1．已知，AE//BD，AD． （1）如图1，求证：AB//CD；
（2）如图2，作BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若CFG的平分线交线段AG于点H，连接AC，若ACEBACBGM，过点H作HMFH交
FG的延长线于点M，且3E5AFH18，求EAFGMH的度数．
2．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF． （1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．
3．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在A'B'的位置；
（1）若1的度数为a，试求2的度数（用含a的代数式表示）； （2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在C'D'的位置．
①若EF//C'G，1的度数为a，试求3的度数（用含a的代数式表示）； ②若B'FC'G，3的度数比1的度数大20，试计算1的度数．
4．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．
（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝
（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由； （3）利用（2）的结论解答：
①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；
②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示） 5．综合与探究 （问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动
（1）如图1，EF//MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出PAF、PBN和APB之间的数量关系；
（问题迁移）
（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m//n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动， ①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设ADP，BCP．则CPD，，之间有何数量关系？请说明理由．
②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD，，之间的数量关系．
二、解答题
6．[感知]如图①，AB//CD，AEP40，PFD130，求EPF的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：（1）如图①，过点P作PM//AB． ∴1AEP40（_____________）， ∴AB//CD，
∴PM//________（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴_____________（两直线平行，同旁内角互补）， ∴PFD130， ∴218013050，
∴12405090，即EPF90．
[探究]如图②，AB//CD,AEP50,PFC120，求EPF的度数；
[应用]（1）如图③，在[探究]的条件下，PEA的平分线和PFC的平分线交于点G，则
G的度数是_________º．
（2）已知直线a//b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，若BE平分ABC，DE平分ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．设
ABC,ADC，请直接写出BED的度数（用含,的式子表示）．
7．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，AB∥CD． （1）直接写出∠ACB和∠BED的数量关系 ；
（2）如图2，BG平分∠ABE，与∠CDE的邻补角∠EDF的平分线交于H点．若∠E比∠H大60°，求∠E；
（3）保持（2）中所求的∠E不变，如图3，BM平分∠ABE的邻补角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说理由．
8．如图1，AB//CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定BAE，CDE与AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若BAE、CDE的两条平分线交于点F．直接写出AFD与AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若AGD的余角等于2E的补角，求BAE的大小．
9．已知射线AB//射线CD，P为一动点，AE平分PAB，CE平分PCD，且AE与CE相交于点E．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）
（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，APC180．直接写出AEC的度数； （2）当点P运动到图2的位置时，猜想AEC与APC之间的关系，并加以说明； （3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出AEC与APC之间的关系，并加以证明．
0)C(b，2)，且满足abab40，过C10．如图1，在平面直角坐标系中，A(a，，作CBx轴于B
2
（1）求三角形ABC的面积．
（2）发过B作BD//AC交y轴于D，且AE,DE分别平分CAB,ODB，如图2，若
CAB,ACB(a90)，求AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出
P点坐标；若不存在；请说明理由．
三、解答题
11．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝ ；若∠B＝40°，则∠AFD＝ ； ②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由
12．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；
（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平ADP分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
ACBABC变，请说明理由．
13．（1）如图1所示，△ABC中，∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F；
①若∠B＝90°则∠F＝ ；
②若∠B＝a，求∠F的度数（用a表示）；
（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG，∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，随着点G的运动，∠F+∠H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不
变，请求出其值．
14．在ABC中，射线AG平分BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE//AC交AB于点E.
（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分EDB.
①若BAC100，C30，则AFD_____；若B40，则AFD_____； ②试探究AFD与B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F.试探究AFD与B之间的数量关系，并说明理由.
