圆锥曲线基本知识点总结

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1||MF2|2a。

x2y2y2x2椭圆的标准方程为：221（ab0）（焦点在x轴上）或221（ab0）（焦点在y轴

abab上）。

注：①以上方程中a,b的大小ab0，其中bac；

222x2y2y2x222②在221和221两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y的分

ababx2y21（m0，n0，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭圆；当mn时母的大小。例如椭圆

mn表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2①范围：由标准方程221知|x|a，|y|b，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

ab②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

x0，得yb，则B1(0,b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1(a,0)，

A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。

|OB2|b，|OF2|c，|B2F2|a，由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，

222且|OF2||B2F2||OB2|，即cab；

222④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ec叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为xya。

2222．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1||PF2||2a）。

注意：①式中是差的绝对值，在02a|F1F2|条件下；|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支；

|PF2||PF1|2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a表示两条射

线；③当2a|F1F2|时，||PF1||PF2||2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。

（2）双曲线的性质

x2y2①范围：从标准方程221，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线xa的外侧。即

abx2a2，xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

x2y2②对称性：双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

abx2y2是双曲线221的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里，对称轴是x,y轴，所

abx2y2以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0)，他们是双曲线221的顶点。

ab令x0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

x2y2图上看，双曲线221的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

ab⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx ；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：xy(0) ，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上。

22x2y2y2x21与1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意169916轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程y2px2p0叫做抛物线的标准方程。

pp,0），它的准线方程是x ；

22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2px，x2py，x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

222

标准方程 y22pxl (p0)y y22px(p0) x22py(p0)y x22py(p0) y x o F 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 l x F o l F o x p(,0) 2px 2(p,0) 2px 2p(0,) 2py 2y0 p(0,) 2py 2y0 x0 x轴 x0 x轴 y轴 (0,0) y轴 (0,0) (0,0) (0,0) e1 e1 e1 e1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。