变限积分的求导公式及其应用
周少波 雷冬霞 程生敏 华中科技大学数学与统计学院
【摘 要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。
【关键词】变限积分 求导公式 极限 应用
【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）19－0051－02 一 引言
在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。例如，F(x)=
代换将其转换成一元函数，避免了在一元微积分中偏导数的引入，利用一元微积分学知识就证明了变限积分的求导公式，有了证明才能使学生更好地使用这一公式。
定理1：假设α（x），β（x）在有限区间［a，b］上可微，f（x，t）在区域D＝{（x，t）∶α（x）≤t≤β（x），a≤x≤ b}上连续，且f（x，t）关于x的导数则有下面一般的Leibniz求导公式：
β(x)ddβ(x)''
f(x,t)dt=β(x)f(β(x),t)−α(x)f(α(x),t)+∫α(x)dx dx∫α(x)
f(x,t)dt （1）
df(x,t)
也在D上连续， dx
∫
x2
0
(x−t)f(t)dt，被积函数含有变量x求导数时，一般可以采用
x2
x2
x2
x2
0
x2
0
0
0
分项求导的办法， F(x)=∫xf(t)dt−∫tf(t)dt=x∫f(t)dt−∫tf(t)dt，再用公式求导。又如，F(x)=∫(x−t)f(x−t)dt，采用换元u＝x －t，F(x)=∫(x−t)f(x−t)dt=−∫0
x
2
0
证明：为了避免在一元微积分中引入二元函数及其偏导 数的概念，不妨记F(x)=f(x,t),G(x)=∫的可加性，可以得到：
G(x+Δx)−G(x)=∫
β(x+Δx)α(x+Δx)
x−x
2
x
再应用公式（5） uf(u)du，
β(x)
α(x)
F(x)dt,，由定积分
求导。利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。例如无界
1tx+a(t+τ)
弦强迫振动问题的解∫0∫x−a(t−τ)f(ξ,τ)dξdτ。这是一个变限
2a
二重积分，显然，上述换元或分项的办法在此失效。在研究动力系统的稳定性时，也会经常遇到变限积分求导的问题，因而我们很有必要为学生提供最为一般的求导公式，并给出学生易于理解和接受的证明方法。本文正是基于这一公式的重要性和其广泛应用，给出了这一公式基于一元函数的证明方法，并给出其应用，以供大家参考。
二 变限定积分求导公式及其证明
变限积分的被积函数涉及二元函数，在此我们利用变量
情况，建立网上党校教程，分别对入党积极分子、党员、基层党务工作者进行专题教育。重点介绍支部党员培养、发展、转正等工作，同时在网上公布一些优秀的入党申请书、思想汇报范例及党课教材，供广大党员、入党积极分子进行交流，方便快捷地获取入党方面的知识。通过网络视频讲座、网络党校测试系统等，努力提高党校教育质量，突破对象单一、功能单一的局限，扩展网站功能和服务群体。
3．党建管理系统建设
建立一个党建管理系统，实践入党积极分子网络化汇报思想，网络化反馈思想汇报，网络化发展对象公示，网络化入党志愿书填写指导以及发展党员工作流程指导等，这将极大地简化日常党建流程的工作量，提高工作效率和时效性。
F(x+Δx)dt−∫
β(x)
α(x)
F(x)dt
α(x)
=∫
β(x+Δx)
β(x)
F(x+Δx)dt+∫
β(x)
α(x)
F(x+Δx)dt+∫
α(x+Δx)
F(x+Δx)dt−∫
β(x)
α(x)
F(x)dt =∫
β(x+Δx)β(x)
F(x+Δx)dt−∫
α(x+Δx)
α(x)
F(x+Δx)dt+∫
β(x)
α(x)
[F(x+Δx)−F(x)]dt
按照导数的定义，可以得到：