15．已知MN//GH,在RtABC中，ACB90,BAC30，点A在MN上，边BC在
GH上，在Rt△DEF中，DFE90,边DE在直线AB上，EDF45；
（1）如图1，求∠BAN的度数；
（2）如图2，将Rt△DEF沿射线BA的方向平移，当点F在M上时，求AFE度数； （3）将Rt△DEF在直线AB上平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN度数．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）见解析；（2） 【分析】
（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的
解析：（1）见解析；（2）72 【分析】
（1）根据平行线的性质得出AB180，再根据等量代换可得BD180，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB，根据平行线的性质及等量代换可得出ECQBGMDFG，再根据平角的含义得出ECFCFG，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出BHFCFH,CFAFAB；设FAB,CFH，根据角的和差可得出AEC2AFH，结合已知条件
3AEC5AFH180可求得AFH18，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可
得出答案． 【详解】 （1）证明：
AE//BD
AB180 AD
BD180
AB//CD；
（2）过点E作EP//CD，延长DC至Q，过点M作MN//AB
AB//CD
QCACAB，BGMDFG，CFHBHF，CFAFAG
ACEBACBGM
ECQQCABACBGM
ECQBGMDFG
ECQECD180,DFGCFG180
ECFCFG AB//CD
AB//EP
PEAEAB,PECECF
AECPECPEA
AECECFEAB ECFAECEAB
AF平分BAE
1EAFFABEAB
2FH平分CFG
1CFHHFGCFG
2CD//AB
BHFCFH,CFAFAB
设FAB,CFH
AFHCFHCFACFHFAB
AFH，BHFCFH
ECF2AFHAECEAB2AFHAEC2
ECF2AFHE2BHF AEC2AFH
3AEC5AFH180 AFH18
FHHM
FHM90
GHM90
CFMNMF180
HMBHMN90
EAFFAB
EAFCFACFHAFH18 EAFGMH189072
EAFGMH72．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°． 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可； （2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°． 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可； （2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可； （3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可． 【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠ABF＝∠BFE， ∵EF∥CD， ∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF； （2）∵BE⊥EC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°， ∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ECD＝∠BCE， ∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ， ∵CE平分∠BCD， ∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ， ∴∠EFC＝β﹣γ， ∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β， ∴∠ABF＝∠BFE＝2γ， ∵∠FBG＝2∠ECF， ∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β， ∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE， ∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ， 整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
3．（1） ；（2）① ；② 【分析】
(1)由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
(2) ①由（1）知，，根据平行线的性质得到 ，再由折叠的性质及平角的定义
11解析：（1）90a ；（2）①45a ；②50
24【分析】
(1)由平行线的性质得到4B'FCa，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
11(2) ①由（1）知，BFE90a，根据平行线的性质得到BFEC'GB90a ，
22再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
1②由（1）知，∠BFE = EFB901，由B'FC'G可知：
2B'FCFGC'90，再根据条件和折叠的性质得到
B'FCFGC'1+14021=90，即可求解． 【详解】
解：（1）如图，由题意可知A'E//B'F， ∴14a， ∵AD//BC， ∴4B'FCa，
BFB180a，
由折叠可知2BFE11BFB90a． 22
1（2）①由题（1）可知BFE90a ，
2∵EF//C'G，
1BFEC'GB90a，
2再由折叠可知：
113HGC180CGB18090a90a，
2213HGC45a；
4
②由B'FC'G可知：B'FCFGC'90，
1由（1）知BFE901，
21BFC1802BFE18029011，
2又3的度数比1的度数大20，
3=1+20，
FGC18023180212014021， B'FCFGC'1+14021=90，
1=50． 【点睛】
此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．
4．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由见解析；②∠AP2B=． 【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=
解析：（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，1理由见解析；②∠AP2B=180．
2【分析】
（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证； （2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．
（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得
∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解． 【详解】
（1）证明：过P作PM∥CD，
∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等）， ∵CD∥EF（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），
∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质） 即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°． （2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP． 理由：见（1）中证明． （3）①结论：∠P=2∠P1；
理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1， ∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1， ∴∠P=2∠P1．
②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2， ∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP， ∴∠CAP2=2∠CAP，∠EBP2=2∠EBP， ∴∠AP2B=2∠CAP+2∠EBP，
= 2（180°-∠DAP）+ 2（180°-∠FBP）， =180°- 2（∠DAP+∠FBP）， =180°- 2∠APB， =180°- 2β． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．
1111111115．（1）；（2）①，理由见解析；②图见解析，或 【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过作交于，由平行线的性质，得到，，即可得到答案； ②根据题意，可对点P进行分类讨论
解析：（1）PAFPBNAPB360°；（2）①CPD，理由见解析；②图见解析，CPD或CPD
【分析】
（1）作PQ∥EF，由平行线的性质，即可得到答案；
（2）①过P作PE//AD交CD于E，由平行线的性质，得到DPE，CPE，即可得到答案；
②根据题意，可对点P进行分类讨论：当点P在BA延长线时；当P在BO之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案． 【详解】
解：（1）作PQ∥EF，如图：
∵EF//MN， ∴EF//MN//PQ，
∴PAFAPQ180°，PBNBPQ180°， ∵APBAPQBPQ ∴PAFPBNAPB360°； （2）①CPD； 理由如下：如图，
过P作PE//AD交CD于E， ∵AD//BC， ∴AD//PE//BC，
∴DPE，CPE， ∴CPDDPECPE； ②当点P在BA延长线时，如备用图1：
∵PE∥AD∥BC，
∴∠EPC=，∠EPD=， ∴CPD；
当P在BO之间时，如备用图2：
∵PE∥AD∥BC， ∴∠EPD=，∠CPE=， ∴CPD． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．
二、解答题
6．[感知]见解析；[探究]70°；[应用]（1）35；（2）或 【分析】
[感知]过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度数，结合∠1可得结果；
解析：[感知]见解析；[探究]70°；[应用]（1）35；（2）【分析】
[感知]过点P作PM∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠AEP，∠2+∠PFD=180°，求出∠2的度数，结合∠1可得结果；
[探究]过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；
[应用]（1）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；
（2）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解． 【详解】
解：[感知]如图①，过点P作PM∥AB， ∴∠1=∠AEP=40°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠2+∠PFD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
2或
2
∴∠PFD=130°（已知）， ∴∠2=180°-130°=50°，
∴∠1+∠2=40°+50°=90°，即∠EPF=90°； [探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE=∠AEP=50°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD，
∴∠PFC=∠MPF=120°，
∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°； [应用]（1）如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线， ∴∠AEG=2∠AEP=25°，∠GFC=2∠PFC=60°，
11
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）． ∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°． 故答案为：35．
（2）当点A在点B左侧时， 如图，故点E作EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，
∵BE平分ABC，DE平分ADC，ABC,ADC，
11∴∠ABE=∠BEF=，∠CDE=∠DEF=，
22∴∠BED=∠BEF+∠DEF=
2；
当点A在点B右侧时，
如图，故点E作EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠DEF=∠CDE，∠ABG=∠BEF，
∵BE平分ABC，DE平分ADC，ABC,ADC，
11∴∠DEF=∠CDE=，∠ABG=∠BEF=，
22∴∠BED=∠DEF-∠BEF=
2；
综上：∠BED的度数为【点睛】
2或
2．
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的定义，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质．
7．（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40° 【分析】
（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ABCD可得∠DFB=∠D，则∠DFB=∠A，可得ACDF，根据平行线的性质得∠A
解析：（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40° 【分析】
