弹性模量的测定整理

材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量（Elastic Modulus）。弹性模量的单位是GPa。“弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量，是一个总称，包括“杨氏模量”、“剪切模量”、“体积模量”等。所以，“弹性模量”和“体积模量”是包含关系。 一般地讲，对弹性体施加一个外界作用（称为“应力”）后，弹性体会发生形状的改变（称为“应变”），“弹性模量”的一般定义是：应力除以应变。

线应变：对一根细杆施加一个拉力F，这个拉力除以杆的截面积S，称为“线应力”，杆的伸长量dL除以原长L，称为“线应变”。线应力除以线应变就等于杨氏模量E=( F/S)/(dL/L)。

剪切应变：对一块弹性体施加一个侧向的力f（通常是摩擦力），弹性体会由方形变成菱形，这个形变的角度a称为“剪切应变”，相应的力f除以受力面积S称为“剪切应力”。剪切应力除以剪切应变就等于剪切模量G=( f/S)/a。

体积应变：对弹性体施加一个整体的压强P，这个压强称为“体积应力”，弹性体的体积减少量(-dV)除以原来的体积V称为“体积应变”，体积应力除以体积应变就等于体积模量: K=P/(-dV/V)。

意义：弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标，其值越大，使材料发生一定弹性变形的应力也越大，即材料刚度越大，亦即在一定应力作用下，发生弹性变形越小。弹性模量E是指材料在外力作用下产生单位弹性变形所需要的应力。它是反映材料抵抗弹性变形能力的指标，相当于普通弹簧中的刚度。

说明：弹性模量只与材料的化学成分有关，与其组织变化无关，与热处理状态无关。各种钢的弹性模量差别很小，金属合金化对其弹性模量影响也很小。

泊松比（Poisson's ratio），以法国数学家 Simeom Denis Poisson 为名，是横向应变与纵向应变之比值它是反映材料横向变形的弹性常数。 在材料的比例极限内，由均匀分布的纵向应力所引起的横向应变与相应的纵向应变之比的绝对值。比如，一杆受拉伸时，其轴向伸长伴随着横向收缩(反之亦然)，而横向应变 e' 与轴向应变 e 之比称为泊松比ν。

泊松比ν与杨氏模量E及剪切模量G之间的关系

EE-1orGorE2G 1

2G21 

材料弹性模量的测试方法

弹性模量的测试有三种方法：静态法、波传播法、动态法。

静态法测试的是材料在弹性变形区间的应力-应变，静态法指在试样上施加一恒定的弯曲应力，测定其弹性弯曲挠度，根据应力和应变计算弹性模量。静态法属于对试样具有破坏性质的一种方法，不具有重复测试的机会，且测试精度低，测试结果波动大。另外，静态法只能对材料的杨氏模量进行测定，不能测试材料的剪切模量及泊松比。 其主要缺点是：

1.应力加载的速度会影响弹性模量的数值 2.脆性材料如陶瓷无法测量

3.不能在高温下测试.在高温下，材料发生蠕变，使得应变测试值增大。 超声波法：测试超声波在试样中的传播时间及试样长度得到纵向或横向传播速度，然后计算

求得弹性模量数值。这种方法所用设备复杂、换能器转变温度低且价格昂贵，普遍应用受到限制。

动态法（又称共振法或声频法）：动态法是指利用很小的外力使试样振动，通过测试试样的基频求得弹性模量，或者通过测试超声波或声波在试样中的传播速度计算得出材料弹性模量。动态法由于施加于试样上是作周期性变化力非常小，测试后材料无任何损伤，可进行反复测试，也可用于其它性能测试，故为无损检测。测试试样的共振频率，材料的固有频率近似于共振频率，而根据固有频率可以计算出弹性模量。该法适用于各种金属及非金属（脆性）材料的测量，测定的温度范围可从液氮温度至3000℃左右。

动态法可对一个试样在不同温度下连续测定，获得完整的温度与弹性模量曲线，这使得测试工作大大简便。

各种测量方法原理如下：

（1）静态法测量弹性模量原理方法：

对于棒状物体（或金属丝）仅受轴向外力作用而发生伸长的形变（称拉伸形变）。设一均匀金属丝截面积是S、长度是L，沿长度方向受一个外力F后金属丝伸长ΔL。单位面积上的垂直作用力F/S称为正应力，金属丝的相对伸长LL称为线应变。实验结果指出，在弹性形变范围内，正应力与线应变成正比，即这个规律称为胡克定律。适中的比例系数

FLE SLEFS LL称作材料的弹性模量。它表征材料本身的性质，E越大的材料，要使它发生一定的相对形变所需的单位横截面积上作用力也越大。

本实验测量的是金属丝或棒材的弹性模量，如果测得金属丝或棒材的直径为d，则可将上式进一步写为

E4FL

d2L测量金属丝或棒材的弹性模量的方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施加力F，测出其相应的伸长量ΔL，即可求出E。

