析式是：y=-2x； 故答案为：y=-2x

【点评】此题考查待定系数法确定函数关系式，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．

(14)直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是105,则较短的直角边的长为___________.

【专题】几何图形．

【分析】根据边之间的关系，运用勾股定理，列方程解答即可． 【解答】解：由题意可设两条直角边长分别为x，2x，

解得x1=10，x2=-10舍去）， 所以较短的直角边长为10． 故答案为：10

【点评】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理得到方程，转化为方程问题．

(15)一组数据1,2,1,0,2,a,若它们的众数为1,则这组数据的平均数为__________. 【分析】根据众数为1，求出a的值，然后根据平均数的概念求解． 【解答】解：∵众数为1， ∴a=1，

【点评】本题考查了众数和平均数的知识：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．

(16)关于x的方程k3x22x10有实数根,则k的取值范围是_________. 【专题】常规题型．

【分析】当k-3=0时，解一元一次方程可得出方程有解；当k-3≠0时，利用根的判别式△=16-4k≥0，即可求出k的取值范围．综上即可得出结论．

【解答】解：①当k-3=0，即k=3时，方程为2x+1=0，

②当k-3≠0，即k≠3时，△=22-4（k-3）=16-4k≥0， 解得：k≤4且k≠3．

综上即可得出k的取值范围为k≤4． 故答案为k≤4．

【点评】本题考查了根的判别式，分二次项系数为零和非零两种情况考虑是解题的关键．

(17)已知,R△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P为AB上任意一点,PF⊥AC于F,PE⊥BC于E,则EF的最小值是___________.

【分析】根据已知得出四边形CEPF是矩形，得出EF=CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根据垂线段最短得出即可．

【解答】解：连接CP，如图所示： ∵∠C=90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E， ∴∠C=∠PFC=∠PEC=90°， ∴四边形CEPF是矩形， ∴EF=CP，

要使EF最小，只要CP最小即可， 当CP⊥AB时，CP最小， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理得：AB=5，

∴CP=2.4， 即EF=2.4，

故答案为：2.4．

【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．

(18)如图,在平面直角坐标系xOy中,E(8,0),F(0,6)

(Ⅰ)当G(4,8)时,∠FGE=_______度；

(Ⅱ)在图中网格区域内找一点P,使∠FPE=90°,且四边形OEPF被过P点的一条直线PM分割成两部分后,可以拼成一个正方形,则P点坐标为________.(要求写出点P坐标,画出过点P的分割线PM,不必说明理由,不写画法)

【分析】（1）先利用勾股定理分别计算三边长，再利用勾股定理的逆定理可得：∠FGE=90°； （2）构建全等三角形：△APF≌△MEP，构建P的位置，根据三角形全等得到正方形．

【解答】解：（1）如图1，连接EF， 由勾股定理得：FG2=22+42=20， GE2=42+82=80， EF2=62+82=100， ∴FG2+GE2=EF2， ∴∠FGE=90°， 故答案为：90°；

（2）如图2，过P作PM⊥x轴于M，当P（7，7），PM为分割线； 根据格点的长度易得：△APF≌△MEP≌△BFP， ∴∠APF=∠MEP， ∵∠MEP+∠MPE=90°， ∴∠APF+∠MPE=90°， 即∠FPE=90°，

四边形OEPF将△EPM剪下放在△BFP上，构建正方形BOMP； 故答案为：（7，7）．

【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理及其逆定理、正方形的判定，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．

三、解答题(本大题共6小题,共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 (19)解方程(每小题4分,本题共8分)

(Ⅰ)x22x10 (Ⅱ)92x140

2【专题】方程与不等式．

【分析】（Ⅰ）利用配方法即可解决问题； （Ⅱ）利用直接开方法即可解决问题；

【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，属于中考常考题型．

(20)(本题共7分)

某中学在一次爱心捐款活动中,全体同学积极踊跃捐款.现抽如下的统计表和统计图:

查了九年级(1)班全班学生捐款情况,并绘制了

求:(Ⅰ)m=______；n=______；

(Ⅱ)求学生捐款数目的众数、中位数和平均数；

(Ⅲ)若该校有学生2500人,估计该校学生共捐款多少元?

【专题】常规题型．

【分析】（Ⅰ）把表格中的数据相加得出本次接受随机抽样调查的学生人数；利用50元，100元的捐款人数求得占总数的百分比得出m、n的数值即可；

（Ⅱ）利用众数、中位数和平均数的意义和求法分别得出答案即可； （Ⅲ）利用求得的平均数乘总人数得出答案即可．

【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为4+12+9+3+2=30人． 12÷30=40%，9÷30=30%，

所以扇形统计图中的m=40，n=30； 故答案为：40，30；

（Ⅱ）∵在这组数据中，50出现了12次，出现的次数最多， ∴学生捐款数目的众数是50元；

∵按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是50， ∴中位数为50元；

这组数据的平均数=（20×4+50×12+100×9+150×3+200×2）÷30=2430÷30=81（元）． （Ⅲ）根据题意得： 2500×81=202500元