G'(x)=lim
Δx→0
G(x+Δx)−G(x)
Δx
=lim
11β(x+Δx)1α(x+Δx)
F(x+Δx)dt−lim∫F(x+Δx)dt+lim ∫Δx→0ΔxΔx→0Δxβ(x)Δx→0Δxα(x)
∫αβ(x)(x)
[F(x+Δx)−F(x)]dt （2）
高校师生都有较强的网络意识，是主要的网络受众群体。
他们素质较高，对网络表现出浓厚的兴趣，并已将它作为交流和获取信息的主要渠道。因此，改变传统党建工作相对封闭的不足，以网络技术为工作手段，用师生易于接受的方式宣传马克思主义意识形态、宣传爱国主义思想、宣传社会主义价值观，有利于提高他们的思想觉悟，坚定他们对党的信念，使学校的广大师生员工通过网络较方便地了解高校党建工作的内容，及时表达自己的意见，直接参与决策过程，进一步密切党和群众的联系，提高党在群众中的威信，促进和谐社会、和谐校园的建设。
〔责任编辑：王以富〕
－51－
学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期
利用积分中值定理，则可以得到：
x)
β(x+Δx)
Δlimx→0∫
β(x+Δβ(x)
F(x+Δx)dt=limΔx→0
F(ξ1)∫
β(x)
dt=limΔx→0
F(ξ1)[β(x+Δx)−β(x)]
其中ξ1∈(β(x),β(x+Δx))，因而：
∫β(x+Δx)β(x)
F(x+Δx)dt(x+Δx)−β(x)
Δlim
x→0
Δx
=limF(ξβΔx→0
1)
Δx
=β'(x)F(β(x))（3）
同理可得：
∫α(x+Δx)FΔlimα(x)
(x+Δx)dt
+Δx)−α(x)
x→0
Δx=Δlimx→0
F(ξα(x2)
Δx
=α'(x)F(α(x))（4）
其中ξ2∈(α(x),α(x+Δx))。由于f（x，t）是一致连续性的，
则：
β(x)(x)
[F(x+Δx)−F(x)]dt
=β(x)
F(x+Δx)−F(x)
Δlim∫αx→0
ΔxΔlimx→0∫α(x)Δx
dt
=∫β(x)F(x+Δx)−F(x)
α(x)limΔx→0Δx
dt=∫β(x)dF(x)α(x)dxdt （5） 联立（3）－（5）代入（2），得到：
G'(x)=lim
G(x+Δx)−G(x)
Δx→0Δx
=β'(x)F(β(x))−α'(x)F(α(x))+∫β(x)α(x) dF(x)
dx
dt 即是：
dβ(x)
dx∫α(x)
f(x,t)dt=β'(x)f(β(x),t)−α'(x)f(α(x),t)+∫β(x)dα(x)dxf(x,t)dt 由定理1容易得到求导公式：
dβ(x)
dx
∫α(x)f(t)dt=β'(x)f(β(x))−α'(x)f(α(x)) （6） dx
dx∫0
f(t)dt=f(x) （7） 三 在微积分中的应用 显然有了公式（1），任何变限积分的求导都可以很容易地解决，在此我们给出一些例子说明这一公式的优越之处。
x1
第一，求极限。求lim∫1[t∫t2
f(u)du]dtx→1，其中f有连续的 (∫x211+t4dt)3导数，且f（1）＝0。
解：利用（1）式及罗必塔法则，直接计算如下：
x11
1
lim∫1[t∫t2f(u)du]dt=limx∫x2f(u)du∫x2f(u)du x→1(∫x211+t4dt)3x→13(∫x2=limx→1x211+t4dt)22x1+x862(∫11+t4dt)2=lim−2xf(x2)−f(x2)−2xf'(x2
) x→1122(∫x2=limx→1x2=limx11+t4dt)2x1+x824∫→111+t4dt48x1+x8'
=−f(1) 242第二，求函数值的单调区间f(x)=∫x2
2−t
1(x−t)e2
dt的单调
区间与极限。
解：f（x）的定义域为（－∞，+∞），由于
f'(x)=2x(x2−x2)e−x4
+∫x2
2xe−t2