（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据AB//CD可得∠DFB=∠D，则∠DFB=∠A，可得AC//DF，根据平行线的性质得∠ACB+∠CEF=180°，由对顶角相等可得结论；
（2）如图2，作EM//CD，HN//CD，根据AB//CD，可得AB//EM//HN//CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数； （3）如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数． 【详解】
解：（1）如图1，延长DE交AB于点F，
AB//CD，
DFBD，
AD，
ADFB，
AC//DF，
ACBCEF180， ACBBED180，
故答案为：ACBBED180； （2）如图2，作EM//CD，HN//CD，
AB//CD，
AB//EM//HN//CD，
1EDF180，MEBABE，
BG平分ABE，
1ABGABE，
2AB//HN， 2ABG，
CF//HN，
23，
ABE3，
12DH平分EDF，
13EDF，
2ABEEDF，
1(EDFABE)，
21212EDFABE2，
设DEB，
1MEB180EDFABE180(EDFABE)1802，
DEB比DHB大60，
60， 1802(60)，
解得100．
DEB的度数为100；
（3）PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES//CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
BM平分EBK，DN平分CDE，
1EBMMBKEBK，
21CDNEDNCDE，
2ES//CD，AB//CD，
ES//AB//CD， DESCDE，
BESABE180EBK， GPBK，
由（2）可知：DEB100，
CDE180EBK100，
EBKCDE80， BP//DN，
CDNG，
1PBKGCDNCDE，
2PBMMBKPBK
11EBKCDE 221(EBKCDE) 2180 240．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
8．（1），见解析；（2）；（3）60° 【分析】
（1）作EF//AB，如图1，则EF//CD，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，从而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED； （2）如图2，
1解析：（1）BAECDEAED，见解析；（2）AFDAED；（3）60°
2【分析】
（1）作EF//AB，如图1，则EF//CD，利用平行线的性质得∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，从而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED；
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAF＝
12∠BAE，∠CDF＝2∠CDE，则∠AFD＝2（∠BAE＋∠CDE），加上（1）的结论得到
111∠AFD＝2∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG，利用折叠性质得∠CDG＝4∠CDF，再利用
3等量代换得到∠AGD＝2∠AED－∠BAE，加上90°－∠AGD＝180°－2∠AED，从而可计算
2出∠BAE的度数． 【详解】
解：（1）BAECDEAED 理由如下： 作EF//AB，如图1，
AB//CD，
EF//CD．
1BAE，2CDE，
BAECDEAED；
（2）如图2，由（1）的结论得AFDBAFCDF， BAE、CDE的两条平分线交于点F，
11BAFBAE，CDFCDE，
221AFD(BAECDE)，
2BAECDEAED，
1AFDAED；
2（3）由（1）的结论得AGDBAFCDG，
而射线DC沿DE翻折交AF于点G，
CDG4CDF，
11AGDBAF4CDFBAE2CDEBAE2(AEDBAE)
2232AEDBAE，
290AGD1802AED，
3902AEDBAE1802AED，
2BAE60．
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
9．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析． 【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；
解析：（1）90；（2）APC2AEC，证明见解析；（3）APC2AEC360，证明见解析． 【分析】
（1）过点E作EF//AB，先根据平行线的性质、平行公理推论可得
AEFBAE,CEFDCE，从而可得AECBAEDCE，再根据平行线的性质可
得PABPCD180，然后根据角平分线的定义可得
11BAEPAB,DCEPCD，最后根据角的和差即可得；
22（2）过点E作EF//AB，过点P作PQ//AB，先根据（1）可得
1AECBAEDCE(PABPCD)，再根据（1）同样的方法可得
2APCPABPCD，由此即可得出结论；
（3）过点E作EF//AB，过点P作PQ//AB，先根据（1）可得PABPCD2AEC，再根据平行线的性质、平行公理推论可得APQ180PAB,CPQ180PCD，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】
解：（1）如图，过点E作EF//AB，
AEFBAE，
AB//CD，
EF//CD，
CEFDCE，
AECAEFCEFBAEDCE，
又
AB//CD，且点P运动到线段AC上，
PABPCD180，
∵AE平分PAB，CE平分PCD，
11BAEPAB,DCEPCD，
22111AECPABPCD(PABPCD)90；
222（2）猜想APC2AEC，证明如下： 如图，过点E作EF//AB，过点P作PQ//AB，
1由（1）已得：AECBAEDCE(PABPCD)，
2同理可得：APCPABPCD，
APC2AEC；
（3）APC2AEC360，证明如下： 如图，过点E作EF//AB，过点P作PQ//AB，
1由（1）已得：AECBAEDCE(PABPCD)，
2即PABPCD2AEC， PQ//AB，
APQPAB180，即APQ180PAB，
AB//CD，
PQ//CD，
CPQPCD180，即CPQ180PCD， APCAPQCPQ，
180PAB180PCD，
360PABPCD， 3602AEC，
即APC2AEC360． 【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
10．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3） 【分析】
（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出
解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3） 【分析】
（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B（2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝2×90°＝45°；
