高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

高中数学必修五-不等式知识点精炼总结

2.不等式的性质：8条性质.

3.基 本不等式定理

a2b22aba2b1(ab)2222ab整式形式ab2a2b2ab2abab2根式形式22ab2(ab)ba2(a,b同号）分式形式ab1a0aa2倒数形式1a0a2a

4.公式：

3.解不等式

2aba2b2ab11ab22(1)一元一次不等式

xaxb(a0)xb(a0)ab(a0)a

(2)一元二次不等式： 判别式 △=b2- 4ac △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) y x1 O x x2 y y O x1 x O x ax2+bx+c=0 有两相异实根 (a>0)的根 x1, x2 (x10 {x|x0)的解x>x2} 集 b或 {x|x≠  } 2aR ax2+bx+c<0 {x|x1< x Φ Φ

一元二次不等式的求 解流程：

一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式：

高次不等式：

(4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0

（2）x2 – (a+a2)x+a3>0；

（3）2x2 +ax +2 > 0；

注:解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；2、讨论⊿与0的大小；3、讨论两根的大小；

二、运用的数学思想：

1、分类讨论的思想；2、数形结合的思想；3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题：

f(x)0f(x)g(x)0g(x)f(x)f(x)g(x)00g(x)0g(x)(xa1)(xa2)(xan)0

x2(3a2)x2a10例1．已知关于x的不等式 在(–2，0)上恒成立，求实数a的取值范围． 例2．关于x的不等式

、函数12、分离参数后用最值3、用图象ylog2(ax2ax1) 对所有实数x∈R都成立，求a的取值范围.

例3.若对任意

xx0,2a恒成立，x3x1

则 的取值范围.

a

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、 函数值三个角度列出不等式组，总之都是转化为一元二次不等式组求解.

二次方程根的分布问题的讨论：

1．x1< x2< k

f(k)0bk2a0y x1 k O x2 x

y 2．k < x1< x2 f(k)0bk2a0k x1 O x2 x

y 3．x1< k < x2

f(k)0k x1 O xx

4． k1 < x1 < x2 < k2 5． x1 < k1 < k2 < x2 y k2 x1 O x2 x

y O k1 x1 k2 x2 x

k 1 f(k1)0f(k2)0f(k1)00 f(k)0 2kbk122a

6． k1 y O k2 x2 k3 x f(k1)0



f(k2)0 f(k)02

4解线性规划问题的一般步骤：

k1 x1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 z

axbyzxy22yzx

练习：1.求满足 | x | + | y | ≤4 的整点（横、纵坐标为整数）的个数。

12.求函f(x)2log2x(0x1)的最大值；

log2x3 4.f(x)=x+

1（x4）的最小值x1(x1)24f(x)(x1)4.求函数 的最小值.

x1

5.已知两个正数 a,b满足 ab4,求使

28mabm的取值范围. 恒成立的

6 已知x>0,1.y>0，且19+=1，求x+y的最小值.xy