dt=2x∫x2
e−t2
1
1
dt
所以f（x）的驻点为x＝0，±1。因此，f（x）的单调增加的区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调减少区间为（－∞，－1）及（0，1）。极小值为f（±1）＝0，极大值为f（0）
=∫120te−tdt=1
2
(1−e−1)。 第三，求定积分（1999研究生入学考题）设函数f（x） 连续，且∫x
0tf(2x−t)dt=1arctanx2，已知f（1）＝1，求∫2
2
f(x)dx。
1
－52－
解：令u＝2x－t，则∫x2x
0tf(2x−t)dt=∫x(2x−u)f(u)du，即：
∫
2x
2x
(2x−u)f(u)du=1
2
arctanx
2x
两边关于x求导，由定理1，得到：2∫f(u)du=xf(x)+x
x1+x4
。 令x＝1，∫2
31f(x)dx=4
。
第四，求函数值（2007研究生入学考题）假设函数f（x）
是［0，π］上的单调函数可导函数，f－14
是f的反函数，且下
述条件的f（x）满足：
∫
f(x)
0
f−1(t)dt=∫x
t
cost−sint
0
cost+sint
dt （6）
解：对（6）两边关于x求导，则得到：
f−1[f(x)]f'(x)=x
cosx−sinx
cosx+sinx
即是，xf'(x)=xcosx−sinx'cosx−sincosx+sinx,f(x)=x
cosx+sinx。
因此，f(x)=∫
cosx−sinx
cosx+sinxdx=In(cosx+sinx)+C.。 因为f（0）＝0，则C＝0，因而f（x）＝In（cosx＋sinx）。 四 在数学物理方程中的应用
在数学物理方程课程中，很多解是多重分，有时不免需要验证解的正确性，这就自然涉及到对变限多重定积分的求导，显然用分项或变量代换的办法是行不通的，如果用定理1给出的公式，求导就不成问题。下面我们给出一个例
(x−ξ)2子加以说明。例如，验证u(x,t)=1+∞
2aπt∫−∞
ϕ(ξ)e
−
4a2t
dξ是下
列无限长杆热传导问题ut=a2uxx,u(x,0)=ϕ(x)的解。并求定积
(x−y)2分∫+∞34a2t
−∞ye
−
dy.。
解：对u（x，t）关于t求偏导数，可得：
u,t)=1−1
−3
+∞−(x−ξ)2t(x4a2t
2a2
(πt)2π∫−∞ϕ(ξ)e
dξ+114a2t2aπt∫+∞
−∞
(x−ξ)2 ϕ(x−ξ)22ϕ(ξ)e
−
4a2t
dξ
1(x−+∞
ξ)2ξ)2=−dξ+12
4a2t
4aπt3∫−∞
ϕ(ξ)e
−
(x−4a2t
8a3t2πt∫+∞
−∞
(x−ξ)ϕ(ξ)e
−
dξ
利用公式（1）关于x求偏导数，计算可得：
(x−ζ)2
u11+∞x(x,t)=−2a2t2aπt∫−∞
(x−ξ)ϕ(ξ)e−4a2tdξ (x−ξ)2u11+∞−211+∞xx(x,t)=−2a2t2aπt∫ϕ(ξ)e4atdξ+(2−∞2a2t)2aπt∫−∞
(x−ξ)2 ϕϕ(ξ)e−
(x−ξ)2(x−ξ)24a2t
dξ=−1+∞
4a3tπt∫−∞
ϕ(ξ)e
−
4a2t
dξ+18a5t2πt∫+∞
−∞
(x−ξ)2ϕ(ξ)
x−ξ)2
)e
−(4a2t
dξ
代入方程，结论显然成立。其次通过令φ（x）＝x3，u（x，
t）＝x3＋6xt，a＝1代入解的表达式，立即可得：
(x−y)2∫
+∞
4a2t
−∞
y3e
−
dy=2aπtu(x,t)=2aπt(x3+6xt)
参考文献
1］华中科技大学课题组.微积分［M］.武汉：华中科技大学
出版社，2009
2］华中科技大学微积分课题组.微积分学同步辅导［M］.
武汉：华中科技大学出版社，2009
〔责任编辑：王以富〕
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