（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y＝2x＋1，则G点坐标为（0，1），然后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG进行计算． 【详解】
解：（1）由题意知：a＝−b，a−b＋4＝0， 解得：a＝−2，b＝2，
∴ A（−2，0），B（2，0），C（2，2）， 1∴S△ABC＝ABBC=4；
211（2）∵CB∥y轴，BD∥AC， ∴∠CAB＝∠ABD，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°， 过E作EF∥AC，
∵BD∥AC， ∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2， ∴∠AED＝∠1＋∠2＝2×90°＝45°； （3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y＝kx＋b， 把A（−2，0）、C（2，2）代入得：
11-2k+b=0k=，解得2， 2k+b=2b=1∴直线AC的解析式为y＝2x＋1， ∴G点坐标为（0，1），
∴S△PAC＝S△APG＋S△CPG＝2|t−1|•2＋2|t−1|•2＝4，解得t＝3或−1， ∴P点坐标为（0，3）或（0，−1）．
111
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
三、解答题
11．（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析 【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由
解析：（1）①115°；110°；②AFD90B；理由见解析；（2）
1AFD90B；理由见解析
212【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出BAGBAC50，FDGEDB15，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则
121211∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出BAGBAC，FDGEDB，由
22三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C，BAGBAC50，FDGEDB15，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
1212111（2）由（1）得：∠EDB=∠C，BAGBAC，BDHEDBC,由三角形的外
222角性质和三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°， 则∠B=180°-100°-30°=50°， ∵DE∥AC， ∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴BAGBAC50，FDGEDB15， ∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°； 若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°， ∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
121211∴BAGBAC，FDGEDB，
22∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG =B1BACC 2140140
24070110
故答案为：115°；110°； ②AFD90B；
1211理由如下：由①得：∠EDB=∠C，BAGBAC，FDGEDB，
22∵∠DGF=∠B+∠BAG， ∴∠AFD=∠DGF+∠FDG =∠B+∠BAG+∠FDG =BB1BACC 21180B 2190B；
2（2）如图2所示：AFD90B；
12理由如下：
111由（1）得：∠EDB=∠C，BAGBAC，BDHEDBC，
222∵∠AHF=∠B+∠BDH， ∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF
1180BACBBDH211180BACBC
22
180B1BACC 2180B1180B 21180B90B
2190B．
2【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
12．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化， 【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠
解析：（1）∠E=45°；（2）∠E=【分析】
（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，由角平111分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，则可得∠E=
22221；（3）不变化，
2（∠D+∠B），继而求得答案；
（2）首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案． （3）由三角形内角和定理，可得
ADP90ACBDACADPDFOABCOEB，利用角平分线的性质与三
角形的外角的性质可得答案． 【详解】
解：（1）∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
11 ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
22 ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB，
∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E， 1 ∴∠E=（∠D+∠B），
2∵∠ADC=50°，∠ABC=40°， 1∴∠AEC= ×（50°+40°）=45°；
2
（2）延长BC交AD于点F， ∵∠BFD=∠B+∠BAD，
∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D， ∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD
11∴∠ECD=∠ECB=∠BCD，∠EAD=∠EAB=∠BAD，
22 ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB，
1 ∴∠E=∠B+∠EAB－∠ECB=∠B+∠BAE－∠BCD
21=∠B+∠BAE－（∠B+∠BAD+∠D）
21= （∠B－∠D）， 2 ∠ADC=α°，∠ABC=β°， 即∠AEC=
2.
ADPADP1. （3）的值不发生变化，
ACBABCACBABC2理由如下：
如图，记AB与PQ交于E，AD与CB交于F， PQMN,
DOCBOE90,
ADP90ACBDAC①，
ADPDFOABCOEB②，
①－②得：90DFOACBABCDACOEB,
90DFOOEBDACACBABC, ADP90DFO,OEBEADADP,
AD平分∠BAC， BADCAD, OEBCADADP, 2ADPACBABC,
ADP1.