由于的值很小于是要用到光杠杆原理来放大达到测量的目的。光杠杆的原理见下图。增（减）砝码时，金属丝将伸长（或缩短）ΔL，光杠杆的后足尖也随着圆柱体C一道下降（或上升）ΔL，而前面两足保持不动，于是主杆转过一角度θ，同时平面镜的法线也转过相同 θ 。用望远镜T和标尺N测得角θ，设光杠杆后足到前两足连线的距离为l，可算出的角度 δL S θ δ θ θ Δ L 望远镜 S0 光杠杆 l D 竖尺

θ≈tanθ=

Ll

2tan2DS-So D注意：F必须不能过大以确保形变在弹性限度内，且角θ必须很小，tanθ ≈θ，tg2θ ≈2θ，才能成立。 最终LlS-S0 2D8FLDE2dlSS0

静态法测量材料弹性模量的局限性

①不能很真实地反映材料内部结构的变化； ②对于脆性材料不能用拉伸法测量；

③不能测量材料在不同温度下的杨氏模量。

（2）动态法测量弹性模量原理方法：

“动态法”就是使待测试材料棒（如铜棒、钢棒）产生弯曲振动，并使其达到共振，通过共振测量出该种材料的杨氏模量值。

动态法测量杨氏模量的原理：在一定条件下（l >> d）,试样振动的固有频率取决于它的3几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。 22

如果实验中测出一定温度下（如室温）测试棒的固有频率、尺寸、质量、并知道其几何形状，就可以计算测试棒在此温度时的杨氏模量。公式中J表示测试棒的惯量距,主要与金属杆的几何形状有关, 其惯量距公式为：

lmE7.887010fJJSy23ds

圆形棒的杨氏模量：

圆管棒的杨氏模量：

矩形棒的杨氏模量：

E1.6067lmf4d2l3mE1.60674f4d1d22l3mE0.9464()fhb2公式中l为金属杆的长度；m 为金属杆的质量；d 为金属棒的直径，都较容易测量，f是

金属杆的固有频率。

注：f不是金属棒的共振频率，而是金属棒的固有频率。

固有频率只与测试棒本身有关；共振频率不仅与测试棒本身有关，还与振动时的阻尼有

222关。

由公式得知，阻尼越小，共振频率与固有频率之间的将越接近。当阻尼为零时，共振频率刚好和固有频率相等。当支撑点指在节点位置时，测量得到的共振频率就是我们所要的找的固有频率值。但是现实情况是，当支撑点真的指到节点处时，金属棒却无法继续激发测试棒振动，即使能振动亦无法接收到振动信号（即观察不到共振现象），最终也无法得到节点处共振频率。

222常用的处理方法：近似法和推理法。

固共

近似法：阻尼越小，共振频率与固有频率之间的偏移将越小。虽然阻尼为零的情况在现实不能存在，但尽可能减小阻尼是可以存在的。因此只要实验中找到节点位置，然后在节点附近测量其共振频率即可近似为固有频率。 推理法：如果在节点附近等间距分别测量不同位置的共振频率，那么这些测得的共振频率将遵循某个规律，然后根据该规律通过作图法获得节点处的共振频率（即固有频率）。 通过以上两种方法测量获得基频固有频率之后，代入到原理公式即可获得杨氏模量。 3f f ff E1.60674f2 d

但原理公式的成立时有条件的，即在一定条件下（l>>d），试样振动的固有频率取决于它的几何形状、尺寸、质量以及它的杨氏模量。现实情况不太可能达到l>>d的条件，故对原理公式需要作些适当的修正，即原理公式基础上再乘以一个修正量。 32

4

T的大小由查表获得：

lmlmE1.6067fTd

“动态法”通常采用悬挂法或支持法。

悬挂法的原理图：

支持法

两种方法都是为了测定材料的固有频率。 动态法测量材料弹性模量的优点：

①能准确反映材料在微小形变时的物理性能： ②测得值精确稳定；

③对软脆性材料都能测定；

④温度范围极广（−196 ℃ ~ +2600℃）。 （3）超声波法

超声共振频谱分析法（Ruspec）测定材料的弹性常数是一种快速、低成本测定弹性常数、掌握材料力学性能的新技术。Ruspec技术是与传统的电测方法有着本质的区别的测量固体弹性常数的技术，该方法主要是通过分析超声共振频率得到固体材料样品的弹性常数。该技术是用于测量材料力学性能的所有方法中精度较高的方法之一，它的最独特之处在于该技术能在尺寸、体积较小的样品上也能迅速、同步、高精度的测出每一个独立弹性常数，而且测试结果具有可重复性。它另外一个主要优势是可实现无损测量（试件无需加载）。 测量原理：

根据弹性波在固体中的传播理论， 不同模式的声波在固体中的传播 速度与材料的相应弹性模量和密度相关。无限长圆形截面杆中，纵波传播速度 cB 和扭转波传播速度cl。分别为

cBE；clG

式中 E为材料杨氏模量；G为材料切变模量；p为材料密度。 超声波弹性模量测定系统

如上图所示，在超声弹性模量测量系统中，换能元件、耦合杆一体式磁致伸缩超声传感器激发的纵波或扭转波脉冲经耦合界面在试样中传播，测量由同一传感器接收的试样前后端面的反射脉冲之间的时间间隔t和试样长度l，计算得到声速c2lt 。

