微专题5 三角形中的最值问题

微专题5 三角形中的最值问题

问题背景

高考复习过程中，三角形中的范围与最值问题，是同学们学习解三角形的过程中比较常见的问题，也是高考重要题型.它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及不等式、函数、数形结合等知识与方法.

高考命题方向：

1.利用正余弦定理转化为三角函数求范围；

2.利用正余弦定理转化为基本不等式求最值；

3.利用数形结合求最值.

思维模型

说明：

1.解决方案及流程

①分析边角关系，对照正余弦定理的适用范围，确定是否选择正余弦定理，还是建系列用数形结合法；

②若利用正余弦定理，确定是化边还是化角运算；若利用建系，转化为哪种几何问题；

③如化角，则利用三角变换将问题转化为某一三角式求值问题；如化边，则注意利用不等式或函数思想求解；如化为几何问题，则寻求特殊位置求解；

④注意考虑变量的范围对最值的影响；

⑤总结归纳在三角形中求范围问题的方法.

2.失误与防范

①使用正余弦定理时，究竟是化边为角，还是化角为边，有时都可以，有时只能从一个方向去突破，要扣准条件和目标；

②在涉及角的问题尤其是锐角或钝角三角形时，要注意角的隐含条件的挖掘；

③三角形中某些特殊类型，容易思维定势，总在正余弦定理中考虑，有时可以通过建系列用数形结合迎刃而解.

问题解决

一、典型例题

a例1 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，A2C，则c的取值范围是____.

a变题：若在例1中ABC改为锐角ABC，则c的取值范围是____.

例2 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a,b,c成等比数列，则角B的最大值为____.

拓展：ABC中，已知tanA3tanB，求角A—角B的最大值.

例3 满足条件AB2,AC2BC的三角形ABC的面积的最大值为____.

2a,b,cA,B,CbABC例4 周长为6，分别为角的对边，ac，求BABC的取值范围.

二、自主探究

1.已知ABC的周长为16，面积为6，且BC6，则ABAC____.

C为AB的中点，2.已知圆心角为120的扇形AOB的半径为1，点D,E分别在半径OA,OB上.若

CD2CE2DE2269，则ODOE的最大值是____.

3.在ABC中，角A,B,C的对边分别为

a,b,c,tanCsinAsinBcosAcosB.

（1）求角C的大小；

22（2）若ABC的外接圆直径为1，求ab的取值范围.