ACBABC2
【点睛】
此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．
13．（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°． 【分析】
（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依据∠CAE是△ABC
解析：（1）①45°；②∠F＝
1a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°． 2【分析】
11（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，
22依据∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根据∠CAD是△ACF的外角，即可1111得到∠F=∠CAD-∠ACF=∠CAE-∠ACB=（∠CAE-∠ACB）=∠B；
22221（2）由（1）可得，∠F=∠ABC，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得
211到∠H=90°+∠ABG，进而得到∠F+∠H=90°+∠CBG=180°．
22【详解】
解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB， 11∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，
22∵∠CAE是△ABC的外角， ∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB， ∵∠CAD是△ACF的外角，
1111∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，
2222故答案为45°；
②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB， 11∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，
22∵∠CAE是△ABC的外角， ∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB， ∵∠CAD是△ACF的外角，
11111∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；
222221（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，
2∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H， 11∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，
2211∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣
221∠ABG）＝90°+∠ABG，
2111∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，
222∴∠F+∠H的值不变，是定值180°． 【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质的综合运用，熟练运用定理是解题的
关键．
14．（1）①115°，110°；②，证明见解析；（2），证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得∠EDG=∠C=30°，∠FMD=
1解析：（1）①115°，110°；②AFD90B，证明见解析；（2）
21AFD90B，证明见解析.
2【解析】 【分析】
1（1）①根据角平分线的定义求得∠CAG=∠BAC=50°；再由平行线的性质可得
2∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°；由三角形的内角和定理求得∠AFD的度数即可；已知
1AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得∠CAG=∠BAC，
21∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得
211111∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；再由三
22222角形的内角和定理可求得∠AFD=110°；
1②∠AFD=90°+∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
211∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG；由DE//AC，根据平行线的性质可得∠EDG=∠C，
221111∠FMD=∠GAC；由此可得∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=
222211（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形的内角和定理可得
221∠AFD=90°+∠B；
21（2）∠AFD=90°-∠B，已知AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义可得
2111∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，即可得∠FDM=∠NDE=∠EDB；由DE//AC，根据平行
2221线的性质可得∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；即可得到∠FDM=∠NDE=∠C，所以∠FDM
211111+∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；再由三角形外角
222221的性质可得∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
2【详解】
（1）①∵AG平分∠BAC，∠BAC=100°，
1∴∠CAG=∠BAC=50°；
2∵DE//AC，∠C=30°，
∴∠EDG=∠C=30°，∠FMD=∠GAC=50°； ∵DF平分∠EDB，
1∴∠FDM=∠EDG=15°；
2∴∠AFD=180°-∠FMD-∠FDM=180°-50°-15°=115°； ∵∠B=40°，
∴∠BAC+∠C=180°-∠B=140°； ∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
11∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，
22∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
11111∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×140°=70°；
22222∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-70°=110°； 故答案为115°，110°；
1②∠AFD=90°+∠B，理由如下：
2∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
11∴∠CAG=∠BAC，∠FDM=∠EDG，
22∵DE//AC，
∴∠EDG=∠C，∠FMD=∠GAC；
11111∴∠FDM +∠FMD=∠EDG +∠GAC=∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）
222221=90°-∠B；
211∴∠AFD=180°-（∠FDM +∠FMD）=180°-（90°-∠B）=90°+∠B；
221（2）∠AFD=90°-∠B，理由如下：
2如图，射线ED交AG于点M，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
11∴∠CAG=∠BAC，∠NDE=∠EDB，
221∴∠FDM=∠NDE=∠EDB，
2∵DE//AC，
∴∠EDB=∠C，∠FMD=∠GAC；
1∴∠FDM=∠NDE=∠C，
211111∴∠FDM +∠FMD =∠C+∠BAC=（∠BAC+∠C）=×（180°-∠B）=90°-∠B；
222221∴∠AFD=∠FDM +∠FMD=90°-∠B.
2【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理及三角形外角的性质确定各角之间的关系是解决问题的关键.
15．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15° 【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论； （2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论； （3）分和两种情况求解即可得
解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15° 【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出CAN90，即可得出结论； （2）先利用三角形的内角和定理求出AFD，即可得出结论； （3）分DAF90和AFD90两种情况求解即可得出结论． 【详解】
解：（1）MN//GH，
ACBNAC180，
ACB90，
CAN90，
BAC30，
BAN90BAC60；
（2）由（1）知，BAN60，
EDF45，
AFD180BANEDF75，
DFE90，
AFEDFEAFD15；
（3）当DAF90时，如图3， 由（1）知，BAN60，
FANDAFBAN30；
当AFD90时，如图4，
DFE90，
点A，E重合，
EDF45，
DAF45，
由（1）知，BAN60，
FANBANDAF15，
即当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，FAN度数为30或15．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出BAN60是解本题的关键．
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