进而测定被测材料的弹性模量

Ec2Bd2l4l24m•t2B

Gc2ld2l4l24m•tl2

式中m和d分别为被测试样的质量和直径。 还有一种方法：

利用超声波在固体材料中的传播特性，在各向同性的固体材料中，根据应力和应变满足的虎克定律, 可以求得超声波传播的特征方程：

212ct222

其中Φ为势函数，c为超声波传播速度。

当介质中质点振动方向与超声波的传播方向一致时,称为纵波；当介质中质点的振动方向与超声波的传播方向相垂直时，称为横波。在气体介质中，声波只是纵波。在固体介质内部, 超声波可以按纵波或横波两种波型传播。无论是材料中的纵波还是横波, 其速度可表示为：

cd t

其中, d为 声波传播距离, t为声波传播时间。

对于同一种材料, 其纵波波速和横波波速的大小一般不一样，但是它们都由弹性介质的密度、杨氏模量和泊松比等弹性参数决定, 即影响这些物理常数的因素都对声速有影响。相反, 利用测量超声波速度的方法可以测量材料有关的弹性常数。

固体在外力作用下，其长度沿力的方向产生变形。变形时的应力与应变之比就定义为杨氏模量，一般用E表示。（在本书杨氏模量测量的实验中有介绍）

固体在应力作用下。沿纵向有一正应变（伸长），沿横向就将有一个负应变（缩短），横向应变与纵向应变之比被定义为泊松比，记做σ，它也是表示材料弹性性质的一个物理量。

在各向同性固体介质中，各种波型的超声波声速为： 纵波声速： CLE(1)

(1)(12)横波声速： CSE

2(1)其中E为杨氏模量，σ为泊松系数，为材料密度。

相应地，通过测量介质的纵波声速和横波声速，利用以上公式可以计算介质的弹性常数。计算公式如下：

杨氏模量： E2cS(3T24)T21

T22泊松系数： 

2(T21)其中：T (2.6)

cL，cL为介质中纵波声速，cS为介质中横波声速，为介质的密度。 cS这种方法的关键是测量声速在材料中的传播速度： （1）声速的直接测量法

根据公式212c22t2，当利用确定反射体（界面或人工反射体）测量声速时，我们

只需要测量该反射体的回波时间，就可以计算得到声速。而对于单个的反射体，得到的反射波如下图所示。能够直接测量的时间包含了超声波在探头内部的传播时间t0，即探头的延迟。对于任何一种探头，其延迟只与探头本身有关，而与被测的材料无关。因此，首先需要测量探头的延迟，然后才能利用该探头直接测量反射体回波时间。、

纵波的延迟测量

参照图斜探头的延迟测量图，把斜探头放在试块上，并使探头靠近试块正面，使探头的斜射声束能够同时入射在R1和R2圆弧面上。适当设置超声波实验仪衰减器的数值和示波器的电压范围与时间范围。在示波器上同时观测到两个弧面的回波B1和B2。测量它们对应的时间t1和t2。由于R2=2R2，因此斜探头的延迟为：

t2t1t2

斜探头延迟和入射点测量

斜探头入射点测量（选做） 在确定斜探头的传播距离时，通常还要知道斜探头的入射点，即声束与被测试块表面的相交点，用探头前沿到该点的距离表示，又称前沿距离。

参照图斜探头的把斜探头放在试块上，并使探头靠近试块正面，使探头的斜射声束入射在R2圆弧面上，左右移动探头，使回波幅度最大（声束通过弧面的圆心）。这时，用钢板尺测量探头前沿到试块左端的距离L，则前沿距离为：

L0R2L

（2）声速的相对测量方法

如果被测试块有两个确定的反射体，那么通过测量两个反射体回波对应的时间差，再计算出试块的声速。这种方法称为声速的相对测量方法。

对于直探头，可以利用均匀厚度底面的多次反射回波中的任意两个回波进行测量。 对于斜探头，则利用CSK-IB试块的两个圆弧面的回波进行测量。

1． 利用直探头测量试样块的纵波声速 2． 利用斜探头测量试样块的横波声速

对于两相复合材料弹性模量的计算

两相复合材料的弹性模量的上下限值可以通过Hashin-Shtrikman（H-S）公式进行预测：

式中，E2 > E1， G2 > G1。

Voigt-Reuss公式也用来预测复合材料的弹性模量，但是其准确性不如Hashin-Shtrikman（H-S）公式。

陶瓷杨氏模量与气孔率的关系

陶瓷材料的杨氏模量E与其气孔率P的关系可以用Nielsen公式来表达:

E0：完全致密陶瓷材料的杨氏模量 E： 样品的杨氏模量 P：气孔率（vol%）

ρ ：Neilsen系数(一般可取0.4) 陶瓷杨氏模量与温度的关系

对于陶瓷材料，其杨氏模量与温度的关系一般用一下经验公式描述：

E0：绝对零度下样品的杨氏模量 B: 常数

T0：温度常数，近似为德拜温度的1/2