答：估计该校学生共捐款202500元．

【点评】此题考查扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数的意义与求法，理解题意，从图表中得出数据以及利用数据运算的方法是解决问题的关键． (21)(本题共7分)

已知关于x的一元二次方程x2m2x2m10 (Ⅰ)求证:方程有两个不相等的实数根；

(Ⅱ)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根； (Ⅲ)求以(Ⅱ)中所得两根为边长的直角三角形的周长。 【专题】计算题．

【分析】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根，分两种情况进行讨论解答即可．

【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4， ∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4， 即△≥4，

∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根； （2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0， 解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3； ①当该等腰三角形的腰为1、底边为3时， ∵1+1＜3

∴构不成三角形；

②当该等腰三角形的腰为3、底边为1时，等腰三角形的周长=3+3+1=7．

【点评】本题综合考查了根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．

(22)(本题共8分)

如图,在矩形ABCD中,

P是AD上一动点,O为BD的中点,连结PO并延长,交BC于点Q.

(Ⅰ)求证:四边形PBQD是平行四边形；

(Ⅱ)若AD=6cm,AB=4cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度向点D运动(不与点D重合),设点P运动的时间为ts,请用含t的代数式表示PD的长,并求出当t为何值时四边形PBD是菱形,并求出此时菱形的周长.

【分析】（1）根据矩形性质推出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠PDO=∠QBO，根据全等三角形的判定ASA证△PDO≌△BQO，根据全等三角形的性质推出OP=OQ，则“对角线相互平分的四边形为平行四边形”；

（2）①由线段间的和差关系来求PD的长度；

②根据平行四边形的判定得出四边形PBQD是平行四边形，求出DP=BP即可． 【解答】解：（1）∵证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO， ∵O为BD中点， ∴OB=OD，

在△PDO和△QBO中，

∴△PDO≌△QBO（ASA）， ∴OP=OQ． 又∵OB=OD，

∴四边形PBQD是平行四边形；

（2）依题意得，AP=tcm，则PD=（6-t） cm．

当四边形PBQD是菱形时，有PB=PD=（6-t） cm． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°．

在Rt△ABP中，AP2+AB2=BP2，AB=4 ∴t2+42=（6-t）2

【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，题目比较好，综合性比较强． (23)(本题共8分)

某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机.这两种手机的进价和售价如下表所示:

进价(元/部) 售价(元/部) 甲 4400 5000 乙 2000 2500 该商场计划购进两种手机若干部,共需14.8万元,预计全部销售后可获毛利润共2.7万元.(毛利润=(售价一进价)×销售量)

(Ⅰ)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?

(II)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的3倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过156万元,该商场应该怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润。

【分析】（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为14.8万元和两种手机的销售利润为2.7万元建立方程组求出其解即可；

（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加3a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过15.6万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．

【解答】解：（1）设商场计划购进国外品牌手机x部，国内品牌手机y部，由题意，得：

答：商场计划购进国外品牌手机20部，国内品牌手机30部；

（2）设国外品牌手机减少a部，则国内手机品牌增加3a部，由题意，得： 0.44（20-a）+0.2（30+3a）≤15.6， 解得：a≤5，

设全部销售后获得的毛利润为w万元，由题意，得： w=0.06（20-a）+0.05（30+3a）=0.09a+2.7， ∵k=0.09＞0，

∴w随a的增大而增大， ∴当a=5时，w最大=3.15，

答：当该商场购进国外品牌手机15部，国内品牌手机45部时，全部销售后获利最大，最大毛利润为3.15万元．

【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．

(24)(本题共8分)

已知y1kx1过点(2,-1),与x轴交于点A,F点为(1,2). (Ⅰ)求k的值及A点的坐标； (Ⅱ)将函数y1的图象沿y轴

方向向上平移得到函数y2,其图象与y轴交于点Q,且OQ=QF,求平移后的函数

y2的解析式；

(Ⅲ)若点A关于y2的对称点为K,请求出直线FK与x轴的交点坐标。

【专题】综合题．

【分析】①将（2，-1）代入直线解析式中，求出k，即可得出结论； ②构造直角三角形，利用勾股定理求出点Q的坐标，即可得出结论；

③先确定出点D，Q的坐标，即可判断出∠ODQ=45°，进而求出点K的坐标，即可得出结论． 【解答】解：①∵y1=kx+1经过点（2，-1）， ∴2k+1=-1，

∴k=-1，y1=-x+1， 令y=0， ∴x=1，

∴A（1，0）；

②设平移后的直线解析式为y=-x+m， ∴Q（0，m），

如图，过点F作EF⊥y轴于E， ∵F点为（1，2），

∴EF=1，EQ=2-m，FQ=OQ=m， 根据勾股定理得，EF2+EQ2=FQ2， ∴1+（2-m）2=m2，

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，直线的平移的性质，对称的性质，解本题的关键是作出辅助线，是一道中等难度的中考常考题．